3. 如图,直线 $ l $ 上有 $ A,B $ 两点,$ AB=36 $ cm,点 $ O $是线段 $ AB $ 上的一点,$ OA=2OB $.
(1)$ OA=$ cm,$ OB=$ cm;
(2)若点 $ C $ 是直线 $ AB $ 上一点,且满足 $ AC=CO+CB $,求 $ CO $ 的长;
(3)若动点 $ P,Q $ 分别从点 $ A,B $ 同时出发,向右运动,点 $ P $ 的速度为 $ 3 $ cm/s,点 $ Q $ 的速度为 $ 1 $ cm/s.设运动时间为 $ t $ s,当点 $ P $ 与点 $ Q $ 重合时,$ P,Q $ 两点停止运动.问当 $ t $ 为何值时,$ 2OP-OQ=8 $ cm.

解：
(1) 当$0 ≤ x ≤ 10$（用水量不超过10立方米）时，
$y = 2x$；
当$x ＞ 10$（用水量超过10立方米）时，
$y = 2×10 + 3(x-10) = 3x - 10$。
(2) 当用水量为10立方米时，应交水费为$2×10=20$元，
因为$26＞20$，所以该户居民用水量超过10立方米。
将$y=26$代入$y=3x-10$，得：
$3x - 10 = 26$
解得$x=12$。
答：该户居民用水12立方米。

【分析】
(1) 已知线段AB总长和OA与OB的数量关系，利用“OA+OB=AB”代入计算即可求出OA、OB的长度。
(2) 点C在直线AB上，位置不唯一，需分三种情况讨论：①点C在线段AO上；②点C在线段OB上；③点C在线段AB的延长线上。分别根据线段和差关系表示AC、CO、CB的长度，代入AC=CO+CB列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
(3) 先求出P、Q两点的相遇时间，确定t的取值范围；再用含t的代数式表示OP、OQ的长度，注意OP是点P到O的距离，需带绝对值，分P在O点左侧、右侧两种情况去绝对值解方程，验证解是否在对应取值范围内即可。
【解析】
(1) 因为$AB=OA+OB=36\ \mathrm{cm}$，且$OA=2OB$，所以$2OB+OB=3OB=36\ \mathrm{cm}$，解得$OB=12\ \mathrm{cm}$，$OA=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
(2) 设$CO$的长为$x\ \mathrm{cm}$，分三种情况讨论：
① 当点C在线段AO上时：$AC=OA-CO=24-x$，$CB=CO+OB=x+12$，代入$AC=CO+CB$得$24-x=x+12+x$，解得$x=4$，符合题意；
② 当点C在线段OB上时：$AC=OA+CO=24+x$，$CB=OB-CO=12-x$，代入$AC=CO+CB$得$24+x=x+12-x$，解得$x=-12$，长度不能为负，舍去；
③ 当点C在线段AB的延长线上时：$AC=OA+OC=24+x$，$CB=OC-OB=x-12$，代入$AC=CO+CB$得$24+x=x+x-12$，解得$x=36$，符合题意。
综上，$CO$的长为$4\ \mathrm{cm}$或$36\ \mathrm{cm}$。
(3) 先求P、Q重合的时间：P、Q初始距离为$36\ \mathrm{cm}$，追及过程满足$3t=t+36$，解得$t=18\ \mathrm{s}$，因此$t$的取值范围是$0\le t\le18$。
将O看作原点，A对应数为$-24$，B对应数为$12$，运动$t$秒后，P对应数为$3t-24$，Q对应数为$t+12$，因此$OP=|3t-24|$，$OQ=t+12$（$t\ge0$时$t+12＞0$）。
代入$2OP-OQ=8$得$2|3t-24|-(t+12)=8$，分两种情况讨论：
① 当$0\le t＜8$时，$3t-24＜0$，$|3t-24|=24-3t$，方程化为$2(24-3t)-(12+t)=8$，解得$t=4$，符合取值范围；
② 当$8\le t\le18$时，$3t-24\ge0$，$|3t-24|=3t-24$，方程化为$2(3t-24)-(12+t)=8$，解得$t=13.6$，符合取值范围。
综上，$t$的值为$4\ \mathrm{s}$或$13.6\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $24$，$12$；
(2) $4\ \mathrm{cm}$或$36\ \mathrm{cm}$；
(3) $4\ \mathrm{s}$或$13.6\ \mathrm{s}$
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，动点问题求解
【点评】
本题是线段动点类的典型题型，既考察基础的线段和差运算，又要求学生掌握分类讨论的方法，解题时需注意“直线上的点”包含多种位置情况，动点问题要先明确运动范围再列方程求解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6

4. 如图,数轴上点A,B表示的数分别为-9和3,点O为原点.动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动,在点P出发的同时,点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到达点A后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向终点O运动.设点P的运动时间为t秒.

(1)当t=2时,点P表示的数为;当点P与点B重合时,t的值为.
(2)①在点Q由点B向点A运动的过程中,点Q表示的数为(用含t的代数式表示);
②当t=时,P,Q第一次相遇.
(3)点Q从点A返回后,当$PQ=\frac{5}{2}$时,求点P运动的时间t的值.
(4)若在点P运动的同时,点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,当$PM=3PQ+1$时,直接写出t的值.

(1)-7 12 解析:当 $t=2$ 时,点 P 表示的数为 $-9+1×2=-7$;当点 P 与点 B 重合时,$-9+t=3$,解得 $t=12$.
(2)①$3-2t$ ②4 解析:①在点 Q 由点 B 向点 A 运动的过程中,点 Q 表示的数为 $3-2t$;②P,Q 第一次相遇时,$-9+t=3-2t$,解得 $t=4$.
(3)当 Q,A 重合时,$3-2t=-9$,解得 $t=6$,当点 Q 到达点 A 后立即以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向终点 O 运动,此时点 Q 对应的数为 $-9+3(t-6)=3t-27$,而点 P 对应的数为 $-9+t$,所以 $QP=|3t-27-(-9+t)|=|2t-18|$.当 $PQ=\frac{5}{2}$时,$|2t-18|=\frac{5}{2}$,所以 $2t-18=2.5$ 或 $2t-18=-2.5$,解得 $t=\frac{41}{4}$ 或 $t=\frac{31}{4}$.当 $3t-27=0$ 时,解得 $t=9$,所以 $t=\frac{41}{4}$ 不符合题意,舍去,当 $9＜t≤12$ 时,Q,O 重合,停止运动,此时 $QP=-9+t$,所以 $-9+t=\frac{5}{2}$,解得 $t=\frac{23}{2}$.综上,当 $PQ=\frac{5}{2}$ 时,$t=\frac{31}{4}$或 $t=\frac{23}{2}$.
(4)$t$ 的值为 $\frac{25}{7}$ 或 $\frac{47}{11}$ 或 $\frac{67}{8}$ 解析:当点 Q 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动时,此时点 Q 对应的数为 $3-2t$,而点 P 对应的数为 $-9+t$,点 M 对应的数为 $3-t$,所以 $PM=|3-t-(-9+t)|=|12-2t|$,$PQ=|3-2t-(-9+t)|=|12-3t|$.因为 $PM=3PQ+1$,所以 $|12-2t|=3|12-3t|+1$,即$|12-2t|=|36-9t|+1$.当 $0≤ t≤4$ 时,$12-2t=36-9t+1$,解得$t=\frac{25}{7}$,当 $4＜t≤6$ 时,$12-2t=9t-36+1$,解得 $t=\frac{47}{11}$.当点 Q 从点 A 返回后,点 Q 对应的数为 $3t-27$,而点 P 对应的数为$-9+t$,点 M 对应的数为 $3-t$,所以 $PM=|3-t-(-9+t)|=|12-2t|$,$PQ=|3t-27-(-9+t)|=|2t-18|$.因为 $PM=3PQ+1$,所以 $|12-2t|=3|2t-18|+1$,即$|12-2t|=|6t-54|+1$.当 $6＜t≤9$ 时,$2t-12=54-6t+1$,解得 $t=\frac{67}{8}$,当 $9＜t≤12$ 时,Q,O 重合,停止运动,所以 $PM=|3-t-(-9+t)|=|12-2t|$,$PQ=-9+t$,所以 $PM=3PQ+1$,$|12-2t|=3|-9+t|+1$,所以 $2t-12=-27+3t+1$,解得 $t=14$,不符合题意,舍去.
综上,当 $PM=3PQ+1$ 时,$t$ 的值为 $\frac{25}{7}$ 或 $\frac{47}{11}$ 或 $\frac{67}{8}$.

【分析】
解决数轴动点问题的核心是“用时间t表示各动点对应的数”，再结合两点间距离公式（两点距离为两数差的绝对值），根据题意列方程求解。解题时首先要明确各动点的运动阶段、速度、起止位置，确定每个阶段对应的t的取值范围，求出的解要检验是否在对应范围内，不符合的舍去。
(1)点P从A(-9)出发，速度1单位/秒，t秒后对应数为-9+t，代入t=2即可得对应数；点P到B(3)时，令-9+t=3即可求t。
(2)①Q从B(3)出发向A运动，速度2单位/秒，t秒后对应数为3-2t；②第一次相遇时P、Q表示的数相等，列方程求解即可。
(3)先求Q到达A的时间，确定Q返回阶段的t范围，写出返回时Q对应的数，再根据$PQ=\frac{5}{2}$列绝对值方程求解，还要注意Q到达O后停止运动的情况，分情况讨论。
(4)分Q前往A的阶段、Q返回O的阶段、Q到O停止的阶段，分别表示出PM、PQ的长度，代入$PM=3PQ+1$列方程，求解后检验解是否符合对应阶段的t范围。
【解析】
(1) 点P运动t秒后对应的数为$-9+t$，
当$t=2$时，点P表示的数为$-9 + 1×2 = -7$；
当点P与B重合时，$-9 + t = 3$，解得$t=12$。
(2) ①Q从B向A运动时，速度为2单位/秒，t秒后向左运动了2t个单位，对应数为$3-2t$；
②P、Q第一次相遇时两点表示的数相等，即$-9 + t = 3 - 2t$，
整理得$3t=12$，解得$t=4$。
(3) 先求Q到达A的时间：令$3-2t=-9$，解得$t=6$，即$0≤t≤6$时Q从B向A运动，$t＞6$时Q从A返回向O运动，速度为3单位/秒，Q从A到O所需时间为$9÷3=3$秒，即$t=9$时Q到达O停止运动。
当$6＜t≤9$时，Q对应的数为$-9 + 3(t-6) = 3t - 27$，
点P对应的数为$-9 + t$，因此$PQ=|(3t-27) - (-9 + t)| = |2t - 18|$，
令$|2t - 18| = \frac{5}{2}$，
则$2t - 18 = \frac{5}{2}$或$2t - 18 = -\frac{5}{2}$，
解得$t=\frac{41}{4}$（大于9，不符合范围，舍去）或$t=\frac{31}{4}$（符合$6＜t≤9$）。
当$9＜t≤12$时，Q停在O点，对应数为0，
此时$PQ=|0 - (-9 + t)| = t - 9$，
令$t - 9 = \frac{5}{2}$，解得$t=\frac{23}{2}$（小于12，符合范围）。
综上，t的值为$\frac{31}{4}$或$\frac{23}{2}$。
(4) 点M从B出发向A运动，速度1单位/秒，t秒后对应数为$3-t$，分阶段讨论：
①$0≤t≤6$（Q从B向A运动阶段）：
Q对应数为$3-2t$，$PM=|(3 - t) - (-9 + t)| = |12 - 2t|$，$PQ=|(3-2t) - (-9 + t)| = |12 - 3t|$，
代入$PM=3PQ+1$得$|12 - 2t| = |36 - 9t| + 1$。
当$0≤t≤4$时，方程化为$12 - 2t = 36 - 9t + 1$，解得$t=\frac{25}{7}$，符合范围；
当$4＜t≤6$时，方程化为$12 - 2t = 9t - 36 + 1$，解得$t=\frac{47}{11}$，符合范围。
②$6＜t≤9$（Q从A向O运动阶段）：
Q对应数为$3t-27$，$PM=|12 - 2t|$，$PQ=|2t - 18|$，
代入方程得$|12 - 2t| = |6t - 54| + 1$，此时方程化为$2t - 12 = 54 - 6t + 1$，解得$t=\frac{67}{8}$，符合范围。
③$9＜t≤12$（Q停在O点阶段）：
代入方程得$2t - 12 = 3(t - 9) + 1$，解得$t=14$，大于12，不符合范围，舍去。
综上，t的值为$\frac{25}{7}$、$\frac{47}{11}$、$\frac{67}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；$\boldsymbol{12}$
(2) ①$\boldsymbol{3-2t}$；②$\boldsymbol{4}$
(3) t的值为$\boldsymbol{\frac{31}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{23}{2}}$
(4) t的值为$\boldsymbol{\frac{25}{7}}$、$\boldsymbol{\frac{47}{11}}$、$\boldsymbol{\frac{67}{8}}$
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程的应用，两点间距离公式
【点评】
本题是数轴动点的典型综合题，重点考察分类讨论思想和方程思想，解题关键是根据动点的不同运动阶段确定t的取值范围，用含t的代数式准确表示各点对应的数，结合距离公式列方程求解，同时要注意检验解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.3