1. 阅读下表：
线段AB上的点数n（包括A,B两点） | 图例 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | A C | 3=2+1
4 | A C D B | 6=3+2+1
5 | A C D E B | 10=4+3+2+1
6 | A C D E F B | 15=5+4+3+2+1
解答下列问题：
(1) 根据表中规律猜测线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的式子表示N，则N=.
(2) 计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点（每两个站点之间距离不等），需要制定多少种票价？设计多少种车票？
答案D48

1. (1)$\frac{n(n-1)}{2}$ 解析:根据规律,N=1+2+3+…+(n-1)=$\frac{n(n-1)}{2}$.
(2)此题相当于一条线段上有6个点(不包括端点),有多少种不同的票价即有多少条线段:7+6+5+4+3+2+1=28(种);车票是要考虑往返的,所以有28×2=56(种).
归纳总结
计算直线上(设直线上有n个点)线段条数的方法:①以$A_1$为端点向右的线段共有$(n-1)$条,以$A_2$为端点向右的线段共有$(n-2)$条,…,以$A_{n-2}$为端点向右的线段共有2条,以$A_{n-1}$为端点向右的线段共有1条,这样共有$(n-1)+(n-2)+\dots+3+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$(条)线段.②分别以$A_1,A_2,\dots,A_n$为端点的线段各有$(n-1)$条,因此共有$n(n-1)$条线段,但每条线段都重复计算了一次,所以当直线上有n个点时,线段共有$\frac{n(n-1)}{2}$条.

【分析】
解决第一问时，先观察表格中n和N的对应关系：当点数为n时，线段总条数是从(n-1)开始依次递减1相加，直到加到1，属于首项为1、末项为n-1的等差数列求和，代入求和公式即可推导出N的表达式。解决第二问时，先明确总站点数：甲乙两市是两个端点，加中间6个停靠站，总点数为8；不同票价对应不同长度的线段（不考虑方向），直接用第一问的公式计算即可；车票需要考虑往返方向，两个站点往返对应两种不同车票，因此车票总数是线段数的2倍。
【解析】
(1) 观察表格规律：
当$n=3$时，$N=2+1=\frac{3×(3-1)}{2}=3$；
当$n=4$时，$N=3+2+1=\frac{4×(4-1)}{2}=6$；
当$n=5$时，$N=4+3+2+1=\frac{5×(5-1)}{2}=10$；
以此类推，线段总条数是1到(n-1)的整数和，根据等差数列求和公式可得：
$N=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$。
(2) 首先计算总站点数：甲乙两个端点加中间6个停靠站，总点数$n=6+2=8$。
① 票价仅和两站之间的距离有关，不考虑往返方向，即对应线段总条数，代入公式得：
$N=\frac{8×(8-1)}{2}=28$，即需要制定28种票价。
② 车票需要考虑往返方向，两站之间往返为2种不同车票，因此车票总数为$28×2=56$种。
【答案】
(1) $\frac{n(n-1)}{2}$
(2) 需要制定28种票价，设计56种车票。

【知识点】
1. 线段计数规律
2. 规律探究列代数式
3. 实际场景应用
【点评】
本题核心是通过特例归纳线段计数的通用公式，再结合生活场景区分是否需要考虑顺序，做题时注意不要漏算端点站点，理清票价和车票的区别即可正确解答。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示：

(1)试验观察：
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画条直线；
第②组最多可以画条直线；
第③组最多可以画条直线.
(2)探索归纳：
如果平面上有$n(n≥3)$个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线(用含$n$的式子表示)？
(3)某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么他们共握了多少次手？
(4)某足球赛，第一轮小组赛共有32支球队分成8组(每组4个队)，每组组内分别进行单循环赛(即每个队与本小组的其他队各比赛一场)，求第一轮共要进行几场比赛.

解：△AOB的周长不会发生变化，周长为10。
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D。
∵ 点P的坐标为(5,5)，
∴ PC=PD=5，OC=OD=5，四边形OCPD是边长为5的正方形，
∴ ∠CPD=90°。
在x轴上点C的左侧截取CE=BD，连接PE。
在△PBD和△PEC中，
$\{\begin{array}{l}PD=PC \\∠PDB=∠PCE=90° \\BD=CE\end{array} $
∴ △PBD ≌ △PEC（SAS），
∴ PB=PE，∠DPB=∠CPE。
∵ ∠APB=45°，∠CPD=90°，
∴ ∠DPB + ∠APC = ∠CPD - ∠APB = 45°，
∴ ∠CPE + ∠APC = ∠APE = 45°，
即∠APE=∠APB=45°。
在△APB和△APE中，
$\{\begin{array}{l}PB=PE \\∠APB=∠APE \\PA=PA\end{array} $
∴ △APB ≌ △APE（SAS），
∴ AB=AE。
∵ AE = AC + CE = AC + BD，
∴ △AOB的周长 = OA + OB + AB
= OA + OB + AC + BD
= (OA + AC) + (OB + BD)
= OC + OD
= 5 + 5 = 10。
综上，△AOB的周长不变，恒为10。

【分析】
本题属于规律探究类计数问题，思考步骤如下：
1. 解决(1)问时，依据“两点确定一条直线”，要得到最多直线数需保证任意三点不共线，计算时避免重复计数：3个点时，总连线数为2+1=3条；4个点时为3+2+1=6条；5个点时为4+3+2+1=10条。
2. 解决(2)问时，把具体点数推广到n个点：每个点可与其余(n-1)个点连线，共得到n(n-1)条连线，由于每条直线被两个端点各计算1次，因此总直线数要除以2，即可得到通用公式。
3. 解决(3)(4)问时，属于公式的实际应用：握手问题中每个人对应一个点，握手对应两点连线；单循环比赛中每个队对应一个点，比赛对应两点连线，均符合上述计数模型，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 第①组有3个点，最多可画直线：$2+1=3$（条）；
第②组有4个点，最多可画直线：$3+2+1=6$（条）；
第③组有5个点，最多可画直线：$4+3+2+1=10$（条）；
对应画图验证如下：

(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，且任意三点不共线时，每个点可与剩余$(n-1)$个点连接成直线，总连线数为$n(n-1)$，由于每条直线被重复计算2次，因此最多可画直线条数为：$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 45名同学握手，将每名同学看作一个点，每两人握手对应两点连线，代入公式得：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$（次）
答：他们共握了990次手。
(4) 每组有4个队，每组内单循环赛的比赛场数代入公式得：$\frac{4×(4-1)}{2}=6$（场）
共有8个小组，因此第一轮总比赛场数为：$6×8=48$（场）
答：第一轮共要进行48场比赛。
【答案】
(1) $3$；$6$；$10$

(2) 最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线
(3) $990$次
(4) $48$场
【知识点】
直线计数规律；规律归纳；实际问题建模
【点评】
本题从具体的直线计数问题出发，抽象出通用的两点连线计数公式，再迁移应用到握手、单循环比赛等同类实际场景，既考查学生的规律归纳能力，也考查知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7