登录
1[2025安徽亳州质检]将二次函数$y=x^2+4x-4$化成$y=a(x+h)^2+k$的形式为 （
A.$y=(x+2)^2-8$
B.$y=(x-2)^2$
C.$y=(x+2)^2-4$
D.$y=x^2-8$
A
）A.$y=(x+2)^2-8$
B.$y=(x-2)^2$
C.$y=(x+2)^2-4$
D.$y=x^2-8$
答案
1.A 【解析】$y=x^2+4x-4=x^2+4x+4-8=(x+2)^2-8$. 故选A.
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法。首先观察式子，二次项系数为1，只需对含x的二次项、一次项进行配方：加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，同时为保证式子数值不变，要再减去相同的数，最后整理为指定形式即可。
【解析】
对$y=x^2+4x-4$进行配方：
1. 保留含x的项，将常数项后置：$y=x^2+4x-4$
2. 一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，因此加4再减4保证式子值不变：$y=x^2+4x+4-4-4$
3. 前三项构成完全平方式，合并常数项得：$y=(x+2)^2-8$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，二次函数形式转化
【点评】
本题为基础题型，主要考查二次函数一般式转顶点式的操作，熟练掌握配方法步骤是解题核心，注意配方时需保证原式数值不变，多加的部分要对应减去，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法。首先观察式子，二次项系数为1，只需对含x的二次项、一次项进行配方：加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，同时为保证式子数值不变，要再减去相同的数，最后整理为指定形式即可。
【解析】
对$y=x^2+4x-4$进行配方：
1. 保留含x的项，将常数项后置：$y=x^2+4x-4$
2. 一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，因此加4再减4保证式子值不变：$y=x^2+4x+4-4-4$
3. 前三项构成完全平方式，合并常数项得：$y=(x+2)^2-8$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，二次函数形式转化
【点评】
本题为基础题型，主要考查二次函数一般式转顶点式的操作，熟练掌握配方法步骤是解题核心，注意配方时需保证原式数值不变，多加的部分要对应减去，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏南通质检]把二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -x +3$化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式，则$k=$
4
.答案
2.4 【解析】$y=-\frac{1}{4}x^2-x+3=-\frac{1}{4}(x^2+4x)+3=-\frac{1}{4}(x^2+4x+4-4)+3=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4,\therefore k=4,$故答案为4.
解析
【分析】
要将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，需使用配方法变形，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，把含x的二次项、一次项放在括号内，常数项单独留在括号外；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证代数式的大小不变；第三步将括号内的部分整理为完全平方形式，再合并所有常数项，最终得到的顶点式中的常数项就是k的值。
【解析】
对$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -x +3$进行配方变形：
1. 提取二次项系数$-\dfrac{1}{4}$，将含x的项放在括号中：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2+4x)+3$
2. 括号内配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，因此括号内加4再减4：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2+4x+4-4)+3$
3. 整理完全平方，计算常数项：
$y=-\dfrac{1}{4}[(x+2)^2-4]+3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2 +1 +3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2 +4$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
配方法；二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查配方法的应用，解题的易错点在于提取二次项系数后，括号内加减常数项时容易出错，以及后续常数项合并时漏乘系数，熟练掌握配方法的步骤是快速正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
要将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，需使用配方法变形，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，把含x的二次项、一次项放在括号内，常数项单独留在括号外；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证代数式的大小不变；第三步将括号内的部分整理为完全平方形式，再合并所有常数项，最终得到的顶点式中的常数项就是k的值。
【解析】
对$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -x +3$进行配方变形：
1. 提取二次项系数$-\dfrac{1}{4}$，将含x的项放在括号中：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2+4x)+3$
2. 括号内配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，因此括号内加4再减4：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2+4x+4-4)+3$
3. 整理完全平方，计算常数项：
$y=-\dfrac{1}{4}[(x+2)^2-4]+3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2 +1 +3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2 +4$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
配方法；二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查配方法的应用，解题的易错点在于提取二次项系数后，括号内加减常数项时容易出错，以及后续常数项合并时漏乘系数，熟练掌握配方法的步骤是快速正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
3[2026安徽六安质检]关于抛物线$y=-x^2+6x-7$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
答案
3.D 【解析】$\because y=-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2$,$\therefore$ 该抛物线开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,2)$,故A,B选项错误,D选项正确. 令$x=0$,则$y=-7$,$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-7)$,故C选项错误. 故选D.
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质，解题时可先将一般式通过配方法转化为顶点式，快速得到开口方向、对称轴、顶点坐标，判断选项A、B、D的正误；再令$x=0$求出对应的$y$值，得到抛物线与$y$轴的交点坐标，判断选项C的正误，最终选出正确答案。
【解析】
先将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x+9)+9-7=-(x-3)^2+2$
$\because$ 二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，故A选项错误；
由顶点式可得对称轴为直线$x=3$，故B选项错误；顶点坐标为$(3,2)$，故D选项正确；
求抛物线与$y$轴的交点时，令$x=0$，代入解析式得$y=-0+0-7=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，故C选项错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式，以及二次函数与坐标轴交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质，解题时可先将一般式通过配方法转化为顶点式，快速得到开口方向、对称轴、顶点坐标，判断选项A、B、D的正误；再令$x=0$求出对应的$y$值，得到抛物线与$y$轴的交点坐标，判断选项C的正误，最终选出正确答案。
【解析】
先将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x+9)+9-7=-(x-3)^2+2$
$\because$ 二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，故A选项错误；
由顶点式可得对称轴为直线$x=3$，故B选项错误；顶点坐标为$(3,2)$，故D选项正确；
求抛物线与$y$轴的交点时，令$x=0$，代入解析式得$y=-0+0-7=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，故C选项错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式，以及二次函数与坐标轴交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4[2026安徽阜阳期末]关于x的二次函数$y=x^2 -2mx +m^2 -1(m＞1)$的图象可能是（
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
4.C 【解析】当$x=0$时,$y=m^2-1$. 因为$m＞1$,所以$m^2-1＞0$,$\therefore$ 二次函数图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴,故选项D错误;$y=x^2-2mx+m^2-1=(x-m)^2-1$,$\therefore$ 二次函数图象的对称轴为直线$x=m＞1$,所以选项A错误; 当$x=m$时,$y=-1$,而选项B中的$y$值始终大于0,因此选项B错误,选项C正确. 故选C.
解析
【分析】
解决二次函数图象判断类问题，可先从函数解析式入手，依次分析抛物线的开口方向、与坐标轴的交点位置、对称轴位置、顶点坐标等关键特征，再逐一排除不符合特征的选项即可得到答案。本题中首先计算抛物线与y轴的交点，排除交点在y轴负半轴的选项；再将解析式化为顶点式得到对称轴和顶点纵坐标，依次排除对称轴位置错误、顶点纵坐标不符合的选项。
【解析】
第一步：判断抛物线与y轴的交点位置
令x=0，代入解析式得$y=m^2-1$，
∵$m＞1$，
∴$m^2＞1$，即$m^2-1＞0$，
∴抛物线与y轴交于正半轴，排除选项D。
第二步：求抛物线的对称轴和顶点坐标
将解析式配方得：$y=x^2-2mx+m^2-1=(x-m)^2-1$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,-1)$。
第三步：根据对称轴排除错误选项
∵$m＞1$，
∴对称轴$x=m$在y轴右侧，且位于直线$x=1$的右侧，选项A的对称轴在x轴负半轴，不符合，排除A。
第四步：根据顶点纵坐标排除错误选项
由顶点坐标可知抛物线的最小值为$-1＜0$，说明抛物线与x轴有两个交点，选项B的抛物线顶点在x轴上方，函数值恒大于0，不符合特征，排除B。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，配方法化顶点式，二次函数图象判断
【点评】
本题是二次函数图象判断的常规题型，核心考查学生对二次函数各项性质的灵活运用能力，通过排除法解题可大幅提高做题效率，要求学生熟练掌握根据解析式推导抛物线特征的方法。
【难度系数】
0.7
解决二次函数图象判断类问题，可先从函数解析式入手，依次分析抛物线的开口方向、与坐标轴的交点位置、对称轴位置、顶点坐标等关键特征，再逐一排除不符合特征的选项即可得到答案。本题中首先计算抛物线与y轴的交点，排除交点在y轴负半轴的选项；再将解析式化为顶点式得到对称轴和顶点纵坐标，依次排除对称轴位置错误、顶点纵坐标不符合的选项。
【解析】
第一步：判断抛物线与y轴的交点位置
令x=0，代入解析式得$y=m^2-1$，
∵$m＞1$，
∴$m^2＞1$，即$m^2-1＞0$，
∴抛物线与y轴交于正半轴，排除选项D。
第二步：求抛物线的对称轴和顶点坐标
将解析式配方得：$y=x^2-2mx+m^2-1=(x-m)^2-1$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,-1)$。
第三步：根据对称轴排除错误选项
∵$m＞1$，
∴对称轴$x=m$在y轴右侧，且位于直线$x=1$的右侧，选项A的对称轴在x轴负半轴，不符合，排除A。
第四步：根据顶点纵坐标排除错误选项
由顶点坐标可知抛物线的最小值为$-1＜0$，说明抛物线与x轴有两个交点，选项B的抛物线顶点在x轴上方，函数值恒大于0，不符合特征，排除B。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，配方法化顶点式，二次函数图象判断
【点评】
本题是二次函数图象判断的常规题型，核心考查学生对二次函数各项性质的灵活运用能力，通过排除法解题可大幅提高做题效率，要求学生熟练掌握根据解析式推导抛物线特征的方法。
【难度系数】
0.7
5[2025安徽合肥包河区期末]当$x=t$时，函数$y$的值记为$y_{(t)}$，已知函数$y=2x^2+mx+n$，若$y_{(m)}=y_{(n+1)}$，且$m≠n+1$，则$y_{(1)}+y_{(2)}$的值为（
A.6
B.8
C.10
D.12
B
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
5.B 【解析】$\because y_{(m)}=y_{(n+1)}$,且$m≠n+1$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=\frac{m+n+1}{2}=-\frac{m}{4}$,$\therefore 3m+2n=-2$,$\therefore y_{(1)}+y_{(2)}=2+m+n+8+2m+n=3m+2n+10=-2+10=8$. 故选B.
解析
【分析】
遇到二次函数中两个不同自变量对应的函数值相等的情况，首先利用二次函数的对称性：这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个自变量的平均数。接下来结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可以得到关于参数$m$、$n$的关系式。最后将$y_{(1)}+y_{(2)}$展开整理，代入得到的参数关系式即可求出结果，不需要单独计算$m$、$n$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
$\because y_{(m)}=y_{(n+1)}$，且$m ≠ n+1$，
$\therefore$ 抛物线$y=2x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m+n+1}{2}$。
又$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=2$，$b=m$，
$\therefore$ 对称轴也可表示为$x=-\frac{m}{2×2}=-\frac{m}{4}$。
联立对称轴的两个表达式得：$\frac{m+n+1}{2}=-\frac{m}{4}$，
等式两边同乘4化简得：$2(m+n+1)=-m$，即$2m+2n+2=-m$，整理得$3m+2n=-2$。
分别计算$y_{(1)}$和$y_{(2)}$：
$y_{(1)}=2×1^2+m×1+n=2+m+n$，
$y_{(2)}=2×2^2+m×2+n=8+2m+n$，
因此$y_{(1)}+y_{(2)}=(2+m+n)+(8+2m+n)=3m+2n+10$。
将$3m+2n=-2$代入得：$y_{(1)}+y_{(2)}=-2+10=8$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查二次函数性质的应用，解题关键是利用函数值相等的特征推导对称轴，进而得到参数间的数量关系，无需单独求解每个参数，通过整体代入即可快速得到结果，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.6
遇到二次函数中两个不同自变量对应的函数值相等的情况，首先利用二次函数的对称性：这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个自变量的平均数。接下来结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可以得到关于参数$m$、$n$的关系式。最后将$y_{(1)}+y_{(2)}$展开整理，代入得到的参数关系式即可求出结果，不需要单独计算$m$、$n$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
$\because y_{(m)}=y_{(n+1)}$，且$m ≠ n+1$，
$\therefore$ 抛物线$y=2x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m+n+1}{2}$。
又$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=2$，$b=m$，
$\therefore$ 对称轴也可表示为$x=-\frac{m}{2×2}=-\frac{m}{4}$。
联立对称轴的两个表达式得：$\frac{m+n+1}{2}=-\frac{m}{4}$，
等式两边同乘4化简得：$2(m+n+1)=-m$，即$2m+2n+2=-m$，整理得$3m+2n=-2$。
分别计算$y_{(1)}$和$y_{(2)}$：
$y_{(1)}=2×1^2+m×1+n=2+m+n$，
$y_{(2)}=2×2^2+m×2+n=8+2m+n$，
因此$y_{(1)}+y_{(2)}=(2+m+n)+(8+2m+n)=3m+2n+10$。
将$3m+2n=-2$代入得：$y_{(1)}+y_{(2)}=-2+10=8$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查二次函数性质的应用，解题关键是利用函数值相等的特征推导对称轴，进而得到参数间的数量关系，无需单独求解每个参数，通过整体代入即可快速得到结果，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.6
6[2026安徽池州校级质检]定义:关于x的函数$y=ax^2+bx$与$y=bx^2+ax$(其中$a≠b$)互为交换函数.如$y=3x^2+4x$与$y=4x^2+3x$互为交换函数.如果函数$y=2x^2+bx$的图象的顶点与它的交换函数图象的顶点关于x轴对称,那么$b=$
-2
.答案
6.-2 【解析】由题意得,函数$y=2x^2+bx$的交换函数为$y=bx^2+2x$. $\because$ 函数$y=2x^2+bx$的图象的顶点与它的交换函数图象的顶点关于$x$轴对称,$\therefore$ 两顶点的横坐标相同,$\therefore -\frac{b}{4}=-\frac{2}{2b}$,解得$b=-2$或2(不合题意,舍去). 故答案为-2.
解析
【分析】
解题时先从题目给出的“交换函数”定义入手，先写出$y=2x^2+bx$对应的交换函数解析式；再回忆二次函数顶点横坐标的公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合“两个顶点关于x轴对称”的性质：关于x轴对称的两个点横坐标相等、纵坐标互为相反数，先根据横坐标相等列方程求出b的可能值；最后结合题干中$a≠b$的限定条件，舍去不符合的解，即可得到最终b的值。
【解析】
由题意得，函数$y=2x^2+bx$的交换函数为$y=bx^2+2x$。
二次函数$y=Ax^2+Bx+C$的顶点横坐标为$-\frac{B}{2A}$，
因为两个函数的顶点关于x轴对称，所以两顶点横坐标相等，可得：
$-\frac{b}{2×2}=-\frac{2}{2b}$
化简得：$\frac{b}{4}=\frac{1}{b}$，交叉相乘得$b^2=4$，解得$b=2$或$b=-2$。
又因为定义中要求$a≠b$，本题中$a=2$，所以$b=2$不符合题意，舍去。
验证可知，当$b=-2$时两个函数顶点纵坐标互为相反数，符合关于x轴对称的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数顶点坐标，关于x轴对称的点的特征，新定义理解
【点评】
本题将新定义运算与二次函数性质结合考查，解题核心是正确理解交换函数的定义，熟练运用二次函数顶点坐标公式和轴对称的坐标变化规律，解题时需注意题干隐含的$a≠b$的限制条件，避免漏判导致多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从题目给出的“交换函数”定义入手，先写出$y=2x^2+bx$对应的交换函数解析式；再回忆二次函数顶点横坐标的公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合“两个顶点关于x轴对称”的性质：关于x轴对称的两个点横坐标相等、纵坐标互为相反数，先根据横坐标相等列方程求出b的可能值；最后结合题干中$a≠b$的限定条件，舍去不符合的解，即可得到最终b的值。
【解析】
由题意得，函数$y=2x^2+bx$的交换函数为$y=bx^2+2x$。
二次函数$y=Ax^2+Bx+C$的顶点横坐标为$-\frac{B}{2A}$，
因为两个函数的顶点关于x轴对称，所以两顶点横坐标相等，可得：
$-\frac{b}{2×2}=-\frac{2}{2b}$
化简得：$\frac{b}{4}=\frac{1}{b}$，交叉相乘得$b^2=4$，解得$b=2$或$b=-2$。
又因为定义中要求$a≠b$，本题中$a=2$，所以$b=2$不符合题意，舍去。
验证可知，当$b=-2$时两个函数顶点纵坐标互为相反数，符合关于x轴对称的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数顶点坐标，关于x轴对称的点的特征，新定义理解
【点评】
本题将新定义运算与二次函数性质结合考查，解题核心是正确理解交换函数的定义，熟练运用二次函数顶点坐标公式和轴对称的坐标变化规律，解题时需注意题干隐含的$a≠b$的限制条件，避免漏判导致多解错误。
【难度系数】
0.6
7 已知二次函数$y=x^2+(m-3)x+m+1$，当$x＞1$时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
$m≥1$
。答案
7.$m≥1$ 【解析】$\because$ 二次函数$y=x^2+(m-3)x+m+1$的图象的开口向上,对称轴是直线$x=-\frac{m-3}{2}$,且当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore -\frac{m-3}{2}≤1$,$\therefore m≥1$. 故答案为$m≥1$.
解析
【分析】
本题考查二次函数的增减性应用，解题思路如下：第一步，先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，本题$a=1＞0$，开口向上，开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；第二步，求出该二次函数的对称轴表达式；第三步，结合“$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大”的条件，可知对称轴需位于直线$x=1$的左侧或与$x=1$重合，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+(m-3)x+m+1$，
$\because$二次项系数$a=1＞0$，$\therefore$函数图象开口向上，
二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m-3}{2}$，
$\because$开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$对称轴需在直线$x=1$的左侧或与$x=1$重合，即$-\frac{m-3}{2}≤1$，
解不等式：
两边同乘2得：$-(m-3)≤2$，
去括号得：$-m+3≤2$，
移项、合并同类项得：$-m≤-1$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题型，解题的核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，需注意当$x=1$刚好在对称轴上时也满足题设条件，避免漏写等号导致错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的增减性应用，解题思路如下：第一步，先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，本题$a=1＞0$，开口向上，开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；第二步，求出该二次函数的对称轴表达式；第三步，结合“$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大”的条件，可知对称轴需位于直线$x=1$的左侧或与$x=1$重合，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+(m-3)x+m+1$，
$\because$二次项系数$a=1＞0$，$\therefore$函数图象开口向上，
二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m-3}{2}$，
$\because$开口向上的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，且题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$对称轴需在直线$x=1$的左侧或与$x=1$重合，即$-\frac{m-3}{2}≤1$，
解不等式：
两边同乘2得：$-(m-3)≤2$，
去括号得：$-m+3≤2$，
移项、合并同类项得：$-m≤-1$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题型，解题的核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，需注意当$x=1$刚好在对称轴上时也满足题设条件，避免漏写等号导致错误。
【难度系数】
0.7
8[2026浙江温州质检]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A(-1,0),B(3,0)$.
(1)求$b,c$的值及这个图象的顶点坐标.
(2)若点$P(m,n)$在该二次函数图象上,且到$y$轴的距离小于2,求$n$的取值范围.
(1)求$b,c$的值及这个图象的顶点坐标.
(2)若点$P(m,n)$在该二次函数图象上,且到$y$轴的距离小于2,求$n$的取值范围.
答案
8.【解】(1) 把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中,得$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0,\\-3^2+3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$$\therefore b$的值为2,$c$的值为3,$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,4)$.
(2)由(1)得二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$,把$x=-2$代入表达式,得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$,把$x=2$代入表达式,得$y=-2^2+2×2+3=3$. $\because$ 点$P(m,n)$在该二次函数图象上,且到$y$轴的距离小于2,$\therefore -2＜m＜2$. 又$\because$ 二次函数图象顶点坐标为$(1,4)$,$\therefore -5＜n≤4$.
(2)由(1)得二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$,把$x=-2$代入表达式,得$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$,把$x=2$代入表达式,得$y=-2^2+2×2+3=3$. $\because$ 点$P(m,n)$在该二次函数图象上,且到$y$轴的距离小于2,$\therefore -2＜m＜2$. 又$\because$ 二次函数图象顶点坐标为$(1,4)$,$\therefore -5＜n≤4$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过两个定点坐标，可直接将两点坐标代入函数表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值；求顶点坐标时，可将得到的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标。
(2) 点P到y轴的距离小于2，即$\vert m\vert＜2$，可转化为自变量的取值范围是$-2＜m＜2$；结合二次函数开口向下，顶点处取得最大值，分别计算区间端点$x=-2$、$x=2$对应的函数值，再结合顶点的最大值，即可得到n的取值范围，注意判断端点是否可取。
【解析】
(1) 把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0\\-3^2+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 点$P(m,n)$到$y$轴的距离小于2，即$\vert m\vert＜2$，得$-2＜m＜2$。
分别代入区间端点计算函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$。
$\because$ 二次函数开口向下，顶点坐标为$(1,4)$，$x=1$在$-2＜m＜2$范围内，此时函数取得最大值4，
$\therefore n$的取值范围是$-5＜n≤4$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-5＜n≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数区间求值
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问为二次函数常规基础考点，难度较低；第二问结合点到坐标轴的距离考察区间内函数值范围的判断，解题时需注意结合函数开口方向分析最值，同时明确区间端点的取舍，避免出现范围判断错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象经过两个定点坐标，可直接将两点坐标代入函数表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值；求顶点坐标时，可将得到的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标。
(2) 点P到y轴的距离小于2，即$\vert m\vert＜2$，可转化为自变量的取值范围是$-2＜m＜2$；结合二次函数开口向下，顶点处取得最大值，分别计算区间端点$x=-2$、$x=2$对应的函数值，再结合顶点的最大值，即可得到n的取值范围，注意判断端点是否可取。
【解析】
(1) 把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$中，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c=0\\-3^2+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 点$P(m,n)$到$y$轴的距离小于2，即$\vert m\vert＜2$，得$-2＜m＜2$。
分别代入区间端点计算函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$。
$\because$ 二次函数开口向下，顶点坐标为$(1,4)$，$x=1$在$-2＜m＜2$范围内，此时函数取得最大值4，
$\therefore n$的取值范围是$-5＜n≤4$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-5＜n≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数区间求值
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问为二次函数常规基础考点，难度较低；第二问结合点到坐标轴的距离考察区间内函数值范围的判断，解题时需注意结合函数开口方向分析最值，同时明确区间端点的取舍，避免出现范围判断错误。
【难度系数】
0.7
9 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+1$ 经过平移后，不可能得到抛物线 （
A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2-4$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2021x-2022$
D.$y=-x^2+x+1$
D
）A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2-4$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2021x-2022$
D.$y=-x^2+x+1$
答案
9.D 【解析】$\because$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x+1$经过平移后,开口方向不变,开口大小也不变,$\therefore$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x+1$经过平移后,不可能得到抛物线$y=-x^2+x+1$. 故选D.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二次函数平移的核心性质：二次函数图象平移只会改变图象的位置，不会改变开口方向和开口大小，而二次函数的开口方向和大小由二次项系数a唯一决定，因此平移前后二次项系数a的数值完全相同。解题时只需要对比各选项的二次项系数和原抛物线的二次项系数，找到系数不同的选项即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+1$，其二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$。
根据二次函数平移的性质，平移后抛物线的二次项系数保持不变，仍为$-\dfrac{1}{2}$：
选项A、B、C的二次项系数均为$-\dfrac{1}{2}$，都可以通过平移得到；
选项D的二次项系数为$-1$，和原抛物线二次项系数不同，不可能通过平移得到。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次项系数的意义
【点评】
本题是二次函数平移性质的基础考查题，只要掌握“平移不改变二次项系数a”这一核心结论，就能快速准确选出答案，属于送分类题目。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二次函数平移的核心性质：二次函数图象平移只会改变图象的位置，不会改变开口方向和开口大小，而二次函数的开口方向和大小由二次项系数a唯一决定，因此平移前后二次项系数a的数值完全相同。解题时只需要对比各选项的二次项系数和原抛物线的二次项系数，找到系数不同的选项即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+1$，其二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$。
根据二次函数平移的性质，平移后抛物线的二次项系数保持不变，仍为$-\dfrac{1}{2}$：
选项A、B、C的二次项系数均为$-\dfrac{1}{2}$，都可以通过平移得到；
选项D的二次项系数为$-1$，和原抛物线二次项系数不同，不可能通过平移得到。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次项系数的意义
【点评】
本题是二次函数平移性质的基础考查题，只要掌握“平移不改变二次项系数a”这一核心结论，就能快速准确选出答案，属于送分类题目。
【难度系数】
0.8
10[2025安徽安庆校级质检]若抛物线$y=a(x+2)(x-3)$经变换后得到抛物线$y=a(x+3)(x-2)(a≠0)$，则这个变换可以是（
A.向右平移1个单位
B.向左平移1个单位
C.向右平移5个单位
D.向左平移5个单位
B
）A.向右平移1个单位
B.向左平移1个单位
C.向右平移5个单位
D.向左平移5个单位
答案
10.B 【解析】$\because$ 抛物线$y=a(x+2)(x-3)=ax^2-ax-6a=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$,$\therefore$ 顶点坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4}a)$. $\because$ 抛物线$y=a(x+3)(x-2)=ax^2+ax-6a=a(x+\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$,$\therefore$ 顶点坐标是$(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4}a)$. $\because$ 点$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4}a)$向左平移1个单位后得到点$(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4}a)$,$\therefore$ 将抛物线$y=a(x+2)(x-3)$向左平移1个单位后得到抛物线$y=a(x+3)(x-2)(a≠0)$. 故选B.
解析
【分析】
要解决这道二次函数图象变换的问题，核心是利用抛物线平移的性质：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置发生变化，平移规律可通过顶点的平移来判断。我们先把两个交点式的二次函数转化为顶点式，分别求出各自的顶点坐标，再对比顶点的位置变化，就能得到抛物线的平移方式。
【解析】
先对原抛物线变形：
$y=a(x+2)(x-3)=ax^2-ax-6a$，配方可得$y=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$，因此原抛物线的顶点坐标为$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。
再对变换后的抛物线变形：
$y=a(x+3)(x-2)=ax^2+ax-6a$，配方可得$y=a(x+\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$，因此变换后抛物线的顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。
对比两个顶点：点$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$向左平移1个单位后，横坐标变为$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，纵坐标不变，恰好得到点$(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。根据抛物线平移和顶点平移一致的规律，可知原抛物线向左平移1个单位可得到变换后的抛物线。故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式，点的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，解题关键是抓住平移前后抛物线顶点的变化，也可通过对比两个抛物线与x轴交点的平移规律直接判断，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道二次函数图象变换的问题，核心是利用抛物线平移的性质：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置发生变化，平移规律可通过顶点的平移来判断。我们先把两个交点式的二次函数转化为顶点式，分别求出各自的顶点坐标，再对比顶点的位置变化，就能得到抛物线的平移方式。
【解析】
先对原抛物线变形：
$y=a(x+2)(x-3)=ax^2-ax-6a$，配方可得$y=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$，因此原抛物线的顶点坐标为$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。
再对变换后的抛物线变形：
$y=a(x+3)(x-2)=ax^2+ax-6a$，配方可得$y=a(x+\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}a$，因此变换后抛物线的顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。
对比两个顶点：点$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$向左平移1个单位后，横坐标变为$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，纵坐标不变，恰好得到点$(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}a)$。根据抛物线平移和顶点平移一致的规律，可知原抛物线向左平移1个单位可得到变换后的抛物线。故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式，点的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，解题关键是抓住平移前后抛物线顶点的变化，也可通过对比两个抛物线与x轴交点的平移规律直接判断，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
11 将抛物线$y=x^2 -4x +8$向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式是
$y=(x+1)^2+5$
.答案
11.$y=(x+1)^2+5$ 【解析】将抛物线$y=x^2-4x+8=(x-2)^2+4$向上平移1个单位长度,再向左平移3个单位长度后所得新抛物线的函数表达式为$y=(x-2+3)^2+4+1$,即$y=(x+1)^2+5$.
解析
【分析】
解决二次函数图象平移求解析式的问题，首先要把原二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，平移操作仅调整顶点坐标即可，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移就给x加平移长度，向右平移就减；上下平移是对函数整体的常数项调整，向上平移就加平移长度，向下平移就减。先完成配方，再按平移规则逐步调整就能得到新解析式。
【解析】
第一步，将原抛物线的一般式配方为顶点式：
$y=x^2-4x+8=(x^2-4x+4)+4=(x-2)^2+4$
第二步，按照平移规则调整解析式：
向上平移1个单位长度，根据“上加下减”，常数项加1，得$y=(x-2)^2+4+1$；
再向左平移3个单位长度，根据“左加右减”，给自变量x加3，得$y=(x-2+3)^2+4+1$；
化简后得$y=(x+1)^2+5$。
【答案】
$y=(x+1)^2+5$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，核心考查二次函数平移规则的应用，解题关键是先将一般式转化为顶点式再进行平移计算，要注意区分左右、上下平移的调整对象，避免平移方向搞反、配方计算出错。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象平移求解析式的问题，首先要把原二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，平移操作仅调整顶点坐标即可，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移就给x加平移长度，向右平移就减；上下平移是对函数整体的常数项调整，向上平移就加平移长度，向下平移就减。先完成配方，再按平移规则逐步调整就能得到新解析式。
【解析】
第一步，将原抛物线的一般式配方为顶点式：
$y=x^2-4x+8=(x^2-4x+4)+4=(x-2)^2+4$
第二步，按照平移规则调整解析式：
向上平移1个单位长度，根据“上加下减”，常数项加1，得$y=(x-2)^2+4+1$；
再向左平移3个单位长度，根据“左加右减”，给自变量x加3，得$y=(x-2+3)^2+4+1$；
化简后得$y=(x+1)^2+5$。
【答案】
$y=(x+1)^2+5$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，核心考查二次函数平移规则的应用，解题关键是先将一般式转化为顶点式再进行平移计算，要注意区分左右、上下平移的调整对象，避免平移方向搞反、配方计算出错。
【难度系数】
0.8
