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1.「2026湖北宜昌期中改编」下列一元二次方程的根可以根据
计算出的是（
A.$2x^2+3x+11=0$
B.$2x^2+3x-11=0$
C.$3x^2+x-2=9$
D.$-2x^2-x+3=8$
计算出的是（B
）A.$2x^2+3x+11=0$
B.$2x^2+3x-11=0$
C.$3x^2+x-2=9$
D.$-2x^2-x+3=8$
答案
∵ 一元二次方程的根可以根据 $x = \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-11)}}{2×2}$计算,$\therefore a=2,b=3,c=-11$,
∴ 该一元二次方程为 $2x^2+3x-11=0$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题干给出的求根算式和标准公式逐项对应，找到对应的$a,b,c$的值，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的算式$\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-11)}}{2×2}$和求根公式逐项对比，可得：
$a=2$，$b=3$，$c=-11$，
因此对应的一元二次方程为$2x^2+3x-11=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是准确掌握求根公式的结构，明确公式中$a,b,c$分别对应一般形式里的二次项系数、一次项系数和常数项，解题时要格外注意常数项的符号，避免误判。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题干给出的求根算式和标准公式逐项对应，找到对应的$a,b,c$的值，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的算式$\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-11)}}{2×2}$和求根公式逐项对比，可得：
$a=2$，$b=3$，$c=-11$，
因此对应的一元二次方程为$2x^2+3x-11=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是准确掌握求根公式的结构，明确公式中$a,b,c$分别对应一般形式里的二次项系数、一次项系数和常数项，解题时要格外注意常数项的符号，避免误判。
【难度系数】
0.8
2.「2026河北邢台期中」习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程.
用公式法解方程:$3x^2 -5x=2$.
解:将方程化为一般形式,
得$3x^2 -5x+2=0$, …………………………第一步
这里$a=3,b=5,c=2$, ………………………第二步
$\because b^2 -4ac=5^2 -4×3×2=1＞0$, …………第三步
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{5\pm1}{6}$, …………………………第四步
即$x_1=\frac{2}{3},x_2=1$. …………………………第五步
(1)开始出现错误的步骤是第
(2)请给出此题正确的解答过程.
用公式法解方程:$3x^2 -5x=2$.
解:将方程化为一般形式,
得$3x^2 -5x+2=0$, …………………………第一步
这里$a=3,b=5,c=2$, ………………………第二步
$\because b^2 -4ac=5^2 -4×3×2=1＞0$, …………第三步
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×3}=\frac{5\pm1}{6}$, …………………………第四步
即$x_1=\frac{2}{3},x_2=1$. …………………………第五步
(1)开始出现错误的步骤是第
一
步.(2)请给出此题正确的解答过程.
答案
(1)一.
(2)原方程化为一般形式,得 $3x^2-5x-2=0$,
这里 $a=3,b=-5,c=-2$,
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$,
即 $x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$.
(2)原方程化为一般形式,得 $3x^2-5x-2=0$,
这里 $a=3,b=-5,c=-2$,
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$,
即 $x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$.
解析
【分析】
(1) 要判断出错步骤，首先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），需将方程所有项移到等号左侧，右侧为0。原方程$3x^2 -5x=2$移项时，右侧的2移到左侧应变号为-2，题中第一步写成了+2，因此第一步就出现错误。
(2) 正确解题思路：先将原方程化为符合要求的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意保留符号），再计算根的判别式$b^2-4ac$，确认判别式非负后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算，最后整理得到两个根即可。
【解析】
(1) 第一步移项时符号错误，因此开始出现错误的步骤是第一步。
(2) 正确解答过程：
先将原方程移项化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值，再计算判别式，代入求根公式计算即可，具体过程见答案。
【答案】
(1) 一
(2) 原方程化为一般形式,得 $3x^2-5x-2=0$,
这里 $a=3,b=-5,c=-2$,
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$,
即 $x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$.
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础易错题，核心易错点在于移项变号、以及确定系数时漏带符号，熟练掌握公式法解方程的步骤，注意每一步的符号问题就能准确求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断出错步骤，首先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），需将方程所有项移到等号左侧，右侧为0。原方程$3x^2 -5x=2$移项时，右侧的2移到左侧应变号为-2，题中第一步写成了+2，因此第一步就出现错误。
(2) 正确解题思路：先将原方程化为符合要求的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意保留符号），再计算根的判别式$b^2-4ac$，确认判别式非负后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算，最后整理得到两个根即可。
【解析】
(1) 第一步移项时符号错误，因此开始出现错误的步骤是第一步。
(2) 正确解答过程：
先将原方程移项化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值，再计算判别式，代入求根公式计算即可，具体过程见答案。
【答案】
(1) 一
(2) 原方程化为一般形式,得 $3x^2-5x-2=0$,
这里 $a=3,b=-5,c=-2$,
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$,
即 $x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$.
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础易错题，核心易错点在于移项变号、以及确定系数时漏带符号，熟练掌握公式法解方程的步骤，注意每一步的符号问题就能准确求解。
【难度系数】
0.7
3. 学科特色 教材变式 用公式法解下列方程：
(1)「2026 黑龙江佳木斯月考」$3x^2 -7x +2=0$
(2)「2026 四川富顺期末」$2x^2 +3x=1$
(3)$(x-1)(x+3)=12$
(4)$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$
(1)「2026 黑龙江佳木斯月考」$3x^2 -7x +2=0$
(2)「2026 四川富顺期末」$2x^2 +3x=1$
(3)$(x-1)(x+3)=12$
(4)$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$
答案
(1)这里 $a=3,b=-7,c=2$,
$\because b^2-4ac=(-7)^2-4×3×2=25＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{7\pm5}{6}$,
即 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(2)将原方程化为一般形式,得 $2x^2+3x-1=0$,
这里 $a=2,b=3,c=-1$,
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)将原方程化为一般形式,得 $x^2+2x-15=0$,
这里 $a=1,b=2,c=-15$.
$\because b^2-4ac=2^2-4×1×(-15)=64＞0$,
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{-2\pm8}{2}$,
即 $x_1=3,x_2=-5$.
(4)这里 $a=2,b=-2\sqrt{6},c=3$.
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0$,
$\therefore x=\frac{2\sqrt{6}\pm0}{2×2}$,
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
$\because b^2-4ac=(-7)^2-4×3×2=25＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{7\pm5}{6}$,
即 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(2)将原方程化为一般形式,得 $2x^2+3x-1=0$,
这里 $a=2,b=3,c=-1$,
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(3)将原方程化为一般形式,得 $x^2+2x-15=0$,
这里 $a=1,b=2,c=-15$.
$\because b^2-4ac=2^2-4×1×(-15)=64＞0$,
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{-2\pm8}{2}$,
即 $x_1=3,x_2=-5$.
(4)这里 $a=2,b=-2\sqrt{6},c=3$.
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0$,
$\therefore x=\frac{2\sqrt{6}\pm0}{2×2}$,
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确确定系数$a、b、c$的值，注意符号要对应；③计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题4个小题按上述步骤依次求解即可，非一般形式的方程要先整理再计算。
【解析】
(1) 方程$3x^2 -7x +2=0$为一般形式，这里 $a=3,b=-7,c=2$，
$\because b^2-4ac=(-7)^2-4×3×2=25＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{7\pm5}{6}$，
即 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 将原方程移项化为一般形式，得 $2x^2+3x-1=0$，
这里 $a=2,b=3,c=-1$，
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(3) 将原方程展开、移项、合并同类项化为一般形式，得 $x^2+2x-15=0$，
这里 $a=1,b=2,c=-15$，
$\because b^2-4ac=2^2-4×1×(-15)=64＞0$，
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{-2\pm8}{2}$，
即 $x_1=3,x_2=-5$.
(4) 方程$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$为一般形式，这里 $a=2,b=-2\sqrt{6},c=3$，
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0$，
$\therefore x=\frac{2\sqrt{6}\pm0}{2×2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$；
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(3)$x_1=3,x_2=-5$；
(4)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程的一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循公式法的解题步骤，尤其要注意先将非标准形式的方程化为一般形式，确定$a、b、c$时留意符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确确定系数$a、b、c$的值，注意符号要对应；③计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题4个小题按上述步骤依次求解即可，非一般形式的方程要先整理再计算。
【解析】
(1) 方程$3x^2 -7x +2=0$为一般形式，这里 $a=3,b=-7,c=2$，
$\because b^2-4ac=(-7)^2-4×3×2=25＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{7\pm5}{6}$，
即 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 将原方程移项化为一般形式，得 $2x^2+3x-1=0$，
这里 $a=2,b=3,c=-1$，
$\because b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(3) 将原方程展开、移项、合并同类项化为一般形式，得 $x^2+2x-15=0$，
这里 $a=1,b=2,c=-15$，
$\because b^2-4ac=2^2-4×1×(-15)=64＞0$，
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{-2\pm8}{2}$，
即 $x_1=3,x_2=-5$.
(4) 方程$2x^2 -2\sqrt{6}x +3=0$为一般形式，这里 $a=2,b=-2\sqrt{6},c=3$，
$\because b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0$，
$\therefore x=\frac{2\sqrt{6}\pm0}{2×2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$；
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(3)$x_1=3,x_2=-5$；
(4)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程的一般形式、根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循公式法的解题步骤，尤其要注意先将非标准形式的方程化为一般形式，确定$a、b、c$时留意符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
4.「2025江苏扬州中考」关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
$\because \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0$,$\therefore$ 方程 $x^2-3x+1=0$ 有两个不相等的实数根.故选 A.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$来判断。解题思路分三步：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中对应系数$a$、$b$、$c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的正负对应根的三种情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根，最后匹配选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5$
$\because \Delta = 5 ＞ 0$
$\therefore$ 方程$x^2 - 3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，熟记判别式的计算方法和不同取值对应的根的情况，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$来判断。解题思路分三步：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中对应系数$a$、$b$、$c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的正负对应根的三种情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根，最后匹配选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5$
$\because \Delta = 5 ＞ 0$
$\therefore$ 方程$x^2 - 3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，熟记判别式的计算方法和不同取值对应的根的情况，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
5.「2025北京中考」若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x +1=0$有两个相等的实数根,则实数$a$的值为 (
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
)A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+2x+1=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=0$ 且 $a≠0$,即 $2^2-4a=0$ 且 $a≠0$,
$\therefore a=1$.故选 C.
$\therefore a=1$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。接下来只需代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，将方程中对应系数代入计算，最后验证结果满足$a≠0$即可。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+2x+1=0$有两个相等的实数根，
$\therefore$ 需同时满足：①二次项系数$a≠0$；②根的判别式$\Delta=0$。
根据判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入$b=2$、$c=1$可得：
$2^2-4× a×1=0$
整理得$4-4a=0$，解得$a=1$，符合$a≠0$的要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题是基础考查题，重点考察一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$的性质。接下来只需代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，将方程中对应系数代入计算，最后验证结果满足$a≠0$即可。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+2x+1=0$有两个相等的实数根，
$\therefore$ 需同时满足：①二次项系数$a≠0$；②根的判别式$\Delta=0$。
根据判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入$b=2$、$c=1$可得：
$2^2-4× a×1=0$
整理得$4-4a=0$，解得$a=1$，符合$a≠0$的要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题是基础考查题，重点考察一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 学科特色教材变式 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) $4x^2 -5x -3=0$. (2) $2x^2 +4x +3=0$.
(1) $4x^2 -5x -3=0$. (2) $2x^2 +4x +3=0$.
答案
(1)$\because \Delta=(-5)^2-4×4×(-3)=73＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because \Delta=4^2-4×2×3=-8＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根.
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because \Delta=4^2-4×2×3=-8＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根.
解析
【分析】
要不解方程判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：首先确认方程是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带对系数的符号；再将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值；最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2 -5x -3=0$，可得$a=4$，$b=-5$，$c=-3$，
代入判别式得：$\Delta=(-5)^2-4×4×(-3)=25+48=73＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$2x^2 +4x +3=0$，可得$a=2$，$b=4$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta=4^2-4×2×3=16-24=-8＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
【答案】
(1)$\because \Delta=(-5)^2-4×4×(-3)=73＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because \Delta=4^2-4×2×3=-8＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根.
【知识点】
一元二次方程根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数，尤其注意不要遗漏系数的符号，熟记判别式取值对应的根的三种情况即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要不解方程判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：首先确认方程是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带对系数的符号；再将$a、b、c$代入判别式公式计算$\Delta$的数值；最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2 -5x -3=0$，可得$a=4$，$b=-5$，$c=-3$，
代入判别式得：$\Delta=(-5)^2-4×4×(-3)=25+48=73＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$2x^2 +4x +3=0$，可得$a=2$，$b=4$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta=4^2-4×2×3=16-24=-8＜0$，
$\therefore$ 方程没有实数根。
【答案】
(1)$\because \Delta=(-5)^2-4×4×(-3)=73＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because \Delta=4^2-4×2×3=-8＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根.
【知识点】
一元二次方程根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数，尤其注意不要遗漏系数的符号，熟记判别式取值对应的根的三种情况即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.「2026山东滨州月考，★☆」已知a,b,c分别是三角形的三边长，则方程$(a+b)x^2 + 2cx + a+b=0$的根的情况是（
A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
）A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
由题意得 $a+b≠0$,且 $\Delta=(2c)^2-4(a+b)^2=4[c^2-(a+b)^2]=4(a+b+c)(c-a-b)$,由三角形的三边关系,得 $c-a-b＜0,a+b+c＞0$,$\therefore \Delta＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根.故选 A.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，首先想到利用根的判别式Δ进行判断。第一步先确认方程为一元二次方程：由于a、b是三角形的边长，均为正数，因此二次项系数a+b≠0，符合一元二次方程的要求；第二步计算判别式Δ的表达式，再对其因式分解；第三步结合三角形三边关系判断Δ的正负，最终对应得到根的情况。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，即a+b≠0，该方程是关于x的一元二次方程。
计算根的判别式：
$\Delta=(2c)^2-4(a+b)(a+b)=4c^2-4(a+b)^2=4[c^2-(a+b)^2]=4(c+a+b)(c-a-b)$
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$，$a+b+c＞0$，
∴$c-a-b＜0$，
∴$\Delta=4×(a+b+c)×(c-a-b)＜0$，
∴该方程没有实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，核心考查根的判别式的应用以及三角形三边关系的隐含条件，解题时要先确认二次项系数不为0，再正确化简判别式，结合三边关系判断符号即可求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，首先想到利用根的判别式Δ进行判断。第一步先确认方程为一元二次方程：由于a、b是三角形的边长，均为正数，因此二次项系数a+b≠0，符合一元二次方程的要求；第二步计算判别式Δ的表达式，再对其因式分解；第三步结合三角形三边关系判断Δ的正负，最终对应得到根的情况。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，即a+b≠0，该方程是关于x的一元二次方程。
计算根的判别式：
$\Delta=(2c)^2-4(a+b)(a+b)=4c^2-4(a+b)^2=4[c^2-(a+b)^2]=4(c+a+b)(c-a-b)$
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$，$a+b+c＞0$，
∴$c-a-b＜0$，
∴$\Delta=4×(a+b+c)×(c-a-b)＜0$，
∴该方程没有实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，核心考查根的判别式的应用以及三角形三边关系的隐含条件，解题时要先确认二次项系数不为0，再正确化简判别式，结合三边关系判断符号即可求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
