8.(2025·高青模拟)如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,⊙O的半径r=5,则四边形ABCD的面积为 ()

A.44
B.88
C.100
D.110

8.D

9.(2025·武汉模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,AD为中线,若$AB=10$,$AC=24$,设$△ ABD$与$△ ACD$的内切圆半径分别为$r_1$,$r_2$,则$\frac{r_1}{r_2}$的值是 ()

A.$\frac{37}{23}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{37}{33}$
D.$\frac{25}{18}$

9.D

10.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$BC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$AO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ AFD$的度数是$\underline{\hspace{5em}}$.

10.35°

11.如图，$\odot O$是直角$△ ABC$的内切圆，$∠ B=90°$，$AB=8$，$BC=6$.
求:(1)$△ ABC$内切圆半径；
(2)$△ ABC$的内心和外心的距离.

11.解:(1)如答图,设⊙O分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,连接OD,OE,OF.
设⊙O的半径为r,
∵⊙O分别切BC,AB,AC于点D,E,F,
∴OF⊥AC,OE⊥BA,OD⊥CB,CD=CF,BE=BD,
又∠B=90°,
∴四边形ODBE为正方形,
∴DB=BE=r,
∴CF=BC-DB=6-r,AF=AB-BE=8-r,
又AF+CF=AC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
即△ABC内切圆的半径为2.
(2)
∵AB=8,BC=6,∠C=90°,
∴AC为△ABC的外接圆的直径,
AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=10.
取AC的中点I,连接OI,
∴CI=$\frac{1}{2}$AC=5.
由(1)知CF=6-r=4,
∴IF=IC-CF=5-4=1.
在Rt△IOF中,IF=1,OF=2,
∴IO=$\sqrt{IF^2+OF^2}$=$\sqrt{5}$,
即Rt△ABC的内心O与外心I之间的距离为$\sqrt{5}$.

12.如图，AB是$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$，点I为$△ ABC$的内心，连接CI并延长交$\odot O$于点D，E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，连接AD，BD，BE，CE.
(1)若$∠ ABC=25°$，求$∠ CEB$的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若$CI=4\sqrt{2}$，$DI=13\sqrt{2}$，求$△ ABC$的周长.

12.解:(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=25°,
∴∠CAB=90°-25°=65°.
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形,
∴∠CEB+∠CAB=180°,
∴∠CEB=180°-∠CAB=115°.
(2)DI=AD=BD,证明:如答图所示,连接AI.
∵点I为△ABC的内心,
∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{BD}$,
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴∠DAI=∠DIA,
∴DI=AD=BD.
(3)如答图,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P.
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,
∴Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点,
∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.
∵CI=$4\sqrt{2}$,∠IFC=90°,∠ACI=45°,
∴CF=FI,CF²+FI²=2CF²=CI²=$(4\sqrt{2})^2$,
∴CF=4,
∴CP=CF=4.
∵DI=AD=BD,DI=$13\sqrt{2}$,∠ADB=90°,
∴AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}$=26,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
=AB+AF+CF+CP+BP
=AB+AQ+BQ+2CF
=2AB+2CF
=2×26+2×4
=60.