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1[中]已知k为任意实数,随着k的变化,抛物线$y=x^2 - 2(k - 1)x + k^2 - 3$的顶点随之运动,则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是 (
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
A
)A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案
1.A 【解析】
解析
【分析】
要解决这道题，需按三步思考：第一步，利用二次函数顶点式得到顶点横、纵坐标关于参数k的表达式；第二步，消去参数k，推导得到顶点运动的路径对应的函数解析式；第三步，求出该路径与两条坐标轴的交点，利用三角形面积公式计算围成图形的面积即可。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2 - 2(k - 1)x + k^2 - 3 = [x-(k-1)]^2 + 2k - 4$，
可得抛物线顶点坐标为$(k-1, 2k-4)$。
2. 推导顶点运动的路径解析式：
设顶点横坐标为$x=k-1$，纵坐标为$y=2k-4$，
由$x=k-1$变形得$k=x+1$，代入$y=2k-4$得：
$y=2(x+1)-4=2x-2$，
即顶点运动的路径为直线$y=2x-2$。
3. 计算围成图形的面积：
求直线$y=2x-2$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=-2$，即与y轴交点为$(0,-2)$；
当$y=0$时，解得$x=1$，即与x轴交点为$(1,0)$。
直线与坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为1、2，因此面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标，一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题型，核心考点是参数消去法推导动点轨迹，能有效考查学生对二次函数性质的掌握和函数参数的处理能力，解题的关键是正确得到顶点运动对应的直线方程。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按三步思考：第一步，利用二次函数顶点式得到顶点横、纵坐标关于参数k的表达式；第二步，消去参数k，推导得到顶点运动的路径对应的函数解析式；第三步，求出该路径与两条坐标轴的交点，利用三角形面积公式计算围成图形的面积即可。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2 - 2(k - 1)x + k^2 - 3 = [x-(k-1)]^2 + 2k - 4$，
可得抛物线顶点坐标为$(k-1, 2k-4)$。
2. 推导顶点运动的路径解析式：
设顶点横坐标为$x=k-1$，纵坐标为$y=2k-4$，
由$x=k-1$变形得$k=x+1$，代入$y=2k-4$得：
$y=2(x+1)-4=2x-2$，
即顶点运动的路径为直线$y=2x-2$。
3. 计算围成图形的面积：
求直线$y=2x-2$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=-2$，即与y轴交点为$(0,-2)$；
当$y=0$时，解得$x=1$，即与x轴交点为$(1,0)$。
直线与坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为1、2，因此面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标，一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题型，核心考点是参数消去法推导动点轨迹，能有效考查学生对二次函数性质的掌握和函数参数的处理能力，解题的关键是正确得到顶点运动对应的直线方程。
【难度系数】
0.7
2[中]已知二次函数$y=x^2+px+q$，当$0≤x≤1$时，此函数最大值与最小值的差（
A.与$p,q$都有关
B.与$p$无关，但与$q$有关
C.与$p,q$都无关
D.与$p$有关，但与$q$无关
D
）A.与$p,q$都有关
B.与$p$无关，但与$q$有关
C.与$p,q$都无关
D.与$p$有关，但与$q$无关
答案
2.D 【解析】$\because$ 二次函数$y=x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2+\frac{4q-p^2}{4}$,$\therefore$ 该抛物线开口向上,对称轴为$x=-\frac{p}{2}$. 当$x=-\frac{p}{2}＜0$时,当$x=0$时,二次函数有最小值,为$q$,当$x=1$时,二次函数有最大值,为$1+p+q$,$\therefore$ 函数最大值与最小值的差为$1+p$. 当$x=-\frac{p}{2}＞1$时,当$x=0$时,二次函数有最大值,为$q$,当$x=1$时,二次函数有最小值,为$1+p+q$,$\therefore$ 函数最大值与最小值的差为$-1-p$. 当$0≤ x=-\frac{p}{2}＜\frac{1}{2}$时,当$x=1$时,函数有最大值,为$1+p+q$,当$x=-\frac{p}{2}$时,函数有最小值,为$q-\frac{p^2}{4}$,$\therefore$ 函数最大值与最小值的差为$1+p+\frac{p^2}{4}$. 当$\frac{1}{2}≤ x=-\frac{p}{2}≤1$时,当$x=0$时,函数有最大值,为$q$,当$x=-\frac{p}{2}$时,函数有最小值,为$q-\frac{p^2}{4}$,$\therefore$ 函数最大值与最小值的差为$\frac{p^2}{4}$. 综上所述,此函数最大值与最小值的差与$p$有关,但与$q$无关. 故选D.
解析
【分析】
要判断二次函数在$0≤x≤1$范围内最大值与最小值的差和$p、q$的关系，解题思路如下：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向和对称轴；第二步因为开口向上，函数在闭区间的最值只会出现在区间端点或顶点处，所以需要按对称轴与区间$[0,1]$的位置关系分类讨论，分别计算每种情况的最值差；第三步观察所有情况的最值差表达式，判断是否包含$p、q$即可得出结论。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2+\frac{4q-p^2}{4}$，
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{p}{2}$，分四种情况讨论：
1. 当对称轴$x=-\frac{p}{2}＜0$时：
函数在$[0,1]$上单调递增，最小值为$x=0$时的$y=q$，最大值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$(1+p+q)-q=1+p$，不含$q$；
2. 当对称轴$x=-\frac{p}{2}＞1$时：
函数在$[0,1]$上单调递减，最大值为$x=0$时的$y=q$，最小值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$q-(1+p+q)=-1-p$，不含$q$；
3. 当$0≤ -\frac{p}{2}＜\frac{1}{2}$时：
函数最小值为顶点处的$y=\frac{4q-p^2}{4}=q-\frac{p^2}{4}$，最大值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$(1+p+q)-(q-\frac{p^2}{4})=1+p+\frac{p^2}{4}$，不含$q$；
4. 当$\frac{1}{2}≤ -\frac{p}{2}≤1$时：
函数最小值为顶点处的$y=q-\frac{p^2}{4}$，最大值为$x=0$时的$y=q$，
最值差为$q-(q-\frac{p^2}{4})=\frac{p^2}{4}$，不含$q$。
综上，所有情况的最值差都只含$p$，不含$q$，即差与$p$有关，与$q$无关。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，核心考查固定区间内动对称轴的二次函数最值计算，解题的关键是根据对称轴与区间的位置关系正确分类，避免漏算情况。
【难度系数】
0.6
要判断二次函数在$0≤x≤1$范围内最大值与最小值的差和$p、q$的关系，解题思路如下：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向和对称轴；第二步因为开口向上，函数在闭区间的最值只会出现在区间端点或顶点处，所以需要按对称轴与区间$[0,1]$的位置关系分类讨论，分别计算每种情况的最值差；第三步观察所有情况的最值差表达式，判断是否包含$p、q$即可得出结论。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2+\frac{4q-p^2}{4}$，
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{p}{2}$，分四种情况讨论：
1. 当对称轴$x=-\frac{p}{2}＜0$时：
函数在$[0,1]$上单调递增，最小值为$x=0$时的$y=q$，最大值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$(1+p+q)-q=1+p$，不含$q$；
2. 当对称轴$x=-\frac{p}{2}＞1$时：
函数在$[0,1]$上单调递减，最大值为$x=0$时的$y=q$，最小值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$q-(1+p+q)=-1-p$，不含$q$；
3. 当$0≤ -\frac{p}{2}＜\frac{1}{2}$时：
函数最小值为顶点处的$y=\frac{4q-p^2}{4}=q-\frac{p^2}{4}$，最大值为$x=1$时的$y=1+p+q$，
最值差为$(1+p+q)-(q-\frac{p^2}{4})=1+p+\frac{p^2}{4}$，不含$q$；
4. 当$\frac{1}{2}≤ -\frac{p}{2}≤1$时：
函数最小值为顶点处的$y=q-\frac{p^2}{4}$，最大值为$x=0$时的$y=q$，
最值差为$q-(q-\frac{p^2}{4})=\frac{p^2}{4}$，不含$q$。
综上，所有情况的最值差都只含$p$，不含$q$，即差与$p$有关，与$q$无关。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，核心考查固定区间内动对称轴的二次函数最值计算，解题的关键是根据对称轴与区间的位置关系正确分类，避免漏算情况。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽安庆质检,中]已知抛物线$L_1:y=-x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}(-2020≤ x≤1)$，抛物线$L_2:y=-x^2 -x +1(1＜x≤2020)$，把$L_1,L_2$合起来的图形记为$L$，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则$L$上“整点”的个数是
3030
.答案
3.3 030 【解析】$\because L_1:y=-x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=-(x-\frac{1}{4})^2-\frac{7}{16}(-2\ 020≤ x≤1)$,$L_2:y=-x^2-x+1=-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}(1＜x≤2\ 020)$,$\therefore$ 在$L_1$上,$x$为奇数的点是“整点”,则$L_1$上有1 011个“整点”;在$L_2$上,$x$为整数的点是“整点”,则$L_2$上有2 019个“整点”,$\therefore L$上“整点”的个数是$1\ 011+2\ 019=3\ 030$.
解析
【分析】
要计算图形L上的整点个数，需分别计算两段抛物线$L_1$、$L_2$上的整点个数，再求和（两段x范围无重叠，无需去重）。首先明确整点要求横、纵坐标均为整数，因此先对两个抛物线的表达式进行分析，推导当y为整数时x需满足的条件，再分别在各自的x取值范围内统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
对于抛物线$L_1:y=-x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=-x^2+\frac{x-1}{2}$，当x为整数时，$-x^2$为整数，若y为整数，则$\frac{x-1}{2}$必须为整数，即x-1是2的倍数，也就是x为奇数。
$L_1$的x取值范围是$-2020≤x≤1$，其中奇数的最小值为-2019，最大值为1，总个数为$\frac{1-(-2019)}{2}+1=1011$个，即$L_1$上有1011个整点。
对于抛物线$L_2:y=-x^2-x+1$，当x为整数时，$-x^2$、$-x$、1均为整数，因此y必为整数，即只要x是整数且满足$L_2$的x范围即可。
$L_2$的x取值范围是$1＜x≤2020$，其中整数x从2到2020，总个数为$2020-2+1=2019$个，即$L_2$上有2019个整点。
因此L上整点的总个数为$1011+2019=3030$。
【答案】
3030
【知识点】
二次函数的性质，整数运算，计数方法
【点评】
本题将二次函数与整数判定、计数问题相结合，解题的核心是通过分析二次函数表达式的结构特征，推导出横坐标需满足的整数条件，再结合取值范围准确计数，需注意两段抛物线的x范围边界无重叠，避免重复或漏算。
【难度系数】
0.6
要计算图形L上的整点个数，需分别计算两段抛物线$L_1$、$L_2$上的整点个数，再求和（两段x范围无重叠，无需去重）。首先明确整点要求横、纵坐标均为整数，因此先对两个抛物线的表达式进行分析，推导当y为整数时x需满足的条件，再分别在各自的x取值范围内统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
对于抛物线$L_1:y=-x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=-x^2+\frac{x-1}{2}$，当x为整数时，$-x^2$为整数，若y为整数，则$\frac{x-1}{2}$必须为整数，即x-1是2的倍数，也就是x为奇数。
$L_1$的x取值范围是$-2020≤x≤1$，其中奇数的最小值为-2019，最大值为1，总个数为$\frac{1-(-2019)}{2}+1=1011$个，即$L_1$上有1011个整点。
对于抛物线$L_2:y=-x^2-x+1$，当x为整数时，$-x^2$、$-x$、1均为整数，因此y必为整数，即只要x是整数且满足$L_2$的x范围即可。
$L_2$的x取值范围是$1＜x≤2020$，其中整数x从2到2020，总个数为$2020-2+1=2019$个，即$L_2$上有2019个整点。
因此L上整点的总个数为$1011+2019=3030$。
【答案】
3030
【知识点】
二次函数的性质，整数运算，计数方法
【点评】
本题将二次函数与整数判定、计数问题相结合，解题的核心是通过分析二次函数表达式的结构特征，推导出横坐标需满足的整数条件，再结合取值范围准确计数，需注意两段抛物线的x范围边界无重叠，避免重复或漏算。
【难度系数】
0.6
4 新考法[2026安徽合肥校级质检,中]如图是由抛物线$y=x^2+c$的一部分及其关于直线$y=x$的对称图形组成的爱心图案,点A,B是图案与对称轴的两个交点,点C,D,E,F是图案与坐标轴的交点,且点F的坐标为$(0,2)$.
(1)$c=$
(2)若点M是该图案上一个动点且在直线$y=x$上方,N是M关于直线AB的对称点,连接MN,则MN的最大值为
(1)$c=$
-4
;(2)若点M是该图案上一个动点且在直线$y=x$上方,N是M关于直线AB的对称点,连接MN,则MN的最大值为
$\frac{17\sqrt{2}}{4}$
.答案
4. (1)-4 (2)$\frac{17\sqrt{2}}{4}$ 【解析】(1) 由题意可知,点$F(0,2)$和点$C$关于直线$y=x$对称,$\therefore C(2,0)$. $\because$ 点$C$在抛物线$y=x^2+c$上,$\therefore 2^2+c=0$,解得$c=-4$,故答案为-4.
(2)由(1)得$y=x^2-4$. 联立得$\begin{cases}y=x^2-4,\\y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{17}}{2},\\y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\\y=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\end{cases}$ $\therefore x_A=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$,$x_B=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. 由题意设$N(\ n,\ n^2-4\ )(\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2})$,则易得$M(\ n^2-4,n\ )$,$\therefore MN=\sqrt{(n^2-4-n)^2+(n-n^2+4)^2}=\sqrt{2}|n^2-n-4|=\sqrt{2}\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$. $\because (n-\frac{1}{2})^2≥0$,$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$,$\therefore$ 当$(n-\frac{1}{2})^2=0$时,$\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$有最大值$\frac{17}{4}$,$\therefore MN$的最大值为$\frac{17\sqrt{2}}{4}$,故答案为$\frac{17\sqrt{2}}{4}$.
(2)由(1)得$y=x^2-4$. 联立得$\begin{cases}y=x^2-4,\\y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{17}}{2},\\y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\\y=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\end{cases}$ $\therefore x_A=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$,$x_B=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. 由题意设$N(\ n,\ n^2-4\ )(\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2})$,则易得$M(\ n^2-4,n\ )$,$\therefore MN=\sqrt{(n^2-4-n)^2+(n-n^2+4)^2}=\sqrt{2}|n^2-n-4|=\sqrt{2}\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$. $\because (n-\frac{1}{2})^2≥0$,$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$,$\therefore$ 当$(n-\frac{1}{2})^2=0$时,$\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$有最大值$\frac{17}{4}$,$\therefore MN$的最大值为$\frac{17\sqrt{2}}{4}$,故答案为$\frac{17\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确关于直线$y=x$对称的两个点横纵坐标互换，已知$F(0,2)$，可先求出其对称点$C$的坐标，再将$C$点坐标代入抛物线$y=x^2+c$即可求出$c$的值。
(2) 直线$AB$为对称轴$y=x$，$M$、$N$关于$y=x$对称，因此两点坐标满足横纵坐标互换的关系。设出$N$点坐标，写出对应$M$点坐标，用两点间距离公式表示$MN$的长度，将表达式整理为含二次式的绝对值形式，结合$n$的取值范围，利用二次函数的最值性质即可求出$MN$的最大值。
【解析】
(1) 由题意得，点$F(0,2)$和点$C$关于直线$y=x$，关于$y=x$对称的点横纵坐标互换，因此$C(2,0)$。
将$C(2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+c$得：
$2^2 + c = 0$
解得$c=-4$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4$，联立抛物线与直线$y=x$的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4\\y=x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\end{cases}$，即$N$点横坐标$n$的取值范围为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$。
设$N(n, n^2-4)$，则其关于$y=x$的对称点$M(n^2-4, n)$，根据两点间距离公式：
$MN=\sqrt{(n^2-4 - n)^2 + (n - n^2 + 4)^2}=\sqrt{2(n^2-n-4)^2}=\sqrt{2}\left|n^2-n-4\right|$
将二次式配方得$n^2-n-4=(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}$，因此$MN=\sqrt{2}\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$。
∵$(n-\frac{1}{2})^2≥0$，且$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴当$(n-\frac{1}{2})^2=0$即$n=\frac{1}{2}$时，$\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$取最大值$\frac{17}{4}$，
此时$MN$的最大值为$\sqrt{2}×\frac{17}{4}=\frac{17\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{17\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
1. 点关于$y=x$对称的性质
2. 二次函数解析式确定
3. 二次函数的最值
【点评】
本题以爱心图案为背景，将对称性质与二次函数知识相结合，解题的核心是利用对称点坐标特征建立两点坐标的联系，将几何最值问题转化为二次函数最值问题，考查了数形结合思想和转化思想，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确关于直线$y=x$对称的两个点横纵坐标互换，已知$F(0,2)$，可先求出其对称点$C$的坐标，再将$C$点坐标代入抛物线$y=x^2+c$即可求出$c$的值。
(2) 直线$AB$为对称轴$y=x$，$M$、$N$关于$y=x$对称，因此两点坐标满足横纵坐标互换的关系。设出$N$点坐标，写出对应$M$点坐标，用两点间距离公式表示$MN$的长度，将表达式整理为含二次式的绝对值形式，结合$n$的取值范围，利用二次函数的最值性质即可求出$MN$的最大值。
【解析】
(1) 由题意得，点$F(0,2)$和点$C$关于直线$y=x$，关于$y=x$对称的点横纵坐标互换，因此$C(2,0)$。
将$C(2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+c$得：
$2^2 + c = 0$
解得$c=-4$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4$，联立抛物线与直线$y=x$的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4\\y=x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\\y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\end{cases}$，即$N$点横坐标$n$的取值范围为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$。
设$N(n, n^2-4)$，则其关于$y=x$的对称点$M(n^2-4, n)$，根据两点间距离公式：
$MN=\sqrt{(n^2-4 - n)^2 + (n - n^2 + 4)^2}=\sqrt{2(n^2-n-4)^2}=\sqrt{2}\left|n^2-n-4\right|$
将二次式配方得$n^2-n-4=(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}$，因此$MN=\sqrt{2}\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$。
∵$(n-\frac{1}{2})^2≥0$，且$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜n＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴当$(n-\frac{1}{2})^2=0$即$n=\frac{1}{2}$时，$\left|(n-\frac{1}{2})^2-\frac{17}{4}\right|$取最大值$\frac{17}{4}$，
此时$MN$的最大值为$\sqrt{2}×\frac{17}{4}=\frac{17\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{17\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
1. 点关于$y=x$对称的性质
2. 二次函数解析式确定
3. 二次函数的最值
【点评】
本题以爱心图案为背景，将对称性质与二次函数知识相结合，解题的核心是利用对称点坐标特征建立两点坐标的联系，将几何最值问题转化为二次函数最值问题，考查了数形结合思想和转化思想，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5[2026安徽合肥校级质检,中]若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为$y=x^2+px+q$,我们称$[p,q]$为此函数的特征数,如函数$y=x^2+2x+3$的特征数是$[2,3]$.
(1)若一个函数的特征数为$[-6,1]$,求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为$[4,-1]$,将此函数的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,求平移后的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为$[2,-2]$,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为$[8,4]$?
@刷素养 ............走向重高
(1)若一个函数的特征数为$[-6,1]$,求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为$[4,-1]$,将此函数的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,求平移后的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为$[2,-2]$,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为$[8,4]$?
@刷素养 ............走向重高
答案
5.【解】(1) $\because$ 一个函数的特征数为$[-6,1]$,$\therefore$ 此函数的表达式为$y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8$,$\therefore$ 此函数图象的顶点坐标为$(3,-8)$.
(2)①$\because$ 一个函数的特征数为$[4,-1]$,$\therefore$ 此函数的表达式为$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$,$\therefore$ 平移后的图象对应的函数表达式为$y=(x+2-2)^2-5+3=x^2-2$,$\therefore$ 平移后的图象对应的函数的特征数为$[0,-2]$.
②$\because$ 一个函数的特征数为$[2,-2]$,$\therefore$ 此函数的表达式为$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$. 若一个函数的特征数为$[8,4]$,则此函数的表达式为$y=x^2+8x+4=(x+4)^2-12=(x+1+3)^2-3-9$,$\therefore$ 特征数为$[2,-2]$的函数的图象向左平移3个单位长度,向下平移9个单位长度,才能使得到的图象对应的函数的特征数为$[8,4]$.
(2)①$\because$ 一个函数的特征数为$[4,-1]$,$\therefore$ 此函数的表达式为$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$,$\therefore$ 平移后的图象对应的函数表达式为$y=(x+2-2)^2-5+3=x^2-2$,$\therefore$ 平移后的图象对应的函数的特征数为$[0,-2]$.
②$\because$ 一个函数的特征数为$[2,-2]$,$\therefore$ 此函数的表达式为$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$. 若一个函数的特征数为$[8,4]$,则此函数的表达式为$y=x^2+8x+4=(x+4)^2-12=(x+1+3)^2-3-9$,$\therefore$ 特征数为$[2,-2]$的函数的图象向左平移3个单位长度,向下平移9个单位长度,才能使得到的图象对应的函数的特征数为$[8,4]$.
解析
【分析】
首先明确题目定义：特征数$[p,q]$对应二次函数$y=x^2+px+q$。
(1) 已知特征数，先写出函数的一般式，再通过配方转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) ① 先根据特征数写出原函数解析式，配方为顶点式后，按照“左加右减、上加下减”的平移规则计算平移后的解析式，再整理为一般式就能得到新的特征数；② 分别将前后两个特征数对应的函数配方为顶点式，对比两个顶点的坐标变化，即可得出平移的方向和距离。
【解析】
(1) $\because$ 一个函数的特征数为$[-6,1]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8$
$\therefore$ 此函数图象的顶点坐标为$(3,-8)$。
(2) ① $\because$ 一个函数的特征数为$[4,-1]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$
平移后的图象对应的函数表达式为：
$y=(x+2-2)^2-5+3=x^2-2$
化为一般式为$y=x^2+0x-2$，因此平移后的图象对应的函数的特征数为$[0,-2]$。
② $\because$ 一个函数的特征数为$[2,-2]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$
特征数为$[8,4]$的函数表达式为：
$y=x^2+8x+4=(x+4)^2-12=(x+1+3)^2-3-9$
对比顶点式的变化可知，原函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度，即可得到特征数为$[8,4]$的函数图象。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-8)}$
(2) ① $\boldsymbol{[0,-2]}$；② 向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度
【知识点】
新定义理解，二次函数配方，二次函数图象平移
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关性质，解题核心是准确理解特征数的含义，熟练掌握二次函数配方方法和图象平移的“左加右减、上加下减”规律，能有效考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先明确题目定义：特征数$[p,q]$对应二次函数$y=x^2+px+q$。
(1) 已知特征数，先写出函数的一般式，再通过配方转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) ① 先根据特征数写出原函数解析式，配方为顶点式后，按照“左加右减、上加下减”的平移规则计算平移后的解析式，再整理为一般式就能得到新的特征数；② 分别将前后两个特征数对应的函数配方为顶点式，对比两个顶点的坐标变化，即可得出平移的方向和距离。
【解析】
(1) $\because$ 一个函数的特征数为$[-6,1]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8$
$\therefore$ 此函数图象的顶点坐标为$(3,-8)$。
(2) ① $\because$ 一个函数的特征数为$[4,-1]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$
平移后的图象对应的函数表达式为：
$y=(x+2-2)^2-5+3=x^2-2$
化为一般式为$y=x^2+0x-2$，因此平移后的图象对应的函数的特征数为$[0,-2]$。
② $\because$ 一个函数的特征数为$[2,-2]$，$\therefore$ 此函数的表达式为：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$
特征数为$[8,4]$的函数表达式为：
$y=x^2+8x+4=(x+4)^2-12=(x+1+3)^2-3-9$
对比顶点式的变化可知，原函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度，即可得到特征数为$[8,4]$的函数图象。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-8)}$
(2) ① $\boldsymbol{[0,-2]}$；② 向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度
【知识点】
新定义理解，二次函数配方，二次函数图象平移
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关性质，解题核心是准确理解特征数的含义，熟练掌握二次函数配方方法和图象平移的“左加右减、上加下减”规律，能有效考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
6 核心素养推理能力[2026安徽安庆质检,较难]抛物线$y_1=x^2+mx+n$的顶点坐标的纵坐标与抛物线$y_2=-x^2-mx$的顶点坐标的纵坐标之和为4.
(1)求n的值;
(2)已知A(s,t)为抛物线$y_1=x^2+mx+n$上一点,B(p,q)为抛物线$y_2=-x^2-mx$上一点.
①若仅存在一个正数s,使得$s+t=0$,求$p+q$的最大值;
②若$p=s+2$,且当$1＜s＜2$时,总有$t+q＜4$,求m的取值范围.
(1)求n的值;
(2)已知A(s,t)为抛物线$y_1=x^2+mx+n$上一点,B(p,q)为抛物线$y_2=-x^2-mx$上一点.
①若仅存在一个正数s,使得$s+t=0$,求$p+q$的最大值;
②若$p=s+2$,且当$1＜s＜2$时,总有$t+q＜4$,求m的取值范围.
答案
6.【解】(1) $\because y_1=x^2+mx+n=(x+\frac{m}{2})^2+\frac{4n-m^2}{4}$,$y_2=-x^2-mx=-(x+\frac{m}{2})^2+\frac{m^2}{4}$,$\therefore$ 抛物线$y_1=x^2+mx+n$的顶点坐标为$(-\frac{m}{2},\frac{4n-m^2}{4})$,抛物线$y_2=-x^2-mx$的顶点坐标为$(-\frac{m}{2},\frac{m^2}{4})$. 由题意得$\frac{4n-m^2}{4}+\frac{m^2}{4}=4$,解得$n=4$.
(2)①由(1)知$n=4$,$\therefore$ 抛物线$y_1=x^2+mx+4$. $\because A(s,t)$为抛物线$y_1=x^2+mx+n$上一点,$\therefore t=s^2+ms+4$. $\because s+t=0$,即$t=-s$,$\therefore -s=s^2+ms+4$,即$s^2+(m+1)s+4=0$. $\because$ 仅存在一个正数$s$,使得$s+t=0$,$\therefore$ 关于$s$的一元二次方程$s^2+(m+1)s+4=0$有两个相等的正数根,$\therefore \Delta=(m+1)^2-4×1×4=0$,即$(m+1)^2=16$,$\therefore m=3$或$m=-5$. 当$m=3$时,$s^2+4s+4=0$,$\therefore s=-2＜0$,此种情况不符合题意,舍去;当$m=-5$时,$s^2-4s+4=0$,$\therefore s=2＞0$,符合题意,$\therefore m=-5$,$\therefore y_2=-x^2+5x$. 由题意可得,$q=-p^2+5p$,$\therefore p+q=-p^2+6p=-(p-3)^2+9$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$p=3$时,$p+q$有最大值,最大值为9.
②$\because p=s+2$,且$B(p,q)$为抛物线$y_2=-x^2-mx$上一点,$\therefore q=-(s+2)^2-m(s+2)=-s^2-(4+m)s-2m-4$. $\because t=s^2+ms+4$,$t+q＜4$,$\therefore s^2+ms+4+[-s^2-(4+m)s-2m-4]＜4$,$\therefore -2m＜4+4s$. $\because 1＜s＜2$,$\therefore 8＜4+4s＜12$,$\therefore -2m≤8$,$\therefore m≥-4$.
(2)①由(1)知$n=4$,$\therefore$ 抛物线$y_1=x^2+mx+4$. $\because A(s,t)$为抛物线$y_1=x^2+mx+n$上一点,$\therefore t=s^2+ms+4$. $\because s+t=0$,即$t=-s$,$\therefore -s=s^2+ms+4$,即$s^2+(m+1)s+4=0$. $\because$ 仅存在一个正数$s$,使得$s+t=0$,$\therefore$ 关于$s$的一元二次方程$s^2+(m+1)s+4=0$有两个相等的正数根,$\therefore \Delta=(m+1)^2-4×1×4=0$,即$(m+1)^2=16$,$\therefore m=3$或$m=-5$. 当$m=3$时,$s^2+4s+4=0$,$\therefore s=-2＜0$,此种情况不符合题意,舍去;当$m=-5$时,$s^2-4s+4=0$,$\therefore s=2＞0$,符合题意,$\therefore m=-5$,$\therefore y_2=-x^2+5x$. 由题意可得,$q=-p^2+5p$,$\therefore p+q=-p^2+6p=-(p-3)^2+9$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$p=3$时,$p+q$有最大值,最大值为9.
②$\because p=s+2$,且$B(p,q)$为抛物线$y_2=-x^2-mx$上一点,$\therefore q=-(s+2)^2-m(s+2)=-s^2-(4+m)s-2m-4$. $\because t=s^2+ms+4$,$t+q＜4$,$\therefore s^2+ms+4+[-s^2-(4+m)s-2m-4]＜4$,$\therefore -2m＜4+4s$. $\because 1＜s＜2$,$\therefore 8＜4+4s＜12$,$\therefore -2m≤8$,$\therefore m≥-4$.
解析
【分析】
(1) 要求n的值，先将两个抛物线的解析式配方为顶点式，分别得到两个顶点的纵坐标，再根据二者之和为4列等式求解，等式中m²会相互抵消，可直接求出n。
(2) ① 已知A(s,t)在y₁上，可得t关于s的表达式，结合s+t=0可转化为关于s的一元二次方程。因为仅存在一个正数s满足条件，且该方程两根之积为4（不可能一正一负），所以方程有两个相等的正实数根，先由判别式为0求出m的取值，再检验根的正负性舍去不符合的m；最后将p+q表示为关于p的二次函数，利用二次函数性质求最大值即可。
② 把p=s+2代入y₂的解析式，得到q关于s的表达式，再结合t的表达式化简t+q＜4，得到关于s和m的不等式，要使不等式在1＜s＜2时恒成立，只需不等式左边小于4+4s的最小值，进而求出m的取值范围。
【解析】
(1) 将两个抛物线配方为顶点式：
$y_1=x^2+mx+n=(x+\frac{m}{2})^2+\frac{4n-m^2}{4}$，顶点纵坐标为$\frac{4n-m^2}{4}$；
$y_2=-x^2-mx=-(x+\frac{m}{2})^2+\frac{m^2}{4}$，顶点纵坐标为$\frac{m^2}{4}$。
由题意得：$\frac{4n-m^2}{4}+\frac{m^2}{4}=4$，化简得$n=4$。
(2) ① 由(1)得$y_1=x^2+mx+4$，
∵A(s,t)在$y_1$上，
∴$t=s^2+ms+4$，
又
∵$s+t=0$，即$t=-s$，代入得：
$-s=s^2+ms+4$，整理得$s^2+(m+1)s+4=0$。
∵仅存在一个正数s满足条件，且方程两根之积为4，故方程有两个相等的正实数根，
∴判别式$\Delta=(m+1)^2-4×1×4=0$，解得$m=3$或$m=-5$。
当$m=3$时，方程为$s^2+4s+4=0$，解得$s=-2＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=-5$时，方程为$s^2-4s+4=0$，解得$s=2＞0$，符合题意，故$m=-5$。
此时$y_2=-x^2+5x$，
∵B(p,q)在$y_2$上，
∴$q=-p^2+5p$，
则$p+q=p-p^2+5p=-p^2+6p=-(p-3)^2+9$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴当$p=3$时，$p+q$取最大值，最大值为9。
②
∵$p=s+2$，B(p,q)在$y_2$上，
∴$q=-(s+2)^2-m(s+2)=-s^2-(4+m)s-2m-4$，
又$t=s^2+ms+4$，代入$t+q＜4$得：
$s^2+ms+4 -s^2-(4+m)s-2m-4 ＜4$，
化简得：$-4s-2m＜4$，即$-2m＜4s+4$。
当$1＜s＜2$时，$8＜4s+4＜12$，要使不等式恒成立，需$-2m≤8$，
解得$m≥-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n=4}$；
(2) ① $\boldsymbol{9}$；
② $\boldsymbol{m≥ -4}$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 一元二次方程根的判别式
3. 不等式恒成立问题
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的分布及不等式恒成立的转化，解题时需将点的坐标关系转化为方程或函数问题，注意对所求参数的取值进行合理性验证，侧重考查逻辑推理和转化化归的能力。
【难度系数】
0.3
(1) 要求n的值，先将两个抛物线的解析式配方为顶点式，分别得到两个顶点的纵坐标，再根据二者之和为4列等式求解，等式中m²会相互抵消，可直接求出n。
(2) ① 已知A(s,t)在y₁上，可得t关于s的表达式，结合s+t=0可转化为关于s的一元二次方程。因为仅存在一个正数s满足条件，且该方程两根之积为4（不可能一正一负），所以方程有两个相等的正实数根，先由判别式为0求出m的取值，再检验根的正负性舍去不符合的m；最后将p+q表示为关于p的二次函数，利用二次函数性质求最大值即可。
② 把p=s+2代入y₂的解析式，得到q关于s的表达式，再结合t的表达式化简t+q＜4，得到关于s和m的不等式，要使不等式在1＜s＜2时恒成立，只需不等式左边小于4+4s的最小值，进而求出m的取值范围。
【解析】
(1) 将两个抛物线配方为顶点式：
$y_1=x^2+mx+n=(x+\frac{m}{2})^2+\frac{4n-m^2}{4}$，顶点纵坐标为$\frac{4n-m^2}{4}$；
$y_2=-x^2-mx=-(x+\frac{m}{2})^2+\frac{m^2}{4}$，顶点纵坐标为$\frac{m^2}{4}$。
由题意得：$\frac{4n-m^2}{4}+\frac{m^2}{4}=4$，化简得$n=4$。
(2) ① 由(1)得$y_1=x^2+mx+4$，
∵A(s,t)在$y_1$上，
∴$t=s^2+ms+4$，
又
∵$s+t=0$，即$t=-s$，代入得：
$-s=s^2+ms+4$，整理得$s^2+(m+1)s+4=0$。
∵仅存在一个正数s满足条件，且方程两根之积为4，故方程有两个相等的正实数根，
∴判别式$\Delta=(m+1)^2-4×1×4=0$，解得$m=3$或$m=-5$。
当$m=3$时，方程为$s^2+4s+4=0$，解得$s=-2＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=-5$时，方程为$s^2-4s+4=0$，解得$s=2＞0$，符合题意，故$m=-5$。
此时$y_2=-x^2+5x$，
∵B(p,q)在$y_2$上，
∴$q=-p^2+5p$，
则$p+q=p-p^2+5p=-p^2+6p=-(p-3)^2+9$，
∵二次项系数$-1＜0$，
∴当$p=3$时，$p+q$取最大值，最大值为9。
②
∵$p=s+2$，B(p,q)在$y_2$上，
∴$q=-(s+2)^2-m(s+2)=-s^2-(4+m)s-2m-4$，
又$t=s^2+ms+4$，代入$t+q＜4$得：
$s^2+ms+4 -s^2-(4+m)s-2m-4 ＜4$，
化简得：$-4s-2m＜4$，即$-2m＜4s+4$。
当$1＜s＜2$时，$8＜4s+4＜12$，要使不等式恒成立，需$-2m≤8$，
解得$m≥-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n=4}$；
(2) ① $\boldsymbol{9}$；
② $\boldsymbol{m≥ -4}$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 一元二次方程根的判别式
3. 不等式恒成立问题
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的分布及不等式恒成立的转化，解题时需将点的坐标关系转化为方程或函数问题，注意对所求参数的取值进行合理性验证，侧重考查逻辑推理和转化化归的能力。
【难度系数】
0.3
