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1.(合肥蜀山区期中)如图,已知函数$y_1=2x+b$与$y_2=ax-3$的图象交于点$P(-2,-5)$,与$x$轴分别交于点$A,B$.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)求三角形$ABP$的面积;
(3)根据图象直接写出不等式$2x+b＜ax-3$的解集.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)求三角形$ABP$的面积;
(3)根据图象直接写出不等式$2x+b＜ax-3$的解集.
答案
1.解:(1)将$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$,得$-5=2×(-2)+b$,解得$b=-1$.所以$y_1=2x-1$.将$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$,得$-5=a×(-2)-3$,解得$a=1$.所以$y_2=x-3$.(2)令$y_1=0$,得$2x-1=0$,解得$x=\frac{1}{2}$.所以$A(\frac{1}{2},0)$.令$y_2=0$,得$x-3=0$,解得$x=3$.所以$B(3,0)$.所以$S_{≡ 三角形ABP}=\frac{1}{2}AB·|y_p|=\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})×5=\frac{25}{4}$.(3)不等式$2x+b＜ax-3$的解集为$x＜-2$.
解析
【分析】
(1) 求两个一次函数的表达式可利用待定系数法，已知两个函数图象均经过点P(-2,-5)，将P点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出未知参数b和a，进而得到函数表达式。
(2) 求△ABP的面积，首先要确定A、B两点的坐标：A是y₁与x轴的交点，令y₁=0求解x即可得到A点坐标；B是y₂与x轴的交点，令y₂=0求解x即可得到B点坐标。A、B均在x轴上，AB的长度为两点横坐标的差，△ABP的高为点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算出结果。
(3) 不等式$2x+b＜ax-3$的几何意义是y₁的图象在y₂图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数交点的横坐标与图象走向，即可直接得到解集。
【解析】
(1) 将$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$，得：
$-5=2×(-2)+b$
解得$b=-1$，因此$y_1=2x-1$。
将$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$，得：
$-5=a×(-2)-3$
解得$a=1$，因此$y_2=x-3$。
(2) 求A点坐标：令$y_1=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，故$A(\frac{1}{2},0)$。
求B点坐标：令$y_2=0$，即$x-3=0$，解得$x=3$，故$B(3,0)$。
$AB=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，点P到x轴的距离为$|-5|=5$，
因此$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×|y_P|=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$。
(3) 观察图象可得，当$x＜-2$时，$y_1=2x+b$的图象在$y_2=ax-3$的图象下方，满足$2x+b＜ax-3$，因此不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
(1) $y_1=2x-1$，$y_2=x-3$；(2) $\frac{25}{4}$；(3) $x＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，融合了函数解析式求解、坐标计算、面积求解以及不等式解集与函数图象的关联，解题时运用数形结合思想可简化思考过程，是一次函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求两个一次函数的表达式可利用待定系数法，已知两个函数图象均经过点P(-2,-5)，将P点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出未知参数b和a，进而得到函数表达式。
(2) 求△ABP的面积，首先要确定A、B两点的坐标：A是y₁与x轴的交点，令y₁=0求解x即可得到A点坐标；B是y₂与x轴的交点，令y₂=0求解x即可得到B点坐标。A、B均在x轴上，AB的长度为两点横坐标的差，△ABP的高为点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算出结果。
(3) 不等式$2x+b＜ax-3$的几何意义是y₁的图象在y₂图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数交点的横坐标与图象走向，即可直接得到解集。
【解析】
(1) 将$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$，得：
$-5=2×(-2)+b$
解得$b=-1$，因此$y_1=2x-1$。
将$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$，得：
$-5=a×(-2)-3$
解得$a=1$，因此$y_2=x-3$。
(2) 求A点坐标：令$y_1=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，故$A(\frac{1}{2},0)$。
求B点坐标：令$y_2=0$，即$x-3=0$，解得$x=3$，故$B(3,0)$。
$AB=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，点P到x轴的距离为$|-5|=5$，
因此$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×|y_P|=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$。
(3) 观察图象可得，当$x＜-2$时，$y_1=2x+b$的图象在$y_2=ax-3$的图象下方，满足$2x+b＜ax-3$，因此不等式的解集为$x＜-2$。
【答案】
(1) $y_1=2x-1$，$y_2=x-3$；(2) $\frac{25}{4}$；(3) $x＜-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，融合了函数解析式求解、坐标计算、面积求解以及不等式解集与函数图象的关联，解题时运用数形结合思想可简化思考过程，是一次函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. (2024－2025·安庆期中)如图,过点B(1,0)的直线$l_1:y_1=kx+b$与直线$l_2:y_2=2x+4$相交于点$P(-1,a)$.
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
——教材P48习题T15变式
(2)直接写出不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集为
(3)求四边形PAOC的面积.
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
——教材P48习题T15变式
(2)直接写出不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集为
$-2≤x≤-1$
；(3)求四边形PAOC的面积.
答案
2.解:(1)将$P(-1,a)$代入$y_2=2x+4$,得$a=-2+4=2$.所以$P(-1,2)$.将$B(1,0),P(-1,2)$代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}k+b=0, \\-k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=1.\end{cases}$$∴$直线$l_1$的函数表达式为$y_1=-x+1$.(2)$-2≤x≤-1$ (3)将$x=0$代入$y_1=-x+1$,得$y_1=1$,所以$C(0,1)$.将$y=0$代入$y_2=2x+4$,得$x=-2$,所以$A(-2,0)$.所以$S_{四边形PAOC}=S_{≡ 三角形ABP}-S_{≡ 三角形BOC}=\frac{1}{2}AB· y_P-\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}×[1-(-2)]×2-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要求直线$l_1$的函数表达式，需先确定$l_1$上两个已知点的坐标：已知$l_1$过$B(1,0)$，还过两直线交点$P(-1,a)$，因此先将$P$点坐标代入$l_2$的解析式求出$a$，得到$P$点完整坐标，再用待定系数法，把$B$、$P$两点坐标代入$y_1=kx+b$，解二元一次方程组即可得到$k$、$b$的值，进而得到$l_1$的解析式。
(2) 求不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集，要结合函数图象分析：$y_1≥y_2$对应图象中$l_1$在$l_2$上方的部分，横坐标小于等于交点$P$的横坐标；$y_2≥0$对应$l_2$在$x$轴上方的部分，横坐标大于等于$l_2$与$x$轴交点$A$的横坐标，两部分的公共区间就是不等式的解集。
(3) 四边形$PAOC$是不规则图形，用割补法计算面积更简便：可以先求$△ ABP$的面积，再减去$△ BOC$的面积，差就是四边形的面积。需要先求出$l_2$与$x$轴交点$A$、$l_1$与$y$轴交点$C$的坐标，再分别计算两个三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) 将点$P(-1,a)$代入$y_2=2x+4$，得：
$a=2×(-1)+4=2$，即$P(-1,2)$。
将$B(1,0)$、$P(-1,2)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=0 \\-k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=1\end{cases}$
$∴$直线$l_1$的函数表达式为$y_1=-x+1$。
(2) 先求$y_2≥0$的解集：令$y_2=2x+4≥0$，解得$x≥-2$；
$y_1≥y_2$对应图象上两直线交点$P$左侧的区域，即$x≤-1$；
因此不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集为$-2≤x≤-1$。
(3) 求点$C$坐标：将$x=0$代入$y_1=-x+1$，得$y_1=1$，即$C(0,1)$；
求点$A$坐标：令$y_2=2x+4=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$；
$AB=1-(-2)=3$，$OB=1$，$OC=1$，$P$点纵坐标为2，
$S_{四边形PAOC}=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}×AB×y_P - \frac{1}{2}×OB×OC$
$=\frac{1}{2}×3×2 - \frac{1}{2}×1×1$
$=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$y_1=-x+1$；(2)$-2≤x≤-1$；(3)$\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，结合图象考查了一次函数解析式求解、函数与不等式的关系、不规则图形面积计算，解题时需要灵活运用数形结合思想，合理选择割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要求直线$l_1$的函数表达式，需先确定$l_1$上两个已知点的坐标：已知$l_1$过$B(1,0)$，还过两直线交点$P(-1,a)$，因此先将$P$点坐标代入$l_2$的解析式求出$a$，得到$P$点完整坐标，再用待定系数法，把$B$、$P$两点坐标代入$y_1=kx+b$，解二元一次方程组即可得到$k$、$b$的值，进而得到$l_1$的解析式。
(2) 求不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集，要结合函数图象分析：$y_1≥y_2$对应图象中$l_1$在$l_2$上方的部分，横坐标小于等于交点$P$的横坐标；$y_2≥0$对应$l_2$在$x$轴上方的部分，横坐标大于等于$l_2$与$x$轴交点$A$的横坐标，两部分的公共区间就是不等式的解集。
(3) 四边形$PAOC$是不规则图形，用割补法计算面积更简便：可以先求$△ ABP$的面积，再减去$△ BOC$的面积，差就是四边形的面积。需要先求出$l_2$与$x$轴交点$A$、$l_1$与$y$轴交点$C$的坐标，再分别计算两个三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) 将点$P(-1,a)$代入$y_2=2x+4$，得：
$a=2×(-1)+4=2$，即$P(-1,2)$。
将$B(1,0)$、$P(-1,2)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=0 \\-k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=1\end{cases}$
$∴$直线$l_1$的函数表达式为$y_1=-x+1$。
(2) 先求$y_2≥0$的解集：令$y_2=2x+4≥0$，解得$x≥-2$；
$y_1≥y_2$对应图象上两直线交点$P$左侧的区域，即$x≤-1$；
因此不等式$y_1≥ y_2≥0$的解集为$-2≤x≤-1$。
(3) 求点$C$坐标：将$x=0$代入$y_1=-x+1$，得$y_1=1$，即$C(0,1)$；
求点$A$坐标：令$y_2=2x+4=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$；
$AB=1-(-2)=3$，$OB=1$，$OC=1$，$P$点纵坐标为2，
$S_{四边形PAOC}=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}×AB×y_P - \frac{1}{2}×OB×OC$
$=\frac{1}{2}×3×2 - \frac{1}{2}×1×1$
$=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$y_1=-x+1$；(2)$-2≤x≤-1$；(3)$\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，结合图象考查了一次函数解析式求解、函数与不等式的关系、不规则图形面积计算，解题时需要灵活运用数形结合思想，合理选择割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
3.(2024−2025·六安叶集区月考)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-2x+4$与y轴相交于点A,与x轴相交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)函数$y=kx+b(k≠0)$中,y随x的增大而增大,其图象经过点B,与y轴交于点C,三角形ABC的面积是三角形ABO面积的2倍,求k,b的值.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)函数$y=kx+b(k≠0)$中,y随x的增大而增大,其图象经过点B,与y轴交于点C,三角形ABC的面积是三角形ABO面积的2倍,求k,b的值.
答案
3.解:(1)令$x=0$,则$y=4$,所以点$A$的坐标为$(0,4)$.令$y=0$,则$-2x+4=0$,解得$x=2$.所以点$B$的坐标为$(2,0)$.(2)因为点$A$的坐标为$(0,4)$,点$B$的坐标为$(2,0)$,所以$OA=4,OB=2$.所以$S_{≡ 三角形ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=4$.因为三角形$ABC$的面积是三角形$ABO$面积的2倍,所以$S_{≡ 三角形ABC}=2S_{≡ 三角形ABO}=8$.所以$\frac{1}{2}AC· OB=8$.所以$AC=8$.所以点$C$的坐标为$(0,-4)$或$(0,12)$.由于函数$y=kx+b(k≠0)$中,y随$x$的增大而增大,所以点$C$的坐标为$(0,-4)$.把$B(2,0),C(0,-4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}0=2k+b, \\b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2, \\b=-4.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）求一次函数与坐标轴交点坐标，根据坐标轴上点的坐标特征：y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，分别代入直线$y=-2x+4$计算即可得到A、B的坐标。
（2）先根据A、B坐标计算$△ ABO$的面积，再结合两个三角形的面积关系求出$△ ABC$的面积；$△ ABC$中AC边在y轴上，高为OB的长度，据此求出AC的长度，得到C点可能的坐标；再根据“y随x的增大而增大”的性质筛选出符合条件的C点坐标，最后将B、C坐标代入$y=kx+b$求解k、b即可。
【解析】
(1) 求点A、B坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$，得$y=4$，故点A的坐标为$(0,4)$；
令$y=0$，代入$y=-2x+4$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，故点B的坐标为$(2,0)$。
(2) 计算面积求参数：
由$A(0,4)$、$B(2,0)$得$OA=4$，$OB=2$，
则$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×4×2=4$。
因为$S_{△ ABC}=2S_{△ ABO}$，所以$S_{△ ABC}=2×4=8$。
$△ ABC$中，AC边在y轴上，高为点B到y轴的距离即OB的长度，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × OB$，
代入得$\frac{1}{2}× AC × 2=8$，解得$AC=8$。
因为A点坐标为$(0,4)$，C点在y轴上，所以C点坐标为$(0,4-8)$即$(0,-4)$，或$(0,4+8)$即$(0,12)$。
又因为$y=kx+b$中y随x的增大而增大，所以$k＞0$，直线与y轴交点应在y轴负半轴，故舍去$(0,12)$，取$C(0,-4)$。
将$B(2,0)$、$C(0,-4)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
把$b=-4$代入第一个方程，得$2k -4=0$，解得$k=2$。
【答案】
(1) $A(0,4)$，$B(2,0)$；
(2) $k=2$，$b=-4$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题时要注意坐标轴上点的坐标特征的应用，同时结合函数增减性排除不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）求一次函数与坐标轴交点坐标，根据坐标轴上点的坐标特征：y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，分别代入直线$y=-2x+4$计算即可得到A、B的坐标。
（2）先根据A、B坐标计算$△ ABO$的面积，再结合两个三角形的面积关系求出$△ ABC$的面积；$△ ABC$中AC边在y轴上，高为OB的长度，据此求出AC的长度，得到C点可能的坐标；再根据“y随x的增大而增大”的性质筛选出符合条件的C点坐标，最后将B、C坐标代入$y=kx+b$求解k、b即可。
【解析】
(1) 求点A、B坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$，得$y=4$，故点A的坐标为$(0,4)$；
令$y=0$，代入$y=-2x+4$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，故点B的坐标为$(2,0)$。
(2) 计算面积求参数：
由$A(0,4)$、$B(2,0)$得$OA=4$，$OB=2$，
则$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×4×2=4$。
因为$S_{△ ABC}=2S_{△ ABO}$，所以$S_{△ ABC}=2×4=8$。
$△ ABC$中，AC边在y轴上，高为点B到y轴的距离即OB的长度，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × OB$，
代入得$\frac{1}{2}× AC × 2=8$，解得$AC=8$。
因为A点坐标为$(0,4)$，C点在y轴上，所以C点坐标为$(0,4-8)$即$(0,-4)$，或$(0,4+8)$即$(0,12)$。
又因为$y=kx+b$中y随x的增大而增大，所以$k＞0$，直线与y轴交点应在y轴负半轴，故舍去$(0,12)$，取$C(0,-4)$。
将$B(2,0)$、$C(0,-4)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
把$b=-4$代入第一个方程，得$2k -4=0$，解得$k=2$。
【答案】
(1) $A(0,4)$，$B(2,0)$；
(2) $k=2$，$b=-4$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题时要注意坐标轴上点的坐标特征的应用，同时结合函数增减性排除不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
