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4.(合肥包河区期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=kx+b$经过$A(-6,0),B(0,3)$两点,点C在直线AB上,且纵坐标为4.
(1)求$k,b$的值及点C的坐标;
(2)若D为直线AB上一动点,且三角形OBC的面积是三角形OAD面积的一半,求点D的坐标.
(1)求$k,b$的值及点C的坐标;
(2)若D为直线AB上一动点,且三角形OBC的面积是三角形OAD面积的一半,求点D的坐标.
答案
4.解:(1)把$A(-6,0),B(0,3)$代入,得$\begin{cases}-6k+b=0, \\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}, \\b=3.\end{cases}$所以直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$.当$y=4$时,$\frac{1}{2}x+3=4$,解得$x=2$.所以点$C$的坐标为$(2,4)$.(2)设$D(t,\frac{1}{2}t+3)$.因为三角形$OBC$的面积是三角形$OAD$面积的一半,所以$\frac{1}{2}×3×2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×\left|\frac{1}{2}t+3\right|$,解得$t=-2$或$t=-10$.所以点$D$的坐标为$(-2,2)$或$(-10,-2)$.
解析
【分析】
(1) 求直线解析式的k和b时，利用待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入y=kx+b，得到二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到直线AB的解析式；点C在直线AB上，已知其纵坐标为4，将y=4代入解析式求出对应的x值，就能得到点C的坐标。
(2) 先计算出△OBC的面积，OB为底，长度是B点的纵坐标3，高是点C的横坐标的绝对值；设D点坐标为$(t,\frac{1}{2}t+3)$，△OAD以OA为底，长度是A点横坐标的绝对值6，高是D点纵坐标的绝对值，根据“△OBC的面积是△OAD面积的一半”列方程，求解时注意绝对值的两种情况，即可得到D点的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-6,0)$、$B(0,3)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-6k+b=0 \\ b=3\end{cases}$
把$b=3$代入$-6k+b=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
已知点C在直线AB上且纵坐标为4，将$y=4$代入解析式：
$\frac{1}{2}x+3=4$，解得$x=2$，即点C的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点D的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+3)$。
计算△OBC的面积：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× |x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$。
△OAD的面积：$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}× OA× |y_D|=\frac{1}{2}×6×\left|\frac{1}{2}t+3\right|=3\left|\frac{1}{2}t+3\right|$。
根据题意$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}S_{△ OAD}$，可得：
$3=\frac{1}{2}×3\left|\frac{1}{2}t+3\right|$
化简得$\left|\frac{1}{2}t+3\right|=2$，分两种情况求解：
① 当$\frac{1}{2}t+3=2$时，解得$t=-2$，此时$y_D=\frac{1}{2}×(-2)+3=2$，D点坐标为$(-2,2)$；
② 当$\frac{1}{2}t+3=-2$时，解得$t=-10$，此时$y_D=\frac{1}{2}×(-10)+3=-2$，D点坐标为$(-10,-2)$。
【答案】
(1) $k=\frac{1}{2}$，$b=3$，点C的坐标为$(2,4)$；
(2) 点D的坐标为$(-2,2)$或$(-10,-2)$。
【知识点】
待定系数法，一次函数性质，坐标面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、一次函数上点的坐标特征，以及坐标系中三角形面积的计算，第二问求解时要注意坐标绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线解析式的k和b时，利用待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入y=kx+b，得到二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到直线AB的解析式；点C在直线AB上，已知其纵坐标为4，将y=4代入解析式求出对应的x值，就能得到点C的坐标。
(2) 先计算出△OBC的面积，OB为底，长度是B点的纵坐标3，高是点C的横坐标的绝对值；设D点坐标为$(t,\frac{1}{2}t+3)$，△OAD以OA为底，长度是A点横坐标的绝对值6，高是D点纵坐标的绝对值，根据“△OBC的面积是△OAD面积的一半”列方程，求解时注意绝对值的两种情况，即可得到D点的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-6,0)$、$B(0,3)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-6k+b=0 \\ b=3\end{cases}$
把$b=3$代入$-6k+b=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
已知点C在直线AB上且纵坐标为4，将$y=4$代入解析式：
$\frac{1}{2}x+3=4$，解得$x=2$，即点C的坐标为$(2,4)$。
(2) 设点D的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+3)$。
计算△OBC的面积：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× |x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$。
△OAD的面积：$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}× OA× |y_D|=\frac{1}{2}×6×\left|\frac{1}{2}t+3\right|=3\left|\frac{1}{2}t+3\right|$。
根据题意$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}S_{△ OAD}$，可得：
$3=\frac{1}{2}×3\left|\frac{1}{2}t+3\right|$
化简得$\left|\frac{1}{2}t+3\right|=2$，分两种情况求解：
① 当$\frac{1}{2}t+3=2$时，解得$t=-2$，此时$y_D=\frac{1}{2}×(-2)+3=2$，D点坐标为$(-2,2)$；
② 当$\frac{1}{2}t+3=-2$时，解得$t=-10$，此时$y_D=\frac{1}{2}×(-10)+3=-2$，D点坐标为$(-10,-2)$。
【答案】
(1) $k=\frac{1}{2}$，$b=3$，点C的坐标为$(2,4)$；
(2) 点D的坐标为$(-2,2)$或$(-10,-2)$。
【知识点】
待定系数法，一次函数性质，坐标面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、一次函数上点的坐标特征，以及坐标系中三角形面积的计算，第二问求解时要注意坐标绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.(2024－2025·合肥三十八中期中)如图①，一次函数$y=k_1x+b$的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B(0,4)，与正比例函数$y=k_2x$的图象交于点C(6,12)。
(1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式。
(2)如图②，E是直线BC上的一动点(与点B,C不重合)，过点E作$EP⊥ x$轴于点P，交直线OC于点F。设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当$EF=OB$时，a的值。
(3)如图③，若E是线段BC上一动点(与点B,C不重合)，连接CP，直线OC能否把$△ CEP$分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由。
(1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式。
(2)如图②，E是直线BC上的一动点(与点B,C不重合)，过点E作$EP⊥ x$轴于点P，交直线OC于点F。设点E的横坐标为a，用含a的式子表示EF的长，并求出当$EF=OB$时，a的值。
(3)如图③，若E是线段BC上一动点(与点B,C不重合)，连接CP，直线OC能否把$△ CEP$分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由。
答案
5.解:(1)正比例函数的表达式为$y=2x$,一次函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x+4$.(2)因为点$E$的横坐标为$a$,所以$E(a,\frac{4}{3}a+4)$.因为$EP⊥x$轴,所以$F(a,2a)$,所以$EF=\left|\frac{4}{3}a+4-2a\right|=\left|\frac{2}{3}a-4\right|$.当$EF=OB$时,$\left|\frac{2}{3}a-4\right|=4$,解得$a=0$(舍去)或$12$.所以当$EF=OB$时,$a$的值为12.(3)能.由(2),得$EF=4-\frac{2}{3}a$,$EP=\frac{4}{3}a+4$.由题意,得$EF=\frac{2}{5}EP$或$EF=\frac{3}{5}EP$,所以$4-\frac{2}{3}a=\frac{2}{5}(\frac{4}{3}a+4)$或$4-\frac{2}{3}a=\frac{3}{5}(\frac{4}{3}a+4)$,解得$a=2$或$\frac{12}{11}$.所以点$E$的坐标为$(2,\frac{20}{3})$或$(\frac{12}{11},\frac{60}{11})$.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式用待定系数法：正比例函数仅含1个未知参数，将点C(6,12)代入$y=k_2x$即可求出$k_2$；一次函数含2个未知参数，已知它过B(0,4)、C(6,12)两点，代入后得到二元一次方程组，解方程组即可得参数值。
(2) 点E在一次函数图象上，横坐标为a，代入一次函数表达式可得E的纵坐标；EP垂直x轴，因此F点横坐标和E相同，代入正比例函数可得F的纵坐标。EF为竖直线段，长度为两点纵坐标差的绝对值；OB长度为4，令EF=OB列绝对值方程求解，最后结合E不与B、C重合的条件舍去不符合的解。
(3) 直线OC把△CEP分成的两个三角形同高，面积比等于底的比$EF:FP$，分$EF:FP=2:3$和$EF:FP=3:2$两种情况讨论。由于E在线段BC上，a的取值范围是0＜a＜6，因此EF可以去掉绝对值化简，列方程求解得到a后代入一次函数即可得E的坐标。
【解析】
(1) 将C(6,12)代入$y=k_2x$，得$12=6k_2$，解得$k_2=2$，因此正比例函数表达式为$y=2x$。
将B(0,4)、C(6,12)代入$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}b=4 \\6k_1+b=12 \end{cases}$
解得$k_1=\frac{4}{3},b=4$，因此一次函数表达式为$y=\frac{4}{3}x+4$。
(2) 已知点E横坐标为a，且在直线BC上，因此$E(a,\frac{4}{3}a+4)$；
∵$EP⊥x$轴，F在EP和直线OC上，
∴F点横坐标为a，代入$y=2x$得$F(a,2a)$，
∴$EF=\left|\frac{4}{3}a+4-2a\right|=\left|\frac{2}{3}a-4\right|$。
由题意得$OB=4$，令$EF=OB$，则$\left|\frac{2}{3}a-4\right|=4$，
去绝对值解得$a=12$或$a=0$，
∵E不与B、C重合，
∴$a=0$舍去，即a的值为12。
(3) 能，理由如下：
∵E在线段BC上，
∴$0＜a＜6$，此时$\frac{2}{3}a-4＜0$，因此$EF=4-\frac{2}{3}a$，$EP=\frac{4}{3}a+4$。
被OC分割的两个三角形同高，面积比等于底的比，分两种情况：
① 当面积比为2:3时，$EF=\frac{2}{5}EP$，代入得$4-\frac{2}{3}a=\frac{2}{5}(\frac{4}{3}a+4)$，解得$a=2$，代入一次函数得$y=\frac{20}{3}$，即$E(2,\frac{20}{3})$；
② 当面积比为3:2时，$EF=\frac{3}{5}EP$，代入得$4-\frac{2}{3}a=\frac{3}{5}(\frac{4}{3}a+4)$，解得$a=\frac{12}{11}$，代入一次函数得$y=\frac{60}{11}$，即$E(\frac{12}{11},\frac{60}{11})$。
【答案】
(1) 正比例函数：$\boldsymbol{y=2x}$，一次函数：$\boldsymbol{y=\frac{4}{3}x+4}$
(2) $EF=\boldsymbol{\left|\frac{2}{3}a-4\right|}$，a的值为$\boldsymbol{12}$
(3) 能，点E坐标为$\boldsymbol{(2,\frac{20}{3})}$或$\boldsymbol{(\frac{12}{11},\frac{60}{11})}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数动点问题；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合常考题型，基础考察函数解析式的求解，进阶考察动点背景下线段长度的表示、绝对值方程求解和同高三角形的面积性质，解题时需注意结合动点的取值范围舍去不合理解，避免遗漏分类讨论的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数解析式用待定系数法：正比例函数仅含1个未知参数，将点C(6,12)代入$y=k_2x$即可求出$k_2$；一次函数含2个未知参数，已知它过B(0,4)、C(6,12)两点，代入后得到二元一次方程组，解方程组即可得参数值。
(2) 点E在一次函数图象上，横坐标为a，代入一次函数表达式可得E的纵坐标；EP垂直x轴，因此F点横坐标和E相同，代入正比例函数可得F的纵坐标。EF为竖直线段，长度为两点纵坐标差的绝对值；OB长度为4，令EF=OB列绝对值方程求解，最后结合E不与B、C重合的条件舍去不符合的解。
(3) 直线OC把△CEP分成的两个三角形同高，面积比等于底的比$EF:FP$，分$EF:FP=2:3$和$EF:FP=3:2$两种情况讨论。由于E在线段BC上，a的取值范围是0＜a＜6，因此EF可以去掉绝对值化简，列方程求解得到a后代入一次函数即可得E的坐标。
【解析】
(1) 将C(6,12)代入$y=k_2x$，得$12=6k_2$，解得$k_2=2$，因此正比例函数表达式为$y=2x$。
将B(0,4)、C(6,12)代入$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}b=4 \\6k_1+b=12 \end{cases}$
解得$k_1=\frac{4}{3},b=4$，因此一次函数表达式为$y=\frac{4}{3}x+4$。
(2) 已知点E横坐标为a，且在直线BC上，因此$E(a,\frac{4}{3}a+4)$；
∵$EP⊥x$轴，F在EP和直线OC上，
∴F点横坐标为a，代入$y=2x$得$F(a,2a)$，
∴$EF=\left|\frac{4}{3}a+4-2a\right|=\left|\frac{2}{3}a-4\right|$。
由题意得$OB=4$，令$EF=OB$，则$\left|\frac{2}{3}a-4\right|=4$，
去绝对值解得$a=12$或$a=0$，
∵E不与B、C重合，
∴$a=0$舍去，即a的值为12。
(3) 能，理由如下：
∵E在线段BC上，
∴$0＜a＜6$，此时$\frac{2}{3}a-4＜0$，因此$EF=4-\frac{2}{3}a$，$EP=\frac{4}{3}a+4$。
被OC分割的两个三角形同高，面积比等于底的比，分两种情况：
① 当面积比为2:3时，$EF=\frac{2}{5}EP$，代入得$4-\frac{2}{3}a=\frac{2}{5}(\frac{4}{3}a+4)$，解得$a=2$，代入一次函数得$y=\frac{20}{3}$，即$E(2,\frac{20}{3})$；
② 当面积比为3:2时，$EF=\frac{3}{5}EP$，代入得$4-\frac{2}{3}a=\frac{3}{5}(\frac{4}{3}a+4)$，解得$a=\frac{12}{11}$，代入一次函数得$y=\frac{60}{11}$，即$E(\frac{12}{11},\frac{60}{11})$。
【答案】
(1) 正比例函数：$\boldsymbol{y=2x}$，一次函数：$\boldsymbol{y=\frac{4}{3}x+4}$
(2) $EF=\boldsymbol{\left|\frac{2}{3}a-4\right|}$，a的值为$\boldsymbol{12}$
(3) 能，点E坐标为$\boldsymbol{(2,\frac{20}{3})}$或$\boldsymbol{(\frac{12}{11},\frac{60}{11})}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数动点问题；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合常考题型，基础考察函数解析式的求解，进阶考察动点背景下线段长度的表示、绝对值方程求解和同高三角形的面积性质，解题时需注意结合动点的取值范围舍去不合理解，避免遗漏分类讨论的情况。
【难度系数】
0.6
