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1 若二次函数$y=2(x-1)^2 -1$的图象如图所示，则坐标原点可能是（
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
A
）A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
1. A 【解析】
∵$y=2(x-1)^2 -1$,
∴抛物线顶点坐标为$(1,-1)$,
∴坐标原点可能是点M,故选A.
∵$y=2(x-1)^2 -1$,
∴抛物线顶点坐标为$(1,-1)$,
∴坐标原点可能是点M,故选A.
解析
【分析】
解决这道题的核心是先确定二次函数的顶点坐标，再结合顶点坐标的位置反推原点的位置。首先题干给出的是二次函数的顶点式，可直接根据顶点式的结构特征得到顶点坐标；其次顶点坐标为$(1,-1)$，意味着顶点在x轴下方1个单位、y轴右侧1个单位的位置，因此原点应该在顶点的左上方，对应图中的点即可完成判断。
【解析】
解：已知二次函数的解析式为$y=2(x-1)^2 -1$，
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
由此可知：顶点的横坐标为1，说明y轴在顶点的左侧1个单位长度处；顶点的纵坐标为-1，说明x轴在顶点的上方1个单位长度处。
因此x轴与y轴的交点（坐标原点）位于顶点的左上方，观察图形可得点M符合该位置特征，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的顶点坐标求解，结合平面直角坐标系的坐标特点即可快速判断原点位置，是对二次函数图象基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是先确定二次函数的顶点坐标，再结合顶点坐标的位置反推原点的位置。首先题干给出的是二次函数的顶点式，可直接根据顶点式的结构特征得到顶点坐标；其次顶点坐标为$(1,-1)$，意味着顶点在x轴下方1个单位、y轴右侧1个单位的位置，因此原点应该在顶点的左上方，对应图中的点即可完成判断。
【解析】
解：已知二次函数的解析式为$y=2(x-1)^2 -1$，
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
由此可知：顶点的横坐标为1，说明y轴在顶点的左侧1个单位长度处；顶点的纵坐标为-1，说明x轴在顶点的上方1个单位长度处。
因此x轴与y轴的交点（坐标原点）位于顶点的左上方，观察图形可得点M符合该位置特征，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的顶点坐标求解，结合平面直角坐标系的坐标特点即可快速判断原点位置，是对二次函数图象基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
2 对于抛物线$y=-(x+1)^2 -2$，下列说法正确的是（
A.抛物线开口向上
B.顶点坐标为$(1,-2)$
C.函数最小值为$-2$
D.当$x＞-1$时，$y$随$x$增大而减小
D
）A.抛物线开口向上
B.顶点坐标为$(1,-2)$
C.函数最小值为$-2$
D.当$x＞-1$时，$y$随$x$增大而减小
答案
2. D 【解析】
∵$y=-(x+1)^2 -2$,
∴抛物线开口向下,顶点坐标为$(-1,-2)$,函数的最大值为$-2$,当$x＞-1$时,$y$随$x$增大而减小,故选D.
∵$y=-(x+1)^2 -2$,
∴抛物线开口向下,顶点坐标为$(-1,-2)$,函数的最大值为$-2$,当$x＞-1$时,$y$随$x$增大而减小,故选D.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合性质逐一判断每个选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2 -2$，对应顶点式可得$a=-1＜0$，$h=-1$，$k=-2$。
1. 判断开口方向：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)=(-1,-2)$，故B选项错误；
3. 判断最值：因抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k=-2$，无最小值，故C选项错误；
4. 判断增减性：抛物线对称轴为直线$x=-1$，开口向下，因此在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性 3.二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，就能快速判断开口、顶点、最值及增减性等相关结论。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合性质逐一判断每个选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2 -2$，对应顶点式可得$a=-1＜0$，$h=-1$，$k=-2$。
1. 判断开口方向：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，故A选项错误；
2. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)=(-1,-2)$，故B选项错误；
3. 判断最值：因抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k=-2$，无最小值，故C选项错误；
4. 判断增减性：抛物线对称轴为直线$x=-1$，开口向下，因此在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性 3.二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，就能快速判断开口、顶点、最值及增减性等相关结论。
【难度系数】
0.8
3 若抛物线 $y=(x-m)^2 + m + 1$ 的顶点在第二象限，则 $m$ 的取值范围为（
A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
D
）A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
答案
3. D 【解析】
∵$y=(x-m)^2 +m+1$,
∴抛物线的顶点为$(m,m+1)$.
∵顶点在第二象限,
∴$m＜0$,$m+1＞0$,
∴$-1＜m＜0$,故选D.
∵$y=(x-m)^2 +m+1$,
∴抛物线的顶点为$(m,m+1)$.
∵顶点在第二象限,
∴$m＜0$,$m+1＞0$,
∴$-1＜m＜0$,故选D.
解析
【分析】
解题时首先从给出的二次函数顶点式中提取顶点坐标，再回忆第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，接着根据顶点在第二象限的条件列出关于m的不等式组，最后求解不等式组得到m的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=(x-m)^2 + m + 1$，属于二次函数的顶点式，
∴该抛物线的顶点坐标为$(m, m+1)$。
∵顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，
∴可得不等式组$\begin{cases}m ＜ 0 \\ m + 1 ＞ 0\end{cases}$，
解不等式$m + 1 ＞ 0$，得$m ＞ -1$，
结合$m ＜ 0$，可得$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 象限内点的坐标特征
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础题型，将二次函数性质与平面直角坐标系中点的特征结合考查，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式对应的顶点坐标，以及各象限内点的坐标符号规律，解不等式时注意不要弄错不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题时首先从给出的二次函数顶点式中提取顶点坐标，再回忆第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，接着根据顶点在第二象限的条件列出关于m的不等式组，最后求解不等式组得到m的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=(x-m)^2 + m + 1$，属于二次函数的顶点式，
∴该抛物线的顶点坐标为$(m, m+1)$。
∵顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，
∴可得不等式组$\begin{cases}m ＜ 0 \\ m + 1 ＞ 0\end{cases}$，
解不等式$m + 1 ＞ 0$，得$m ＞ -1$，
结合$m ＜ 0$，可得$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 象限内点的坐标特征
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础题型，将二次函数性质与平面直角坐标系中点的特征结合考查，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式对应的顶点坐标，以及各象限内点的坐标符号规律，解不等式时注意不要弄错不等号方向。
【难度系数】
0.7
4[2026安徽阜阳校级质检]在平面直角坐标系中,已知$M(x_1,y_1),N(m-x_1,y_2)$为抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上两点,当$x_1＜m-x_1$时,$y_1＜y_2$,则$m$的取值范围为（
A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞2$
D.$m＜2$
A
）A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞2$
D.$m＜2$
答案
4. A 【解析】
∵抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$.
∵$x_1＜m-x_1$,
∴M位于N的左侧.
∴当$x_1＜m-x_1$时满足$y_1＜y_2$,
∴当$x_1＜m-x_1 ≤2$时,$y_1＞y_2$,不满足题意;当$m-x_1＞x_1 ≥2$时,满足题意,此时$m-x_1+x_1＞4$,即$m＞4$;当$x_1＜2＜m-x_1$时,要满足条件,则M点比N点低,此时$m-x_1-2＞2-x_1$,
∴$m＞4$. 故选A.
∵抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$.
∵$x_1＜m-x_1$,
∴M位于N的左侧.
∴当$x_1＜m-x_1$时满足$y_1＜y_2$,
∴当$x_1＜m-x_1 ≤2$时,$y_1＞y_2$,不满足题意;当$m-x_1＞x_1 ≥2$时,满足题意,此时$m-x_1+x_1＞4$,即$m＞4$;当$x_1＜2＜m-x_1$时,要满足条件,则M点比N点低,此时$m-x_1-2＞2-x_1$,
∴$m＞4$. 故选A.
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，第一步先确定抛物线的开口方向和对称轴：a＞0说明抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，开口向上的抛物线的核心性质是横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。已知M、N两点的横坐标分别为x₁、m-x₁，且x₁＜m-x₁，即M在N的左侧，此时y₁＜y₂说明N点的函数值更大，即N到对称轴的距离大于M到对称轴的距离。我们可以通过分类讨论两点在对称轴的不同位置，结合二次函数的增减性推导m的取值，也可以利用两点横坐标的中点与对称轴的位置关系快速求解。
【解析】
∵抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
∵$x_1＜m-x_1$，
∴点M位于点N的左侧。
已知此时$y_1＜y_2$，分情况讨论：
1. 当$x_1＜m-x_1 ≤2$时，两点均在对称轴左侧，y随x增大而减小，此时$y_1＞y_2$，不符合题意；
2. 当$m-x_1＞x_1 ≥2$时，两点均在对称轴右侧，y随x增大而增大，此时$y_1＜y_2$，满足题意，可得$x_1 + (m - x_1) ＞ 2 + 2$，即$m＞4$；
3. 当$x_1＜2＜m-x_1$时，两点分别在对称轴两侧，要满足$y_1＜y_2$，需右侧的N点到对称轴的距离大于左侧的M点到对称轴的距离，即$(m - x_1) - 2 ＞ 2 - x_1$，化简得$m＞4$。
综上，m的取值范围是$m＞4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设题，解题的关键是熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数增减性、函数值大小的关系，既可以通过分类讨论不同位置的点推导结论，也可以利用两点横坐标中点和对称轴的位置关系快速求解，能有效考查对二次函数性质的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察抛物线解析式为顶点式，第一步先确定抛物线的开口方向和对称轴：a＞0说明抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，开口向上的抛物线的核心性质是横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。已知M、N两点的横坐标分别为x₁、m-x₁，且x₁＜m-x₁，即M在N的左侧，此时y₁＜y₂说明N点的函数值更大，即N到对称轴的距离大于M到对称轴的距离。我们可以通过分类讨论两点在对称轴的不同位置，结合二次函数的增减性推导m的取值，也可以利用两点横坐标的中点与对称轴的位置关系快速求解。
【解析】
∵抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
∵$x_1＜m-x_1$，
∴点M位于点N的左侧。
已知此时$y_1＜y_2$，分情况讨论：
1. 当$x_1＜m-x_1 ≤2$时，两点均在对称轴左侧，y随x增大而减小，此时$y_1＞y_2$，不符合题意；
2. 当$m-x_1＞x_1 ≥2$时，两点均在对称轴右侧，y随x增大而增大，此时$y_1＜y_2$，满足题意，可得$x_1 + (m - x_1) ＞ 2 + 2$，即$m＞4$；
3. 当$x_1＜2＜m-x_1$时，两点分别在对称轴两侧，要满足$y_1＜y_2$，需右侧的N点到对称轴的距离大于左侧的M点到对称轴的距离，即$(m - x_1) - 2 ＞ 2 - x_1$，化简得$m＞4$。
综上，m的取值范围是$m＞4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称性
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设题，解题的关键是熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数增减性、函数值大小的关系，既可以通过分类讨论不同位置的点推导结论，也可以利用两点横坐标中点和对称轴的位置关系快速求解，能有效考查对二次函数性质的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
5 新考向开放性问题 [2026安徽合肥质检]写出一个同时满足下列两个条件的抛物线表达式：
(1)开口向下;(2)顶点坐标是$(-3,2)$,则这个抛物线表达式可以是
(1)开口向下;(2)顶点坐标是$(-3,2)$,则这个抛物线表达式可以是
$y=-(x+3)^2+2$(答案不唯一)
.答案
5. $y=-(x+3)^2+2$(答案不唯一) 【解析】由题意得,这个二次函数可以是$y=-(x+3)^2+2$,故答案为$y=-(x+3)^2+2$(答案不唯一).
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$解题，其中$(h,k)$是抛物线的顶点坐标，$a$的符号决定开口方向。首先根据开口向下的条件，确定$a$为负数（任意取一个负值即可，比如$a=-1$）；再将顶点坐标$(-3,2)$对应代入顶点式的$h$、$k$位置，就能得到符合要求的抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 由顶点坐标为$(-3,2)$，可得$h=-3$，$k=2$，代入顶点式得$y=a(x+3)^2+2$；
2. 由抛物线开口向下，可知$a＜0$，取$a=-1$（也可选取其他任意负数值），代入得$y=-(x+3)^2+2$。
只要$a$为负数，表达式均满足要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-(x+3)^2+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的含义，只要掌握顶点坐标、开口方向与参数的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
已知抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$解题，其中$(h,k)$是抛物线的顶点坐标，$a$的符号决定开口方向。首先根据开口向下的条件，确定$a$为负数（任意取一个负值即可，比如$a=-1$）；再将顶点坐标$(-3,2)$对应代入顶点式的$h$、$k$位置，就能得到符合要求的抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 由顶点坐标为$(-3,2)$，可得$h=-3$，$k=2$，代入顶点式得$y=a(x+3)^2+2$；
2. 由抛物线开口向下，可知$a＜0$，取$a=-1$（也可选取其他任意负数值），代入得$y=-(x+3)^2+2$。
只要$a$为负数，表达式均满足要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-(x+3)^2+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的含义，只要掌握顶点坐标、开口方向与参数的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6 抛物线 $y=(x+2)^2 + 3$ 上的点到x轴的最短的距离是
3
.答案
6. 3 【解析】
∵抛物线$y=(x+2)^2 +3$,
∴抛物线开口向上,顶点坐标为$(-2,3)$,
∴当$x=-2$时,函数有最小值3,
∴抛物线上的点到x轴的最短的距离是3,故答案为3.
∵抛物线$y=(x+2)^2 +3$,
∴抛物线开口向上,顶点坐标为$(-2,3)$,
∴当$x=-2$时,函数有最小值3,
∴抛物线上的点到x轴的最短的距离是3,故答案为3.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确两个核心点：一是平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此本题本质是求抛物线上所有点纵坐标的绝对值的最小值；二是所给二次函数为顶点式，可直接判断开口方向和顶点坐标，开口向上的抛物线顶点是最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值，求出最小值后就能得到最短距离。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=(x+2)^2 + 3$，
∴$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(-2,3)$，
∴当$x=-2$时，二次函数取得最小值，最小值为3，
∵抛物线上的点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，3的绝对值为3，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离是3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式的性质；点到坐标轴的距离；二次函数的最值
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是将几何距离问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握顶点式二次函数的图象性质可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先明确两个核心点：一是平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此本题本质是求抛物线上所有点纵坐标的绝对值的最小值；二是所给二次函数为顶点式，可直接判断开口方向和顶点坐标，开口向上的抛物线顶点是最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值，求出最小值后就能得到最短距离。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=(x+2)^2 + 3$，
∴$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(-2,3)$，
∴当$x=-2$时，二次函数取得最小值，最小值为3，
∵抛物线上的点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，3的绝对值为3，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离是3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式的性质；点到坐标轴的距离；二次函数的最值
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是将几何距离问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握顶点式二次函数的图象性质可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
7 如图,二次函数$y=a(x+1)^2 -2$的图象过点(1,0).
(1)$a=$
(2)当$-2≤ x＜3$时,函数值$y$的取值范围是
(1)$a=$
$\frac{1}{2}$
;(2)当$-2≤ x＜3$时,函数值$y$的取值范围是
$-2≤y＜6$
.答案
7. (1)$\frac{1}{2}$ (2)$-2≤y＜6$ 【解析】(1)
∵二次函数$y=a(x+1)^2 -2$的图象过点$(1,0)$,
∴$0=a(1+1)^2 -2$,解得$a=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
(2)
∵$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$,
∴抛物线开口向上,当$x=-1$时,$y$有最小值$-2$. 当$x=-2$时,$y=-\frac{3}{2}$,当$x=3$时,$y=6$,
∴当$-2≤x＜3$时,函数值$y$的取值范围是$-2≤y＜6$,故答案为$-2≤y＜6$.
∵二次函数$y=a(x+1)^2 -2$的图象过点$(1,0)$,
∴$0=a(1+1)^2 -2$,解得$a=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
(2)
∵$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$,
∴抛物线开口向上,当$x=-1$时,$y$有最小值$-2$. 当$x=-2$时,$y=-\frac{3}{2}$,当$x=3$时,$y=6$,
∴当$-2≤x＜3$时,函数值$y$的取值范围是$-2≤y＜6$,故答案为$-2≤y＜6$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点式解析式，且函数图象经过点(1,0)，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点坐标代入解析式建立关于a的方程，解方程即可求出a的值。
(2) 得到完整的二次函数解析式后，先判断抛物线开口方向，确定对称轴和顶点坐标，得到函数的最小值；再分别计算给定区间端点x=-2和x=3处的函数值，结合x的取值范围（x＜3不包含3），即可得出y的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(1,0)$代入二次函数$y=a(x+1)^2 -2$，可得：
$0=a(1+1)^2 -2$
整理得$4a-2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-2)$，即当$x=-1$时，$y$取得最小值$-2$。
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2+1)^2 -2=-\frac{3}{2}$；
当$x=3$时，$y=\frac{1}{2}×(3+1)^2 -2=6$。
$\because x＜3$，$\therefore y＜6$，结合函数最小值为$-2$，可得当$-2≤x＜3$时，$y$的取值范围是$-2≤y＜6$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$-2≤y＜6$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值的相关性质，求解取值范围时要注意自变量区间的端点是否包含，避免边界判断错误。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数的顶点式解析式，且函数图象经过点(1,0)，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点坐标代入解析式建立关于a的方程，解方程即可求出a的值。
(2) 得到完整的二次函数解析式后，先判断抛物线开口方向，确定对称轴和顶点坐标，得到函数的最小值；再分别计算给定区间端点x=-2和x=3处的函数值，结合x的取值范围（x＜3不包含3），即可得出y的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(1,0)$代入二次函数$y=a(x+1)^2 -2$，可得：
$0=a(1+1)^2 -2$
整理得$4a-2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-2)$，即当$x=-1$时，$y$取得最小值$-2$。
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2+1)^2 -2=-\frac{3}{2}$；
当$x=3$时，$y=\frac{1}{2}×(3+1)^2 -2=6$。
$\because x＜3$，$\therefore y＜6$，结合函数最小值为$-2$，可得当$-2≤x＜3$时，$y$的取值范围是$-2≤y＜6$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$-2≤y＜6$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值的相关性质，求解取值范围时要注意自变量区间的端点是否包含，避免边界判断错误。
【难度系数】
0.8
8 将二次函数$y=2x^2$的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（
A.$y=2(x+2)^2 +3$
B.$y=2(x+2)^2 -3$
C.$y=2(x-2)^2 -3$
D.$y=2(x-2)^2 +3$
C
）A.$y=2(x+2)^2 +3$
B.$y=2(x+2)^2 -3$
C.$y=2(x-2)^2 -3$
D.$y=2(x-2)^2 +3$
答案
8. C 【解析】由“左加右减”的原则可知,将二次函数$y=2x^2$的图象向右平移2个单位所得函数图象的表达式为$y=2(x-2)^2$;由“上加下减”的原则可知,将二次函数$y=2(x-2)^2$的图象向下平移3个单位得到的函数图象的表达式是$y=2(x-2)^2 -3$. 故选C.
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握二次函数图象的平移规律。首先明确平移口诀：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量x的变换（仅对x本身进行加减操作），“上加下减”是针对函数整体的变换。解题时先处理左右平移，再处理上下平移，逐步推导变换后的函数表达式即可。
【解析】
根据“左加右减”的平移原则，将二次函数$y=2x^2$的图象向右平移2个单位时，需将自变量x替换为$x-2$，得到的函数表达式为$y=2(x-2)^2$；
再根据“上加下减”的平移原则，将$y=2(x-2)^2$的图象向下平移3个单位时，需在函数整体后减去3，最终得到的函数表达式为$y=2(x-2)^2 -3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数图象平移；左加右减原则；上加下减原则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换规则，解题的关键是准确理解“左加右减”是针对自变量x本身的操作，避免混淆平移方向对应的加减符号，牢记平移口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练掌握二次函数图象的平移规律。首先明确平移口诀：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量x的变换（仅对x本身进行加减操作），“上加下减”是针对函数整体的变换。解题时先处理左右平移，再处理上下平移，逐步推导变换后的函数表达式即可。
【解析】
根据“左加右减”的平移原则，将二次函数$y=2x^2$的图象向右平移2个单位时，需将自变量x替换为$x-2$，得到的函数表达式为$y=2(x-2)^2$；
再根据“上加下减”的平移原则，将$y=2(x-2)^2$的图象向下平移3个单位时，需在函数整体后减去3，最终得到的函数表达式为$y=2(x-2)^2 -3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数图象平移；左加右减原则；上加下减原则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换规则，解题的关键是准确理解“左加右减”是针对自变量x本身的操作，避免混淆平移方向对应的加减符号，牢记平移口诀即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9 [2026 浙江绍兴期中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y_1 = x^2$经过平移得到抛物线$y_2=(x-1)^2 -1$,其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为
1
. 答案
9. 1 【解析】如图,设抛物线$y_2$的顶点为点B,对称轴与x轴的交点为点C,则易知$B(1,-1)$,$C(1,0)$. 过点B作y轴的垂线,交y轴于点A,则易易得四边形OABC为矩形,
∴$S_{矩形OABC}=1×1=1$,故答案为1.
解析
【分析】
解题时首先观察到阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，结合二次函数平移的性质思考：抛物线平移仅改变位置，形状和大小完全不变，因此可以采用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积。首先确定平移后抛物线$y_2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$，通过作辅助线构造矩形，利用平移前后抛物线的全等性，可知阴影部分的面积与构造的矩形面积相等，进而求解。
【解析】
抛物线$y_2=(x-1)^2-1$是抛物线$y_1=x^2$向右平移1个单位、向下平移1个单位得到的，平移前后抛物线的形状、大小完全相同。
设抛物线$y_2$的顶点为点B，对称轴$x=1$与x轴的交点为点C，可得$B(1,-1)$，$C(1,0)$。过点B作y轴的垂线，交y轴于点A，可得$A(0,-1)$，因此四边形OABC为矩形，矩形的长$OC=1$，宽$OA=1$。
根据平移的性质，阴影部分的面积与矩形OABC的面积相等，因此$S_{阴影}=S_{矩形OABC}=1×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积，二次函数对称轴
【点评】
本题侧重考察对二次函数平移性质的理解和不规则图形面积的转化思想，解题的核心是利用平移前后图形全等的特点，将不规则阴影面积转化为易计算的矩形面积，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，结合二次函数平移的性质思考：抛物线平移仅改变位置，形状和大小完全不变，因此可以采用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积。首先确定平移后抛物线$y_2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$，通过作辅助线构造矩形，利用平移前后抛物线的全等性，可知阴影部分的面积与构造的矩形面积相等，进而求解。
【解析】
抛物线$y_2=(x-1)^2-1$是抛物线$y_1=x^2$向右平移1个单位、向下平移1个单位得到的，平移前后抛物线的形状、大小完全相同。
设抛物线$y_2$的顶点为点B，对称轴$x=1$与x轴的交点为点C，可得$B(1,-1)$，$C(1,0)$。过点B作y轴的垂线，交y轴于点A，可得$A(0,-1)$，因此四边形OABC为矩形，矩形的长$OC=1$，宽$OA=1$。
根据平移的性质，阴影部分的面积与矩形OABC的面积相等，因此$S_{阴影}=S_{矩形OABC}=1×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积，二次函数对称轴
【点评】
本题侧重考察对二次函数平移性质的理解和不规则图形面积的转化思想，解题的核心是利用平移前后图形全等的特点，将不规则阴影面积转化为易计算的矩形面积，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
10[2025安徽池州校级质检]把抛物线$y=a(x+h)^2 +k$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$。
(1)试确定$a,h,k$的值；
(2)求原抛物线关于$x$轴对称的抛物线的函数表达式。
刷易错 小心有坑~
(1)试确定$a,h,k$的值；
(2)求原抛物线关于$x$轴对称的抛物线的函数表达式。
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答案
10.【解】(1)
∵抛物线$y=a(x+h)^2 +k$先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$,
∴$a=\frac{1}{2}$,$-h=-1+2$,$k=-1-4$,
∴$h=-1$,$k=-5$.
(2)
∵原抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$,
∴顶点坐标为$(1,-5)$.
∵点$(1,-5)$关于x轴对称的点的坐标为$(1,5)$,且关于x轴对称的抛物线的开口方向相反,
∴原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$.
∵抛物线$y=a(x+h)^2 +k$先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$,
∴$a=\frac{1}{2}$,$-h=-1+2$,$k=-1-4$,
∴$h=-1$,$k=-5$.
(2)
∵原抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$,
∴顶点坐标为$(1,-5)$.
∵点$(1,-5)$关于x轴对称的点的坐标为$(1,5)$,且关于x轴对称的抛物线的开口方向相反,
∴原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$.
解析
【分析】
(1) 第一问可根据二次函数平移的性质求解：平移不改变抛物线的开口大小和方向，因此二次项系数$a$和平移后保持一致；再结合平移“左加右减、上加下减”的规律，已知平移后的解析式，逆向操作将新抛物线向右平移2个单位、向下平移4个单位，即可得到原抛物线，进而求出$h$和$k$的值。
(2) 第二问利用关于x轴对称的图象性质求解：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此对称后的抛物线开口方向与原抛物线相反（二次项系数变为原数的相反数），顶点坐标为原顶点关于x轴的对称点，代入顶点式即可得到对应解析式。
【解析】
(1)
∵抛物线平移不改变开口大小和方向，
∴$a=\frac{1}{2}$。
将平移后得到的抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$向右平移2个单位、向下平移4个单位，即可得到原抛物线：
根据平移规律，向右平移2个单位将$x$替换为$x-2$，向下平移4个单位整体减4，因此原抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x+1-2)^2 -1 -4=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$
对比顶点式$y=a(x+h)^2 +k$，可得$h=-1$，$k=-5$。
(2) 由(1)可知原抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$，其顶点坐标为$(1,-5)$。
关于x轴对称的抛物线开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$；
点$(1,-5)$关于x轴对称的点坐标为$(1,5)$，即对称后抛物线的顶点为$(1,5)$，
因此对称后的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$h=-1$，$k=-5$；
(2) $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$
【知识点】
二次函数图象平移规律，关于x轴对称的坐标特征，二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，解题核心是牢记平移“左加右减、上加下减”的规律，逆向推导原解析式时注意运算方向相反；关于x轴对称的抛物线需要同时调整顶点坐标和二次项系数的符号，避免因忽略符号变化出错。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可根据二次函数平移的性质求解：平移不改变抛物线的开口大小和方向，因此二次项系数$a$和平移后保持一致；再结合平移“左加右减、上加下减”的规律，已知平移后的解析式，逆向操作将新抛物线向右平移2个单位、向下平移4个单位，即可得到原抛物线，进而求出$h$和$k$的值。
(2) 第二问利用关于x轴对称的图象性质求解：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此对称后的抛物线开口方向与原抛物线相反（二次项系数变为原数的相反数），顶点坐标为原顶点关于x轴的对称点，代入顶点式即可得到对应解析式。
【解析】
(1)
∵抛物线平移不改变开口大小和方向，
∴$a=\frac{1}{2}$。
将平移后得到的抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$向右平移2个单位、向下平移4个单位，即可得到原抛物线：
根据平移规律，向右平移2个单位将$x$替换为$x-2$，向下平移4个单位整体减4，因此原抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x+1-2)^2 -1 -4=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$
对比顶点式$y=a(x+h)^2 +k$，可得$h=-1$，$k=-5$。
(2) 由(1)可知原抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$，其顶点坐标为$(1,-5)$。
关于x轴对称的抛物线开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$；
点$(1,-5)$关于x轴对称的点坐标为$(1,5)$，即对称后抛物线的顶点为$(1,5)$，
因此对称后的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$h=-1$，$k=-5$；
(2) $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 +5$
【知识点】
二次函数图象平移规律，关于x轴对称的坐标特征，二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，解题核心是牢记平移“左加右减、上加下减”的规律，逆向推导原解析式时注意运算方向相反；关于x轴对称的抛物线需要同时调整顶点坐标和二次项系数的符号，避免因忽略符号变化出错。
【难度系数】
0.7
11 在平面直角坐标系中,若抛物线$y=3x^2$不动,而把$x$轴、$y$轴分别向上、向右平移1个单位,则在新坐标系中,抛物线的函数表达式为
$y=3(x+1)^2-1$
.答案
11. $y=3(x+1)^2-1$ 【解析】抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$.
∵把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位,
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$,
∴新坐标系中抛物线的函数表达式是$y=3(x+1)^2 -1$. 故答案为$y=3(x+1)^2 -1$.
∵把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位,
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$,
∴新坐标系中抛物线的函数表达式是$y=3(x+1)^2 -1$. 故答案为$y=3(x+1)^2 -1$.
解析
【分析】
解决这道题我们可以采用顶点法，思路如下：①首先明确抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，坐标轴平移不会改变抛物线本身的形状，因此a的值始终为3不变；②先找到原抛物线在原坐标系下的顶点坐标；③将坐标轴的平移转化为抛物线相对于新坐标系的平移：x轴向上平移1个单位，等价于抛物线相对于新x轴向下平移1个单位；y轴向右平移1个单位，等价于抛物线相对于新y轴向左平移1个单位，由此得到新坐标系下抛物线的顶点坐标；④最后将新顶点坐标代入二次函数的顶点式，即可得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
解：原抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
∵把x轴向上平移1个单位、y轴向右平移1个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向左平移1个单位、向下平移1个单位，
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$。
∵抛物线的形状、开口方向不变，二次项系数$a=3$，代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），
∴新坐标系中抛物线的函数表达式是$y=3(x+1)^2 -1$。
【答案】
$y=3(x+1)^2 -1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 坐标平移变换 3. 二次函数图象性质
【点评】
本题将坐标轴平移与二次函数图象变换结合考查，解题核心是把坐标轴的平移转化为二次函数的反向平移，借助顶点式求解更简便，能有效避免平移方向混淆的问题，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以采用顶点法，思路如下：①首先明确抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，坐标轴平移不会改变抛物线本身的形状，因此a的值始终为3不变；②先找到原抛物线在原坐标系下的顶点坐标；③将坐标轴的平移转化为抛物线相对于新坐标系的平移：x轴向上平移1个单位，等价于抛物线相对于新x轴向下平移1个单位；y轴向右平移1个单位，等价于抛物线相对于新y轴向左平移1个单位，由此得到新坐标系下抛物线的顶点坐标；④最后将新顶点坐标代入二次函数的顶点式，即可得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
解：原抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
∵把x轴向上平移1个单位、y轴向右平移1个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向左平移1个单位、向下平移1个单位，
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$。
∵抛物线的形状、开口方向不变，二次项系数$a=3$，代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），
∴新坐标系中抛物线的函数表达式是$y=3(x+1)^2 -1$。
【答案】
$y=3(x+1)^2 -1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 坐标平移变换 3. 二次函数图象性质
【点评】
本题将坐标轴平移与二次函数图象变换结合考查，解题核心是把坐标轴的平移转化为二次函数的反向平移，借助顶点式求解更简便，能有效避免平移方向混淆的问题，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
