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1. 已知$C,D$为线段$AB$上两点,点$C$在点$D$的左边,$AB=a$,$CD=b$,且$a,b$满足$(a-120)^2 + |4b - a| = 0.$
(1)$a=$
(2)如图,若$M$是线段$AD$的中点,$N$是线段$BC$的中点,求线段$MN$的长.
(3)线段$CD$在线段$AB$上从端点$D$与点$B$重合的位置出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$BA$的方向运动,同时点$P$以相同速度从点$A$出发沿射线$AB$的方向运动,当点$P$与点$D$相遇时,点$P$原路返回且速度加倍,线段$CD$的运动状态不变,直到点$C$到达点$A$时线段$CD$和点$P$同时停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,在此运动过程中,当$t$为多少秒时线段$PC=10\ \mathrm{cm}$?
备用图
(1)$a=$
120
,$b=$30
.(2)如图,若$M$是线段$AD$的中点,$N$是线段$BC$的中点,求线段$MN$的长.
(3)线段$CD$在线段$AB$上从端点$D$与点$B$重合的位置出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$BA$的方向运动,同时点$P$以相同速度从点$A$出发沿射线$AB$的方向运动,当点$P$与点$D$相遇时,点$P$原路返回且速度加倍,线段$CD$的运动状态不变,直到点$C$到达点$A$时线段$CD$和点$P$同时停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,在此运动过程中,当$t$为多少秒时线段$PC=10\ \mathrm{cm}$?
备用图
答案
解：(1) 200×0.6 = 120，需交电费$\boldsymbol{120}$元；
(2) 当$ 0≤ x≤210 $时，$ y = \boldsymbol{0.6x} $，
当$ 210＜x≤400 $，$ y = \boldsymbol{210×0.6 + 0.7(x-210)} $
$ = \boldsymbol{0.7x - 21} $，
当$ x＞400 $时，$ y = \boldsymbol{210×0.6 + (400-210)×0.7 + 0.9(x-400)} $
$ = \boldsymbol{0.9x - 101} $，
$\therefore y $与$ x $之间的关系式为
$ y =\begin{cases}\boldsymbol{0.6x} &(0≤ x≤210), \\\boldsymbol{0.7x - 21} &(210＜x≤400), \\\boldsymbol{0.9x - 101} &(x＞400);\end{cases}$
(3) 当$ x = 210 $时，$ y = \boldsymbol{210×0.6 = 126} $，
当$ x = 400 $时，$ y = \boldsymbol{0.7×400 - 21 = 259} $，
$\because \boldsymbol{268＞259} $，
$\therefore $小明家8月用电量超过400千瓦时，
当$\boldsymbol{0.9x - 101 = 268}$时，解得$\boldsymbol{x=410}$。
答：小明家8月用了$\boldsymbol{410}$千瓦时电。
(2) 当$ 0≤ x≤210 $时，$ y = \boldsymbol{0.6x} $，
当$ 210＜x≤400 $，$ y = \boldsymbol{210×0.6 + 0.7(x-210)} $
$ = \boldsymbol{0.7x - 21} $，
当$ x＞400 $时，$ y = \boldsymbol{210×0.6 + (400-210)×0.7 + 0.9(x-400)} $
$ = \boldsymbol{0.9x - 101} $，
$\therefore y $与$ x $之间的关系式为
$ y =\begin{cases}\boldsymbol{0.6x} &(0≤ x≤210), \\\boldsymbol{0.7x - 21} &(210＜x≤400), \\\boldsymbol{0.9x - 101} &(x＞400);\end{cases}$
(3) 当$ x = 210 $时，$ y = \boldsymbol{210×0.6 = 126} $，
当$ x = 400 $时，$ y = \boldsymbol{0.7×400 - 21 = 259} $，
$\because \boldsymbol{268＞259} $，
$\therefore $小明家8月用电量超过400千瓦时，
当$\boldsymbol{0.9x - 101 = 268}$时，解得$\boldsymbol{x=410}$。
答：小明家8月用了$\boldsymbol{410}$千瓦时电。
解析
【分析】
(1) 利用非负数的性质解题：平方和绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 利用线段中点性质和线段和差关系求解：先根据中点定义分别表示出AM、CN的长度，再通过线段和差把MN转化为用已知长度的线段表示，计算过程中未知的AC会抵消，即可求出MN的长度。
(3) 动点问题需先确定关键时间节点，分类讨论求解：先算出点P与D的相遇时间、点C到达A点的停止时间，将运动过程分为相遇前、相遇后两个阶段，每个阶段再根据点P在点C的左侧或右侧两种位置关系，结合PC=10cm的等量关系列方程，最后检验解是否符合对应时间范围，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) $\because (a-120)^2≥0$，$|4b-a|≥0$，且$(a-120)^2 + |4b - a| = 0$
$\therefore \begin{cases}a-120=0 \\4b-a=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=120 \\b=30 \end{cases}$
(2) $\because$ M是线段AD的中点，N是线段BC的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}(AC+30)=\frac{1}{2}AC+15$
$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB-AC)=\frac{1}{2}(120-AC)=60-\frac{1}{2}AC$
$\therefore CM=AM-AC=\frac{1}{2}AC+15-AC=15-\frac{1}{2}AC$
$\therefore MN=CN-CM=(60-\frac{1}{2}AC)-(15-\frac{1}{2}AC)=45(\mathrm{cm})$
(3) 先计算关键时间：
点P与D的相遇时间：$120÷(3+3)=20(\mathrm{s})$
点C到达A点的停止时间：$(120-30)÷3=30(\mathrm{s})$
分情况讨论：
① 当$t＜20$（点P与D相遇前）时：
Ⅰ) 点P在点C左侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=10+30=40\mathrm{cm}$，可得方程：
$(3+3)t=120-40$，解得$t=\frac{40}{3}$，符合$t＜20$；
Ⅱ) 点P在点C右侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=30-10=20\mathrm{cm}$，可得方程：
$(3+3)t=120-20$，解得$t=\frac{50}{3}$，符合$t＜20$；
② 当$20≤ t≤30$（点P与D相遇后）时，P返回速度为$3×2=6\mathrm{cm/s}$：
Ⅰ) 点P在点C左侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=10+30=40\mathrm{cm}$，可得方程：
$(6-3)(t-20)=40$，解得$t=\frac{100}{3}＞30$，舍去；
Ⅱ) 点P在点C右侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=30-10=20\mathrm{cm}$，可得方程：
$(6-3)(t-20)=20$，解得$t=\frac{80}{3}$，符合$20≤ t≤30$。
综上，满足条件的t值为$\frac{40}{3}\mathrm{s},\frac{50}{3}\mathrm{s},\frac{80}{3}\mathrm{s}$。
【答案】
(1) $120$，$30$；(2) $45\mathrm{cm}$；(3) $t$为$\frac{40}{3}$秒、$\frac{50}{3}$秒、$\frac{80}{3}$秒
【知识点】
非负数的性质，线段中点计算，动点分类讨论
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，重点锻炼分类讨论思想，解题时需理清运动的不同阶段和点的位置关系，列方程后要注意检验解的合理性，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3
(1) 利用非负数的性质解题：平方和绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 利用线段中点性质和线段和差关系求解：先根据中点定义分别表示出AM、CN的长度，再通过线段和差把MN转化为用已知长度的线段表示，计算过程中未知的AC会抵消，即可求出MN的长度。
(3) 动点问题需先确定关键时间节点，分类讨论求解：先算出点P与D的相遇时间、点C到达A点的停止时间，将运动过程分为相遇前、相遇后两个阶段，每个阶段再根据点P在点C的左侧或右侧两种位置关系，结合PC=10cm的等量关系列方程，最后检验解是否符合对应时间范围，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) $\because (a-120)^2≥0$，$|4b-a|≥0$，且$(a-120)^2 + |4b - a| = 0$
$\therefore \begin{cases}a-120=0 \\4b-a=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=120 \\b=30 \end{cases}$
(2) $\because$ M是线段AD的中点，N是线段BC的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}(AC+30)=\frac{1}{2}AC+15$
$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB-AC)=\frac{1}{2}(120-AC)=60-\frac{1}{2}AC$
$\therefore CM=AM-AC=\frac{1}{2}AC+15-AC=15-\frac{1}{2}AC$
$\therefore MN=CN-CM=(60-\frac{1}{2}AC)-(15-\frac{1}{2}AC)=45(\mathrm{cm})$
(3) 先计算关键时间：
点P与D的相遇时间：$120÷(3+3)=20(\mathrm{s})$
点C到达A点的停止时间：$(120-30)÷3=30(\mathrm{s})$
分情况讨论：
① 当$t＜20$（点P与D相遇前）时：
Ⅰ) 点P在点C左侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=10+30=40\mathrm{cm}$，可得方程：
$(3+3)t=120-40$，解得$t=\frac{40}{3}$，符合$t＜20$；
Ⅱ) 点P在点C右侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=30-10=20\mathrm{cm}$，可得方程：
$(3+3)t=120-20$，解得$t=\frac{50}{3}$，符合$t＜20$；
② 当$20≤ t≤30$（点P与D相遇后）时，P返回速度为$3×2=6\mathrm{cm/s}$：
Ⅰ) 点P在点C左侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=10+30=40\mathrm{cm}$，可得方程：
$(6-3)(t-20)=40$，解得$t=\frac{100}{3}＞30$，舍去；
Ⅱ) 点P在点C右侧，$PC=10\mathrm{cm}$，则$PD=30-10=20\mathrm{cm}$，可得方程：
$(6-3)(t-20)=20$，解得$t=\frac{80}{3}$，符合$20≤ t≤30$。
综上，满足条件的t值为$\frac{40}{3}\mathrm{s},\frac{50}{3}\mathrm{s},\frac{80}{3}\mathrm{s}$。
【答案】
(1) $120$，$30$；(2) $45\mathrm{cm}$；(3) $t$为$\frac{40}{3}$秒、$\frac{50}{3}$秒、$\frac{80}{3}$秒
【知识点】
非负数的性质，线段中点计算，动点分类讨论
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，重点锻炼分类讨论思想，解题时需理清运动的不同阶段和点的位置关系，列方程后要注意检验解的合理性，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3
2. 新题型 新定义 定义:若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点.如图①,点C在线段AB上,且AC:CB=1:2,则点C是线段AB的一个三等分点,显然,一条线段的三等分点有两个.
(1)已知:如图②,DE=21 cm,点P是DE的三等分点,求DP的长.
(2)已知,线段AB=21 cm,如图③,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段AB上向点B方向运动,点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段AB上向点A方向运动,设运动时间为t秒.
①若点P、点Q同时出发,且当点P与点Q重合时,求t的值;
②若点P、点Q同时出发,且当点P是线段AQ的三等分点时,求t的值.
(1)已知:如图②,DE=21 cm,点P是DE的三等分点,求DP的长.
(2)已知,线段AB=21 cm,如图③,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段AB上向点B方向运动,点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段AB上向点A方向运动,设运动时间为t秒.
①若点P、点Q同时出发,且当点P与点Q重合时,求t的值;
②若点P、点Q同时出发,且当点P是线段AQ的三等分点时,求t的值.
答案
(1)当 $DP=2PE$ 时, $DP=\frac{2}{3}DE=14\ \mathrm{cm}$;当 $2DP=PE$ 时,$DP=\frac{1}{3}DE=7\ \mathrm{cm}$.综上所述,DP 的长为 14 cm 或 7 cm.
(2)①由题意可得 $AP=t$,$BQ=2t$,因为点 P、点 Q 同时出发,且当点 P 与点 Q 重合,所以 $AP+BQ=AB$,$t+2t=21$,解得 $t=7$.
②当点 P、点 Q 重合前点 P 是线段 AQ 的三等分点时,当 $2AP=PQ$ 时,有 $t+2t+2t=21$,解得 $t=\frac{21}{5}$;当 $AP=2PQ$时,有 $t+\frac{1}{2}t+2t=21$,解得 $t=6$.当点 P、点 Q 重合后,点 P 是线段 AQ 的三等分点时,显然不符合题意.综上,$t$ 的值为 $\frac{21}{5}$或 6.
(2)①由题意可得 $AP=t$,$BQ=2t$,因为点 P、点 Q 同时出发,且当点 P 与点 Q 重合,所以 $AP+BQ=AB$,$t+2t=21$,解得 $t=7$.
②当点 P、点 Q 重合前点 P 是线段 AQ 的三等分点时,当 $2AP=PQ$ 时,有 $t+2t+2t=21$,解得 $t=\frac{21}{5}$;当 $AP=2PQ$时,有 $t+\frac{1}{2}t+2t=21$,解得 $t=6$.当点 P、点 Q 重合后,点 P 是线段 AQ 的三等分点时,显然不符合题意.综上,$t$ 的值为 $\frac{21}{5}$或 6.
解析
【分析】
(1) 依据三等分点的定义，一条线段有2个三等分点，因此点P在DE上的位置分两种情况：DP是较短的1份、DP是较长的2份，分别计算两种情况的DP长度即可。
(2) ① 点P、Q为相向运动，重合时两者走过的路程之和等于线段AB的总长度，先表示出t秒时AP、BQ的长度，再根据路程和列方程求解即可。
② 先表示出t秒时AP、BQ的长度，再结合P是AQ的三等分点的两种情况（AP占AQ的$\frac{1}{3}$、AP占AQ的$\frac{2}{3}$）分别列方程求解，注意两点重合后P在Q右侧，不存在P是AQ三等分点的情况，该类情况直接舍去。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$2DP=PE$时，$DP=\frac{1}{3}DE$，已知$DE=21\ \mathrm{cm}$，代入得$DP=\frac{1}{3}×21=7\ \mathrm{cm}$；
② 当$DP=2PE$时，$DP=\frac{2}{3}DE$，代入得$DP=\frac{2}{3}×21=14\ \mathrm{cm}$。
综上，DP的长为7 cm或14 cm。
(2) ① 由题意得，运动t秒时，$AP=t$，$BQ=2t$。
当P、Q重合时，两者路程和等于AB长度，即$AP+BQ=AB$，代入得：
$t+2t=21$
解得$t=7$。
② 当P、Q重合前（$t＜7$），点P是AQ的三等分点，分两种情况：
情况1：$2AP=PQ$，此时$t+2t+2t=21$，解得$t=\frac{21}{5}$；
情况2：$AP=2PQ$，此时$t+\frac{1}{2}t+2t=21$，解得$t=6$。
当$t\ge7$时，P、Q重合或P在Q右侧，不存在P是AQ三等分点的情况，不符合题意，舍去。
综上，t的值为$\frac{21}{5}$或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{14\ \mathrm{cm}}$；
(2) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{\frac{21}{5}}$或$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
线段三等分点定义，一元一次方程应用，线段动点问题
【点评】
本题结合新定义考查线段的相关计算，重点考查分类讨论思想的运用，解题时注意不要遗漏三等分点的两种情况，动点问题需要先梳理各线段随时间的变化规律，再结合等量关系列方程求解，同时要注意排除不符合运动实际的解。
【难度系数】
0.6
(1) 依据三等分点的定义，一条线段有2个三等分点，因此点P在DE上的位置分两种情况：DP是较短的1份、DP是较长的2份，分别计算两种情况的DP长度即可。
(2) ① 点P、Q为相向运动，重合时两者走过的路程之和等于线段AB的总长度，先表示出t秒时AP、BQ的长度，再根据路程和列方程求解即可。
② 先表示出t秒时AP、BQ的长度，再结合P是AQ的三等分点的两种情况（AP占AQ的$\frac{1}{3}$、AP占AQ的$\frac{2}{3}$）分别列方程求解，注意两点重合后P在Q右侧，不存在P是AQ三等分点的情况，该类情况直接舍去。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$2DP=PE$时，$DP=\frac{1}{3}DE$，已知$DE=21\ \mathrm{cm}$，代入得$DP=\frac{1}{3}×21=7\ \mathrm{cm}$；
② 当$DP=2PE$时，$DP=\frac{2}{3}DE$，代入得$DP=\frac{2}{3}×21=14\ \mathrm{cm}$。
综上，DP的长为7 cm或14 cm。
(2) ① 由题意得，运动t秒时，$AP=t$，$BQ=2t$。
当P、Q重合时，两者路程和等于AB长度，即$AP+BQ=AB$，代入得：
$t+2t=21$
解得$t=7$。
② 当P、Q重合前（$t＜7$），点P是AQ的三等分点，分两种情况：
情况1：$2AP=PQ$，此时$t+2t+2t=21$，解得$t=\frac{21}{5}$；
情况2：$AP=2PQ$，此时$t+\frac{1}{2}t+2t=21$，解得$t=6$。
当$t\ge7$时，P、Q重合或P在Q右侧，不存在P是AQ三等分点的情况，不符合题意，舍去。
综上，t的值为$\frac{21}{5}$或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{14\ \mathrm{cm}}$；
(2) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{\frac{21}{5}}$或$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
线段三等分点定义，一元一次方程应用，线段动点问题
【点评】
本题结合新定义考查线段的相关计算，重点考查分类讨论思想的运用，解题时注意不要遗漏三等分点的两种情况，动点问题需要先梳理各线段随时间的变化规律，再结合等量关系列方程求解，同时要注意排除不符合运动实际的解。
【难度系数】
0.6
