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1 [2026安徽淮南期中,中]如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线$y=a(x-m)^2+n$的顶点在线段AB上运动,抛物线与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),若点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为 (
A.-3
B.1
C.5
D.8
D
)A.-3
B.1
C.5
D.8
答案
1. D 【解析】由题意得,当点C的横坐标取最小值-3时,抛物线的顶点与点$A(1,4)$重合,此时对称轴为直线$x=1$,
∴点D的横坐标为5,
∴$CD=8$. 当抛物线的顶点与点$B(4,4)$重合时,抛物线对称轴为直线$x=4$.
∵$CD=8$,
∴$C(0,0)$,$D(8,0)$,此时点D的横坐标取最大值,最大值为8. 故选D.
∴点D的横坐标为5,
∴$CD=8$. 当抛物线的顶点与点$B(4,4)$重合时,抛物线对称轴为直线$x=4$.
∵$CD=8$,
∴$C(0,0)$,$D(8,0)$,此时点D的横坐标取最大值,最大值为8. 故选D.
解析
【分析】
解题时首先明确：抛物线顶点在线段AB上运动时，顶点纵坐标恒为4，且抛物线的形状（即a的大小）不变，因此抛物线与x轴两交点C、D之间的距离CD是固定值。要找到点C横坐标的最小值对应的顶点位置，先算出CD的长度；再找到能让点D横坐标最大的顶点位置（即顶点运动到线段AB最右端时），结合二次函数的对称性即可求出D横坐标的最大值。
【解析】
1. 当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点与A(1,4)重合，此时抛物线对称轴为直线$x=1$。
根据二次函数的对称性，点C到对称轴的距离等于点D到对称轴的距离：
$1 - (-3) = 4$，因此此时点D的横坐标为$1 + 4 = 5$，可得CD的长度为$5 - (-3) = 8$。
2. 要使点D的横坐标最大，需将抛物线顶点移到线段AB的最右端B(4,4)处，此时抛物线对称轴为直线$x=4$。
因为CD长度恒为8，所以点D到对称轴的距离为$\frac{8}{2}=4$，因此点D的横坐标为$4 + 4 = 8$，即点D横坐标的最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称性；抛物线与x轴交点
【点评】
本题解题核心是抓住抛物线形状不变时，与x轴两交点的距离固定这一特点，结合顶点的运动范围和二次函数对称性求解，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：抛物线顶点在线段AB上运动时，顶点纵坐标恒为4，且抛物线的形状（即a的大小）不变，因此抛物线与x轴两交点C、D之间的距离CD是固定值。要找到点C横坐标的最小值对应的顶点位置，先算出CD的长度；再找到能让点D横坐标最大的顶点位置（即顶点运动到线段AB最右端时），结合二次函数的对称性即可求出D横坐标的最大值。
【解析】
1. 当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点与A(1,4)重合，此时抛物线对称轴为直线$x=1$。
根据二次函数的对称性，点C到对称轴的距离等于点D到对称轴的距离：
$1 - (-3) = 4$，因此此时点D的横坐标为$1 + 4 = 5$，可得CD的长度为$5 - (-3) = 8$。
2. 要使点D的横坐标最大，需将抛物线顶点移到线段AB的最右端B(4,4)处，此时抛物线对称轴为直线$x=4$。
因为CD长度恒为8，所以点D到对称轴的距离为$\frac{8}{2}=4$，因此点D的横坐标为$4 + 4 = 8$，即点D横坐标的最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称性；抛物线与x轴交点
【点评】
本题解题核心是抓住抛物线形状不变时，与x轴两交点的距离固定这一特点，结合顶点的运动范围和二次函数对称性求解，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
2[中]已知二次函数$y=a(x-1)^2 - a(a≠0)$，当$-1≤x≤4$时，$y$的最小值为$-4$，则$a$的值为（
A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
D
）A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
答案
2. D 【解析】
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接确定对称轴为直线$x=1$。由于二次项系数$a$的正负未知，抛物线开口方向不确定，因此需分两种情况讨论：①当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为函数最低点，在对称轴处取得最小值，代入计算即可；②当$a＜0$时，抛物线开口向下，在给定区间内离对称轴越远的点函数值越小，找到区间内离对称轴最远的端点代入计算，最后验证所得$a$是否符合前提条件，即可得到结果。
【解析】
解：二次函数$y=a(x-1)^2 -a$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-a)$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$-1≤ x≤4$范围内，函数在顶点处取得最小值：
即$y_{\mathrm{最小}}=-a=-4$，解得$a=4$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$-1≤ x≤4$范围内，离对称轴越远的点函数值越小：
计算端点到对称轴的距离：$|4-1|=3$，$|-1-1|=2$，$3＞2$，因此$x=4$时函数取得最小值，
将$x=4$代入解析式得：$y_{\mathrm{最小}}=a(4-1)^2 -a=8a=-4$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$4$，故选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数在固定区间的最值问题，解题核心是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系确定最值点，需要注意对二次项系数的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接确定对称轴为直线$x=1$。由于二次项系数$a$的正负未知，抛物线开口方向不确定，因此需分两种情况讨论：①当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为函数最低点，在对称轴处取得最小值，代入计算即可；②当$a＜0$时，抛物线开口向下，在给定区间内离对称轴越远的点函数值越小，找到区间内离对称轴最远的端点代入计算，最后验证所得$a$是否符合前提条件，即可得到结果。
【解析】
解：二次函数$y=a(x-1)^2 -a$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-a)$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$-1≤ x≤4$范围内，函数在顶点处取得最小值：
即$y_{\mathrm{最小}}=-a=-4$，解得$a=4$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$-1≤ x≤4$范围内，离对称轴越远的点函数值越小：
计算端点到对称轴的距离：$|4-1|=3$，$|-1-1|=2$，$3＞2$，因此$x=4$时函数取得最小值，
将$x=4$代入解析式得：$y_{\mathrm{最小}}=a(4-1)^2 -a=8a=-4$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$4$，故选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数在固定区间的最值问题，解题核心是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系确定最值点，需要注意对二次项系数的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3 [2025安徽阜阳校级质检，较难]如图，抛物线$l_1:y_1=a(x+1)^2+2$与$l_2:y_2=-(x-2)^2-1$交于点$B(1,-2)$，且两抛物线分别与y轴交于点D,E，过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A,C，则以下结论：
①无论x取何值，$y_2$总是非负数；
②$l_2$可由$l_1$向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当$-3＜x＜1$时，随着x的增大，$y_1-y_2$的值先减小后增大；
④四边形AECD一定为正方形.
其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①无论x取何值，$y_2$总是非负数；
②$l_2$可由$l_1$向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当$-3＜x＜1$时，随着x的增大，$y_1-y_2$的值先减小后增大；
④四边形AECD一定为正方形.
其中正确的有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. B 【解析】①
∵$(x-2)^2 ≥0$,
∴$-(x-2)^2 ≤0$,
∴$y_2=-(x-2)^2 -1 ≤-1＜0$,
∴无论x取何值,$y_2$总是负数,故①错误. ②
∵抛物线$l_1:y_1=a(x+1)^2+2$与$l_2:y_2=-(x-2)^2-1$交于点$B(1,-2)$,
∴当$x=1$时,$y_1=-2$,即$-2=a(1+1)^2+2$,解得$a=-1$,
∴$y_1=-(x+1)^2+2$,
∴$l_2$可由$l_1$向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到,故②正确. ③
∵$y_1-y_2=-(x+1)^2+2-[-(x-2)^2-1]=-6x+6$,
∴随着x的增大,$y_1-y_2$的值逐渐减小,故③错误. ④设AC与DE交于点F.
∵当$y_1=-2$时,$-(x+1)^2+2=-2$,解得$x=-3$或$x=1$,
∴点$A(-3,-2)$;当$y_2=-2$时,$-(x-2)^2-1=-2$,解得$x=3$或$x=1$,
∴点$C(3,-2)$,
∴$AF=CF=3$,$AC=6$. 当$x=0$时,$y_1=1$,$y_2=-5$,
∴$DE=6$,$DF=EF=3$,
∴四边形AECD为平行四边形,$AC=DE$,
∴四边形AECD为矩形. 又
∵$AC⊥DE$,
∴四边形AECD为正方形. 故④正确. 故选B.
∵$(x-2)^2 ≥0$,
∴$-(x-2)^2 ≤0$,
∴$y_2=-(x-2)^2 -1 ≤-1＜0$,
∴无论x取何值,$y_2$总是负数,故①错误. ②
∵抛物线$l_1:y_1=a(x+1)^2+2$与$l_2:y_2=-(x-2)^2-1$交于点$B(1,-2)$,
∴当$x=1$时,$y_1=-2$,即$-2=a(1+1)^2+2$,解得$a=-1$,
∴$y_1=-(x+1)^2+2$,
∴$l_2$可由$l_1$向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到,故②正确. ③
∵$y_1-y_2=-(x+1)^2+2-[-(x-2)^2-1]=-6x+6$,
∴随着x的增大,$y_1-y_2$的值逐渐减小,故③错误. ④设AC与DE交于点F.
∵当$y_1=-2$时,$-(x+1)^2+2=-2$,解得$x=-3$或$x=1$,
∴点$A(-3,-2)$;当$y_2=-2$时,$-(x-2)^2-1=-2$,解得$x=3$或$x=1$,
∴点$C(3,-2)$,
∴$AF=CF=3$,$AC=6$. 当$x=0$时,$y_1=1$,$y_2=-5$,
∴$DE=6$,$DF=EF=3$,
∴四边形AECD为平行四边形,$AC=DE$,
∴四边形AECD为矩形. 又
∵$AC⊥DE$,
∴四边形AECD为正方形. 故④正确. 故选B.
解析
【分析】
我们需要对4个结论逐一验证：1. 判断结论①：利用平方的非负性分析$y_2$的取值范围即可；2. 判断结论②：先将交点B坐标代入$l_1$的解析式求出$a$的值，得到$l_1$的完整解析式，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律验证平移是否正确；3. 判断结论③：先计算$y_1-y_2$的表达式，根据函数类型判断其增减性；4. 判断结论④：分别求出点A、C、D、E的坐标，再结合坐标分析四边形的边、对角线以及垂直关系，判断是否为正方形。
【解析】
① $\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$，$\therefore y_2=-(x-2)^2-1≤-1＜0$，即$y_2$恒为负数，故①错误。
② 将点$B(1,-2)$代入$y_1=a(x+1)^2+2$，得$-2=a(1+1)^2+2$，解得$a=-1$，$\therefore y_1=-(x+1)^2+2$。根据二次函数平移规律，将$l_1$向右平移3个单位，再向下平移3个单位，可得解析式为$y=-(x+1-3)^2+2-3=-(x-2)^2-1$，即$l_2$，故②正确。
③ $y_1-y_2=-(x+1)^2+2-[-(x-2)^2-1]=-6x+6$，这是$k=-6＜0$的一次函数，$\therefore$随着$x$的增大，$y_1-y_2$的值逐渐减小，故③错误。
④ 设AC与y轴交于点F：
当$y_1=-2$时，$-(x+1)^2+2=-2$，解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore A(-3,-2)$；
当$y_2=-2$时，$-(x-2)^2-1=-2$，解得$x=3$或$x=1$，$\therefore C(3,-2)$；
则$AC=3-(-3)=6$，且$AF=CF=3$。
当$x=0$时，$y_1=-(0+1)^2+2=1$，即$D(0,1)$；$y_2=-(0-2)^2-1=-5$，即$E(0,-5)$，则$DE=1-(-5)=6$，且$DF=EF=3$。
$\therefore$四边形AECD对角线互相平分且相等，是矩形，又$\because$AC平行于x轴，DE在y轴上，$AC⊥ DE$，$\therefore$四边形AECD是正方形，故④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的平移；正方形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质、平移规律以及特殊四边形的判定，需要结合坐标运算逐一验证结论，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
我们需要对4个结论逐一验证：1. 判断结论①：利用平方的非负性分析$y_2$的取值范围即可；2. 判断结论②：先将交点B坐标代入$l_1$的解析式求出$a$的值，得到$l_1$的完整解析式，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律验证平移是否正确；3. 判断结论③：先计算$y_1-y_2$的表达式，根据函数类型判断其增减性；4. 判断结论④：分别求出点A、C、D、E的坐标，再结合坐标分析四边形的边、对角线以及垂直关系，判断是否为正方形。
【解析】
① $\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$，$\therefore y_2=-(x-2)^2-1≤-1＜0$，即$y_2$恒为负数，故①错误。
② 将点$B(1,-2)$代入$y_1=a(x+1)^2+2$，得$-2=a(1+1)^2+2$，解得$a=-1$，$\therefore y_1=-(x+1)^2+2$。根据二次函数平移规律，将$l_1$向右平移3个单位，再向下平移3个单位，可得解析式为$y=-(x+1-3)^2+2-3=-(x-2)^2-1$，即$l_2$，故②正确。
③ $y_1-y_2=-(x+1)^2+2-[-(x-2)^2-1]=-6x+6$，这是$k=-6＜0$的一次函数，$\therefore$随着$x$的增大，$y_1-y_2$的值逐渐减小，故③错误。
④ 设AC与y轴交于点F：
当$y_1=-2$时，$-(x+1)^2+2=-2$，解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore A(-3,-2)$；
当$y_2=-2$时，$-(x-2)^2-1=-2$，解得$x=3$或$x=1$，$\therefore C(3,-2)$；
则$AC=3-(-3)=6$，且$AF=CF=3$。
当$x=0$时，$y_1=-(0+1)^2+2=1$，即$D(0,1)$；$y_2=-(0-2)^2-1=-5$，即$E(0,-5)$，则$DE=1-(-5)=6$，且$DF=EF=3$。
$\therefore$四边形AECD对角线互相平分且相等，是矩形，又$\because$AC平行于x轴，DE在y轴上，$AC⊥ DE$，$\therefore$四边形AECD是正方形，故④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的平移；正方形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质、平移规律以及特殊四边形的判定，需要结合坐标运算逐一验证结论，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
4[2026安徽芜湖校级质检,中]如图,在正方形OABC中,已知点A(0,2),点C(2,0).
(1)点B的坐标为
(2)当二次函数$y=(x-m)^2 - m$与正方形OABC有公共点时,m的最小值为
(1)点B的坐标为
$(2,2)$
.(2)当二次函数$y=(x-m)^2 - m$与正方形OABC有公共点时,m的最小值为
$-1$
.答案
4. (1)$(2,2)$ (2)$-1$ 【解析】(1)
∵四边形OABC为正方形,$A(0,2)$,$C(2,0)$,
∴$OA=OC=AB=BC=2$.
∵点B在第一象限,
∴易得当点B的坐标为$(2,2)$,故答案为$(2,2)$. (2)
∵$y=(x-m)^2 -m$,
∴抛物线开口向上,顶点坐标为$(m,-m)$,
∴抛物线顶点在直线$y=-x$上,如图,当抛物线顶点在y轴左侧,抛物线经过点A时,m的值最小. 把$(0,2)$代入$y=(x-m)^2 -m$得$2=m^2 -m$,解得$m=2$(舍去)或$m=-1$,故答案为$-1$.
解析
【分析】
(1) 利用正方形邻边垂直且边长相等的性质，点B的横坐标与点C一致，纵坐标与点A一致，可直接推出B点坐标。
(2) 先从二次函数顶点式入手，确定抛物线开口方向和顶点坐标，发现顶点始终在直线$y=-x$上运动。要找m的最小值，即抛物线尽可能向左平移仍与正方形有公共点，临界状态为抛物线刚好经过点A，将A点坐标代入解析式解方程，舍去不符合要求的解即可得到最小m值。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是正方形，$A(0,2)$，$C(2,0)$，
∴$OA=OC=AB=BC=2$，AB平行于x轴，BC平行于y轴，
点B在第一象限，横坐标和C点相同为2，纵坐标和A点相同为2，
∴点B的坐标为$(2,2)$。
(2) 二次函数$y=(x-m)^2 - m$的二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为$(m,-m)$，即抛物线顶点在直线$y=-x$上运动。
要使抛物线与正方形OABC有公共点且m最小，临界情况为抛物线刚好经过点$A(0,2)$，将$(0,2)$代入解析式得：
$2=(0-m)^2 - m$，整理得$m^2 - m - 2=0$，
解得$m=2$或$m=-1$，其中$m=2$不符合m最小的要求，故舍去，
∴m的最小值为$-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
正方形的性质；二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于几何与函数综合题，第一问考查基础的正方形性质应用，第二问需要结合二次函数的顶点运动规律找到临界情况，侧重考查数形结合思想，对函数图象的动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 利用正方形邻边垂直且边长相等的性质，点B的横坐标与点C一致，纵坐标与点A一致，可直接推出B点坐标。
(2) 先从二次函数顶点式入手，确定抛物线开口方向和顶点坐标，发现顶点始终在直线$y=-x$上运动。要找m的最小值，即抛物线尽可能向左平移仍与正方形有公共点，临界状态为抛物线刚好经过点A，将A点坐标代入解析式解方程，舍去不符合要求的解即可得到最小m值。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是正方形，$A(0,2)$，$C(2,0)$，
∴$OA=OC=AB=BC=2$，AB平行于x轴，BC平行于y轴，
点B在第一象限，横坐标和C点相同为2，纵坐标和A点相同为2，
∴点B的坐标为$(2,2)$。
(2) 二次函数$y=(x-m)^2 - m$的二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为$(m,-m)$，即抛物线顶点在直线$y=-x$上运动。
要使抛物线与正方形OABC有公共点且m最小，临界情况为抛物线刚好经过点$A(0,2)$，将$(0,2)$代入解析式得：
$2=(0-m)^2 - m$，整理得$m^2 - m - 2=0$，
解得$m=2$或$m=-1$，其中$m=2$不符合m最小的要求，故舍去，
∴m的最小值为$-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
正方形的性质；二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于几何与函数综合题，第一问考查基础的正方形性质应用，第二问需要结合二次函数的顶点运动规律找到临界情况，侧重考查数形结合思想，对函数图象的动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5[2025安徽滁州期末,中]已知点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$都在抛物线$y=\dfrac{1}{a}(x-2)^2 -1$上，且$x_2 -x_1=3$。
(1)若$y_1=y_2$，则$x_1x_2=$
(2)若点$M,N$在对称轴两侧，且$a＞0$，$y_1＞y_2$，当$x_1≤ x≤ x_2$时，$y$的最大值为0，则$a$的取值范围是
刷素养 走向重高
(1)若$y_1=y_2$，则$x_1x_2=$
$\frac{7}{4}$
；(2)若点$M,N$在对称轴两侧，且$a＞0$，$y_1＞y_2$，当$x_1≤ x≤ x_2$时，$y$的最大值为0，则$a$的取值范围是
$\frac{9}{4}＜a＜9$
。刷素养 走向重高
答案
5. (1)$\frac{7}{4}$ (2)$\frac{9}{4}＜a＜9$ 【解析】(1)
∵$y_1=y_2$,
∴点M,N关于直线$x=2$对称,
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=2$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴联立得$\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=2,\\x_2-x_1=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=\frac{1}{2},\\x_2=\frac{7}{2},\end{cases}$
∴$x_1x_2=\frac{7}{4}$. 故答案为$\frac{7}{4}$.
(2)
∵点M,N在直线$x=2$两侧,且$x_2-x_1=3$,
∴点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧,
∴$x_1＜2$,$x_2＞2$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴$x_1+3＞2$,即$x_1＞-1$.
∵$a＞0$,$y_1＞y_2$,
∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离远,
∴$x_2-2＜2-x_1$,
∴$x_1+3-2＜2-x_1$,解得$x_1＜\frac{1}{2}$,
∴$-1＜x_1＜\frac{1}{2}$,
∴$-1-2＜x_1-2＜\frac{1}{2}-2$,
∴$(-3)^2＞(x_1-2)^2＞(-\frac{3}{2})^2$,即$9＞(x_1-2)^2＞\frac{9}{4}$. 若$x_1≤x≤x_2$,则当$x=x_1$时,y有最大值0,
∴$\frac{1}{a}(x_1-2)^2 -1=0$,即$(x_1-2)^2=a$,
∴a的取值范围是$\frac{9}{4}＜a＜9$. 故答案为$\frac{9}{4}＜a＜9$.
∵$y_1=y_2$,
∴点M,N关于直线$x=2$对称,
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=2$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴联立得$\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=2,\\x_2-x_1=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=\frac{1}{2},\\x_2=\frac{7}{2},\end{cases}$
∴$x_1x_2=\frac{7}{4}$. 故答案为$\frac{7}{4}$.
(2)
∵点M,N在直线$x=2$两侧,且$x_2-x_1=3$,
∴点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧,
∴$x_1＜2$,$x_2＞2$.
∵$x_2-x_1=3$,
∴$x_1+3＞2$,即$x_1＞-1$.
∵$a＞0$,$y_1＞y_2$,
∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离远,
∴$x_2-2＜2-x_1$,
∴$x_1+3-2＜2-x_1$,解得$x_1＜\frac{1}{2}$,
∴$-1＜x_1＜\frac{1}{2}$,
∴$-1-2＜x_1-2＜\frac{1}{2}-2$,
∴$(-3)^2＞(x_1-2)^2＞(-\frac{3}{2})^2$,即$9＞(x_1-2)^2＞\frac{9}{4}$. 若$x_1≤x≤x_2$,则当$x=x_1$时,y有最大值0,
∴$\frac{1}{a}(x_1-2)^2 -1=0$,即$(x_1-2)^2=a$,
∴a的取值范围是$\frac{9}{4}＜a＜9$. 故答案为$\frac{9}{4}＜a＜9$.
解析
【分析】
(1) 先确定抛物线$y=\dfrac{1}{a}(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$，若$y_1=y_2$，说明点M、N关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，再结合已知$x_2-x_1=3$，联立方程即可求出$x_1$、$x_2$的值，进而计算乘积。
(2) 已知$a＞0$时抛物线开口向上，点M、N在对称轴两侧且$x_2-x_1=3$，可判断M在对称轴左侧、N在右侧；由$y_1＞y_2$可知，开口向上时函数值更大的点离对称轴更远，由此推出$x_1$的取值范围；由于区间$[x_1,x_2]$内y的最大值为0，结合开口向上的性质，区间最大值在离对称轴更远的端点$x=x_1$处取得，代入解析式得到$a$与$(x_1-2)^2$的等量关系，最后根据$x_1$的范围求出$a$的取值范围。
【解析】
(1)
$\because y_1=y_2$，
$\therefore$ 点M，N关于抛物线的对称轴直线$x=2$对称，
$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{2}=2$，即$x_1+x_2=4$。
又$\because x_2-x_1=3$，
联立得方程组$\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_2-x_1=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=\dfrac{1}{2}\\x_2=\dfrac{7}{2}\end{cases}$，
$\therefore x_1x_2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{4}$。
(2)
$\because$ 点M，N在对称轴$x=2$两侧，且$x_2-x_1=3$，
$\therefore$ 点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，即$x_1＜2$，$x_2＞2$。
由$x_2=x_1+3＞2$，得$x_1＞-1$。
$\because a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＞y_2$，
$\therefore$ 点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，
即$2-x_1 ＞ x_2 - 2$，
代入$x_2=x_1+3$得：$2-x_1 ＞ x_1+3 -2$，
解得$x_1＜\dfrac{1}{2}$。
综上可得$-1＜x_1＜\dfrac{1}{2}$，
对不等式各项减2得：$-3 ＜ x_1-2 ＜ -\dfrac{3}{2}$，
平方后不等号方向改变，得$(-\dfrac{3}{2})^2 ＜ (x_1-2)^2 ＜ (-3)^2$，即$\dfrac{9}{4}＜(x_1-2)^2＜9$。
当$x_1≤ x≤ x_2$时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，因此最大值在$x=x_1$处取得，且最大值为0，
$\therefore \dfrac{1}{a}(x_1-2)^2 -1=0$，整理得$(x_1-2)^2=a$，
$\therefore \dfrac{9}{4}＜a＜9$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{4}$；(2) $\dfrac{9}{4}＜a＜9$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质展开考查，需要结合对称性判断点的位置关系，利用开口方向与点到对称轴的距离判断函数值大小，再结合区间最值求解参数范围，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先确定抛物线$y=\dfrac{1}{a}(x-2)^2 -1$的对称轴为直线$x=2$，若$y_1=y_2$，说明点M、N关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，再结合已知$x_2-x_1=3$，联立方程即可求出$x_1$、$x_2$的值，进而计算乘积。
(2) 已知$a＞0$时抛物线开口向上，点M、N在对称轴两侧且$x_2-x_1=3$，可判断M在对称轴左侧、N在右侧；由$y_1＞y_2$可知，开口向上时函数值更大的点离对称轴更远，由此推出$x_1$的取值范围；由于区间$[x_1,x_2]$内y的最大值为0，结合开口向上的性质，区间最大值在离对称轴更远的端点$x=x_1$处取得，代入解析式得到$a$与$(x_1-2)^2$的等量关系，最后根据$x_1$的范围求出$a$的取值范围。
【解析】
(1)
$\because y_1=y_2$，
$\therefore$ 点M，N关于抛物线的对称轴直线$x=2$对称，
$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{2}=2$，即$x_1+x_2=4$。
又$\because x_2-x_1=3$，
联立得方程组$\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_2-x_1=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=\dfrac{1}{2}\\x_2=\dfrac{7}{2}\end{cases}$，
$\therefore x_1x_2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{4}$。
(2)
$\because$ 点M，N在对称轴$x=2$两侧，且$x_2-x_1=3$，
$\therefore$ 点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，即$x_1＜2$，$x_2＞2$。
由$x_2=x_1+3＞2$，得$x_1＞-1$。
$\because a＞0$，抛物线开口向上，且$y_1＞y_2$，
$\therefore$ 点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，
即$2-x_1 ＞ x_2 - 2$，
代入$x_2=x_1+3$得：$2-x_1 ＞ x_1+3 -2$，
解得$x_1＜\dfrac{1}{2}$。
综上可得$-1＜x_1＜\dfrac{1}{2}$，
对不等式各项减2得：$-3 ＜ x_1-2 ＜ -\dfrac{3}{2}$，
平方后不等号方向改变，得$(-\dfrac{3}{2})^2 ＜ (x_1-2)^2 ＜ (-3)^2$，即$\dfrac{9}{4}＜(x_1-2)^2＜9$。
当$x_1≤ x≤ x_2$时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，因此最大值在$x=x_1$处取得，且最大值为0，
$\therefore \dfrac{1}{a}(x_1-2)^2 -1=0$，整理得$(x_1-2)^2=a$，
$\therefore \dfrac{9}{4}＜a＜9$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{4}$；(2) $\dfrac{9}{4}＜a＜9$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质展开考查，需要结合对称性判断点的位置关系，利用开口方向与点到对称轴的距离判断函数值大小，再结合区间最值求解参数范围，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
6 思想方法 数形结合 [难]如图,抛物线$y=(x+1)^2 +k$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的对称轴及k的值.
(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标.
(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当M点运动到何处时,$△ AMB$的面积最大?求出$△ AMB$的最大面积及此时点M的坐标;
②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.
(1)求抛物线的对称轴及k的值.
(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标.
(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当M点运动到何处时,$△ AMB$的面积最大?求出$△ AMB$的最大面积及此时点M的坐标;
②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.
答案
6.【解】(1)
∵抛物线$y=(x+1)^2 +k$与y轴交于点$C(0,-3)$,
∴$-3=1+k$,
∴$k=-4$,
∴抛物线的表达式为$y=(x+1)^2 -4$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-1$.
(2)如图(1),连接AC交抛物线的对称轴于点P,则$PA+PC$的值最小. 当$y=0$时,$(x+1)^2 -4=0$,解得$x=-3$或$x=1$.
∵A在B的左侧,
∴$A(-3,0)$,$B(1,0)$. 设直线AC的表达式为$y=nx+b$,
∴$\begin{cases}-3n+b=0,\\b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=-1,\\b=-3,\end{cases}$
∴直线AC的表达式为$y=-x-3$,当$x=-1$时,$y=-(-1)-3=-2$,
∴点P的坐标为$(-1,-2)$.
(3)
∵点M是抛物线上的一动点,
∴设点M的坐标为$(x,(x+1)^2 -4)$. 又
∵点M在第三象限,
∴$-3＜x＜0$.
①
∵$AB=4$,
∴$S_{△AMB}=\frac{1}{2}×4×|(x+1)^2 -4|=2|(x+1)^2 -4|$.
∵点M在第三象限,
∴$S_{△AMB}=8-2(x+1)^2$,
∴当$x=-1$,即点M的坐标为$(-1,-4)$时,$△AMB$的面积最大,最大值为8.
②如图(2),过点M作$MD⊥AB$于D.$S_{四边形AMCB}=S_{△OBC}+S_{△ADM}+S_{梯形OCMD}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×(3+x)×[4-(x+1)^2]+\frac{1}{2}×(-x)×[3+4-(x+1)^2]=-\frac{3}{2}(x^2+3x-4)=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8}$,当$x=-\frac{3}{2}$时,四边形AMCB的面积最大,最大值为$\frac{75}{8}$,此时$y=(-\frac{3}{2}+1)^2 -4=-\frac{15}{4}$,即点M的坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线为顶点式$y=(x+1)^2 +k$，根据顶点式二次函数的性质可直接得到对称轴；点C在抛物线上，将C点坐标代入解析式即可求出k的值。
(2) 本题属于最短路径问题，根据两点之间线段最短，连接AC，AC与对称轴的交点即为使$PA+PC$最小的点P。先求解抛物线与x轴的交点A、B的坐标，再求出直线AC的解析式，将对称轴的x值代入解析式即可得到P点坐标。
(3) ①$△ AMB$的底边AB长度固定，其面积大小由AB边上的高（即点M纵坐标的绝对值）决定，将面积表示为关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大面积及对应M点坐标。
②四边形AMCB为不规则图形，采用割补法将其拆分为多个规则图形（$△ OBC$、$△ ADM$、梯形OCMD），分别计算面积求和后得到关于M点横坐标的二次函数，根据二次函数最值的求解方法，即可得到四边形的最大面积及对应M点坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=(x+1)^2 +k$与y轴交于点$C(0,-3)$，将$C(0,-3)$代入解析式得：
$-3=(0+1)^2 +k$，解得$k=-4$，
则抛物线的解析式为$y=(x+1)^2 -4$，
根据顶点式二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
(2) 连接AC，AC与抛物线对称轴的交点即为所求点P，此时$PA+PC$的值最小。
令$y=0$，则$(x+1)^2 -4=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
因为A在B的左侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
设直线AC的解析式为$y=nx+b$，将$A(-3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3n+b=0\\b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=-1\\b=-3\end{cases}$，
所以直线AC的解析式为$y=-x-3$，
将对称轴$x=-1$代入直线AC解析式，得$y=-(-1)-3=-2$，
所以点P的坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点M的坐标为$(x,(x+1)^2 -4)$，因为M在第三象限，所以$-3＜x＜0$。
① 由$A(-3,0)$、$B(1,0)$得$AB=1-(-3)=4$，
$△ AMB$的面积$S_{△ AMB}=\frac{1}{2}×AB×|y_M|=\frac{1}{2}×4×|(x+1)^2 -4|$，
因为M在第三象限，$(x+1)^2 -4＜0$，所以$S_{△ AMB}=2×[4-(x+1)^2]=8-2(x+1)^2$，
这是开口向下的二次函数，当$x=-1$时，$S_{△ AMB}$取得最大值8，此时$y_M=(-1+1)^2 -4=-4$，即M点坐标为$(-1,-4)$。
② 过点M作$MD⊥AB$于点D，
四边形AMCB的面积可拆分为：$S_{四边形AMCB}=S_{△ OBC}+S_{△ ADM}+S_{梯形OCMD}$，
代入各点坐标计算得：
$S_{四边形AMCB}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×(3+x)×[4-(x+1)^2]+\frac{1}{2}×(-x)×[3+4-(x+1)^2]$
化简得$S_{四边形AMCB}=-\frac{3}{2}(x^2+3x-4)=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8}$，
因为$-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，四边形面积取得最大值$\frac{75}{8}$，
此时$y_M=(-\frac{3}{2}+1)^2 -4=-\frac{15}{4}$，即M点坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，$k=-4$；
(2) 点P的坐标为$(-1,-2)$；
(3) ①$△ AMB$的最大面积为8，此时M点坐标为$(-1,-4)$；
②四边形AMCB的最大面积为$\frac{75}{8}$，此时M点坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；最短路径问题；二次函数最值应用
【点评】
本题综合性较强，融合了二次函数性质、最短路径求解、不规则图形面积计算等考点，解题时要熟练运用数形结合与转化思想，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题求解，注意割补法在处理不规则图形面积时的灵活运用。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线为顶点式$y=(x+1)^2 +k$，根据顶点式二次函数的性质可直接得到对称轴；点C在抛物线上，将C点坐标代入解析式即可求出k的值。
(2) 本题属于最短路径问题，根据两点之间线段最短，连接AC，AC与对称轴的交点即为使$PA+PC$最小的点P。先求解抛物线与x轴的交点A、B的坐标，再求出直线AC的解析式，将对称轴的x值代入解析式即可得到P点坐标。
(3) ①$△ AMB$的底边AB长度固定，其面积大小由AB边上的高（即点M纵坐标的绝对值）决定，将面积表示为关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大面积及对应M点坐标。
②四边形AMCB为不规则图形，采用割补法将其拆分为多个规则图形（$△ OBC$、$△ ADM$、梯形OCMD），分别计算面积求和后得到关于M点横坐标的二次函数，根据二次函数最值的求解方法，即可得到四边形的最大面积及对应M点坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=(x+1)^2 +k$与y轴交于点$C(0,-3)$，将$C(0,-3)$代入解析式得：
$-3=(0+1)^2 +k$，解得$k=-4$，
则抛物线的解析式为$y=(x+1)^2 -4$，
根据顶点式二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
(2) 连接AC，AC与抛物线对称轴的交点即为所求点P，此时$PA+PC$的值最小。
令$y=0$，则$(x+1)^2 -4=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
因为A在B的左侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
设直线AC的解析式为$y=nx+b$，将$A(-3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3n+b=0\\b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=-1\\b=-3\end{cases}$，
所以直线AC的解析式为$y=-x-3$，
将对称轴$x=-1$代入直线AC解析式，得$y=-(-1)-3=-2$，
所以点P的坐标为$(-1,-2)$。
(3) 设点M的坐标为$(x,(x+1)^2 -4)$，因为M在第三象限，所以$-3＜x＜0$。
① 由$A(-3,0)$、$B(1,0)$得$AB=1-(-3)=4$，
$△ AMB$的面积$S_{△ AMB}=\frac{1}{2}×AB×|y_M|=\frac{1}{2}×4×|(x+1)^2 -4|$，
因为M在第三象限，$(x+1)^2 -4＜0$，所以$S_{△ AMB}=2×[4-(x+1)^2]=8-2(x+1)^2$，
这是开口向下的二次函数，当$x=-1$时，$S_{△ AMB}$取得最大值8，此时$y_M=(-1+1)^2 -4=-4$，即M点坐标为$(-1,-4)$。
② 过点M作$MD⊥AB$于点D，
四边形AMCB的面积可拆分为：$S_{四边形AMCB}=S_{△ OBC}+S_{△ ADM}+S_{梯形OCMD}$，
代入各点坐标计算得：
$S_{四边形AMCB}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×(3+x)×[4-(x+1)^2]+\frac{1}{2}×(-x)×[3+4-(x+1)^2]$
化简得$S_{四边形AMCB}=-\frac{3}{2}(x^2+3x-4)=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8}$，
因为$-\frac{3}{2}＜0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，四边形面积取得最大值$\frac{75}{8}$，
此时$y_M=(-\frac{3}{2}+1)^2 -4=-\frac{15}{4}$，即M点坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，$k=-4$；
(2) 点P的坐标为$(-1,-2)$；
(3) ①$△ AMB$的最大面积为8，此时M点坐标为$(-1,-4)$；
②四边形AMCB的最大面积为$\frac{75}{8}$，此时M点坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；最短路径问题；二次函数最值应用
【点评】
本题综合性较强，融合了二次函数性质、最短路径求解、不规则图形面积计算等考点，解题时要熟练运用数形结合与转化思想，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题求解，注意割补法在处理不规则图形面积时的灵活运用。
【难度系数】
0.3
