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6.「2026河南许昌二中月考，★☆」嘉嘉和淇淇用配方法解一元二次方程$4x^2 -4x -3=0$，对于嘉嘉和淇淇的解答过程，下列判断正确的是（
嘉嘉：$4x^2 -4x -3=0 \rightarrow 4x^2 -4x +1=3+1 \rightarrow (2x-1)^2=4 \rightarrow$解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
淇淇：$4x^2 -4x -3=0 \rightarrow 4(x^2 -x +\dfrac{1}{4})=3+1 \rightarrow 4(x-\dfrac{1}{2})^2=4 \rightarrow$解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
A.只有嘉嘉对
B.只有淇淇对
C.两人都对
D.两人都不对
C
）嘉嘉：$4x^2 -4x -3=0 \rightarrow 4x^2 -4x +1=3+1 \rightarrow (2x-1)^2=4 \rightarrow$解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
淇淇：$4x^2 -4x -3=0 \rightarrow 4(x^2 -x +\dfrac{1}{4})=3+1 \rightarrow 4(x-\dfrac{1}{2})^2=4 \rightarrow$解得$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
A.只有嘉嘉对
B.只有淇淇对
C.两人都对
D.两人都不对
答案
在用配方法解一元二次方程$4x^2 -4x -3=0$时,可以对$4x^2 -4x$直接配方,也可以将二次项系数化为1,再对$x^2 -x$进行配方.两人的方法都对.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的两种常用思路：第一种是不提前将二次项系数化为1，直接对二次项、一次项整体凑完全平方，配方时需保证等式两边同时加相同的数；第二种是先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1后再配方，此时要注意括号内加的常数需乘提取的系数，等式右边也要加对应的数值。接下来分别验证嘉嘉和淇淇的步骤是否符合配方法规则、计算结果是否正确，即可得出结论。
【解析】
先验证嘉嘉的解答过程：
1. 原方程移项得$4x^2-4x=3$，等式两边同时加1，左边$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，右边$3+1=4$，即$(2x-1)^2=4$；
2. 开平方得$2x-1=\pm2$，解得$x_1=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$，步骤和结果均正确。
再验证淇淇的解答过程：
1. 原方程提取二次项系数4得$4(x^2-x)-3=0$，移项得$4(x^2-x)=3$；
2. 括号内配方：$x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2$，左边括号内加$\frac{1}{4}$，整体实际加了$4×\frac{1}{4}=1$，因此右边也加1，得$4(x^2-x+\frac{1}{4})=3+1$，即$4(x-\frac{1}{2})^2=4$；
3. 两边除以4得$(x-\frac{1}{2})^2=1$，开平方得$x-\frac{1}{2}=\pm1$，解得$x_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，步骤和结果均正确。
因此两人的解答都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，解二次项系数不为1的一元二次方程时，配方方式不唯一，只要符合等式的性质、正确运用完全平方公式即可，计算时要注意配方时两边加的常数要对应，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的两种常用思路：第一种是不提前将二次项系数化为1，直接对二次项、一次项整体凑完全平方，配方时需保证等式两边同时加相同的数；第二种是先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1后再配方，此时要注意括号内加的常数需乘提取的系数，等式右边也要加对应的数值。接下来分别验证嘉嘉和淇淇的步骤是否符合配方法规则、计算结果是否正确，即可得出结论。
【解析】
先验证嘉嘉的解答过程：
1. 原方程移项得$4x^2-4x=3$，等式两边同时加1，左边$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，右边$3+1=4$，即$(2x-1)^2=4$；
2. 开平方得$2x-1=\pm2$，解得$x_1=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$，步骤和结果均正确。
再验证淇淇的解答过程：
1. 原方程提取二次项系数4得$4(x^2-x)-3=0$，移项得$4(x^2-x)=3$；
2. 括号内配方：$x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2$，左边括号内加$\frac{1}{4}$，整体实际加了$4×\frac{1}{4}=1$，因此右边也加1，得$4(x^2-x+\frac{1}{4})=3+1$，即$4(x-\frac{1}{2})^2=4$；
3. 两边除以4得$(x-\frac{1}{2})^2=1$，开平方得$x-\frac{1}{2}=\pm1$，解得$x_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，步骤和结果均正确。
因此两人的解答都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，解二次项系数不为1的一元二次方程时，配方方式不唯一，只要符合等式的性质、正确运用完全平方公式即可，计算时要注意配方时两边加的常数要对应，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
7.「★☆☆」已知三角形的两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程$\frac{1}{4}x^2 -4x +15=0$的一个根.
请你用配方法解此方程,并计算出该三角形的面积.
请你用配方法解此方程,并计算出该三角形的面积.
答案
对于$\frac{1}{4}x^2 -4x +15=0$,
两边都乘4,得$x^2 -16x +60=0$,
移项,得$x^2 -16x =-60$,
配方,得$x^2 -16x +8^2=-60+8^2$,
即$(x-8)^2=4$,
解得$x_1=10,x_2=6$.
①当三角形的第三边长为10时,$\because 6^2 +8^2 =10^2$,
$\therefore$该三角形为直角三角形,$\therefore S_{三角形}=\frac{1}{2}×6×8=24$.
②当第三边长是6时,该三角形为等腰三角形,如图,
$AB=AC=6,BC=8$,过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D,
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$,
$\therefore AD=\sqrt{6^2 -4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$.
综上,该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题需分两个环节推进：第一，按配方法的规范步骤求解一元二次方程，得到第三边的可能取值，配方法处理二次项系数不为1的方程时，先把二次项系数化为1，再给等式两边加一次项系数一半的平方完成配方；第二，对每个第三边的取值，先验证是否满足三角形三边关系，再根据三角形的形状选择对应的面积计算方法，若为直角三角形直接用直角边乘积的一半算面积，若为等腰三角形则作底边上的高，结合勾股定理求高后再计算面积。
【解析】
首先用配方法解方程$\frac{1}{4}x^2 -4x +15=0$：
方程两边同时乘4，得$x^2 -16x +60=0$，
移项，得$x^2 -16x =-60$，
配方，给等式两边加一次项系数一半的平方$8^2$，得$x^2 -16x +8^2=-60+8^2$，
即$(x-8)^2=4$，
开方得$x-8=\pm2$，解得$x_1=10,x_2=6$，两个根均满足三角形三边关系，分两种情况计算面积：
① 当三角形的第三边长为10时，$\because 6^2 +8^2 =10^2$，$\therefore$该三角形为直角三角形，直角边长为6和8，
$\therefore S_{三角形}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
② 当第三边长是6时，该三角形为等腰三角形，$AB=AC=6,BC=8$，过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D，
根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$，
在$Rt△ ABD$中由勾股定理得$AD=\sqrt{6^2 -4^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.等腰三角形的性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题融合了一元二次方程解法与三角形面积计算的知识点，需要注意解出方程的根后要先判断是否符合三角形三边关系，再分情况计算面积，考查了分类讨论的思想，解题时要避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题需分两个环节推进：第一，按配方法的规范步骤求解一元二次方程，得到第三边的可能取值，配方法处理二次项系数不为1的方程时，先把二次项系数化为1，再给等式两边加一次项系数一半的平方完成配方；第二，对每个第三边的取值，先验证是否满足三角形三边关系，再根据三角形的形状选择对应的面积计算方法，若为直角三角形直接用直角边乘积的一半算面积，若为等腰三角形则作底边上的高，结合勾股定理求高后再计算面积。
【解析】
首先用配方法解方程$\frac{1}{4}x^2 -4x +15=0$：
方程两边同时乘4，得$x^2 -16x +60=0$，
移项，得$x^2 -16x =-60$，
配方，给等式两边加一次项系数一半的平方$8^2$，得$x^2 -16x +8^2=-60+8^2$，
即$(x-8)^2=4$，
开方得$x-8=\pm2$，解得$x_1=10,x_2=6$，两个根均满足三角形三边关系，分两种情况计算面积：
① 当三角形的第三边长为10时，$\because 6^2 +8^2 =10^2$，$\therefore$该三角形为直角三角形，直角边长为6和8，
$\therefore S_{三角形}=\frac{1}{2}×6×8=24$。
② 当第三边长是6时，该三角形为等腰三角形，$AB=AC=6,BC=8$，过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D，
根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$，
在$Rt△ ABD$中由勾股定理得$AD=\sqrt{6^2 -4^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.等腰三角形的性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题融合了一元二次方程解法与三角形面积计算的知识点，需要注意解出方程的根后要先判断是否符合三角形三边关系，再分情况计算面积，考查了分类讨论的思想，解题时要避免漏解。
【难度系数】
0.7
8. 核心素养 模型观念 观察下列式子：
$x^2+4x+2=(x^2+4x+4)-2=(x+2)^2-2$，
$\because (x+2)^2≥0,\therefore x^2+4x+2=(x+2)^2-2≥-2$，
则原式有最小值，是-2.
$-x^2+2x-3=-(x^2-2x+1)-2=-(x-1)^2-2$，
$\because -(x-1)^2≤0,\therefore -x^2+2x-3=-(x-1)^2-2≤-2$，
则原式有最大值，是-2.
解答下列问题：
(1)求代数式$2x^2-4x+1$的最小值.
(2)解决实际问题:在紧靠围墙的空地上,用长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃(如图),设花圃中垂直于围墙的一边的长度为$x$米,完成下列任务.
①用含$x$的式子表示花圃的面积.
②当$x$取何值时,花圃的面积最大? 花圃的最大面积是多少平方米?
$x^2+4x+2=(x^2+4x+4)-2=(x+2)^2-2$，
$\because (x+2)^2≥0,\therefore x^2+4x+2=(x+2)^2-2≥-2$，
则原式有最小值，是-2.
$-x^2+2x-3=-(x^2-2x+1)-2=-(x-1)^2-2$，
$\because -(x-1)^2≤0,\therefore -x^2+2x-3=-(x-1)^2-2≤-2$，
则原式有最大值，是-2.
解答下列问题：
(1)求代数式$2x^2-4x+1$的最小值.
(2)解决实际问题:在紧靠围墙的空地上,用长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃(如图),设花圃中垂直于围墙的一边的长度为$x$米,完成下列任务.
①用含$x$的式子表示花圃的面积.
②当$x$取何值时,花圃的面积最大? 花圃的最大面积是多少平方米?
答案
(1)$2x^2 -4x +1=2(x^2 -2x +1)-2+1=2(x-1)^2 -1$,
$\because (x-1)^2≥0$,$\therefore 2x^2 -4x +1=2(x-1)^2 -1≥-1$,
则原式有最小值,是-1.
(2)①花圃的面积:$x(100-2x)=(-2x^2 +100x)$平方米.
②$-2x^2 +100x=-2(x-25)^2 +1250≤1250$,
由题意得$\begin{cases}x＞0,\\100-2x＞0,\end{cases}$则$0＜x＜50$,
$\therefore$当$x=25$时,花圃的面积最大,为1250平方米.
$\because (x-1)^2≥0$,$\therefore 2x^2 -4x +1=2(x-1)^2 -1≥-1$,
则原式有最小值,是-1.
(2)①花圃的面积:$x(100-2x)=(-2x^2 +100x)$平方米.
②$-2x^2 +100x=-2(x-25)^2 +1250≤1250$,
由题意得$\begin{cases}x＞0,\\100-2x＞0,\end{cases}$则$0＜x＜50$,
$\therefore$当$x=25$时,花圃的面积最大,为1250平方米.
解析
【分析】
(1)求代数式最值可参照题干给出的配方法思路：先提取二次项系数，将含x的项配成完全平方式，再利用平方的非负性即可判断最值。
(2)①先明确长方形花圃的边长：垂直围墙的边长为x米，共有2条这类边，因此平行于围墙的边长为总栅栏长减去2x，即(100-2x)米，再根据长方形面积公式即可列出面积表达式；②求面积最大值仍用配方法将面积的二次式配方，结合平方的非负性，同时注意实际问题中x的取值要满足边长为正，即可求出对应的最值。
【解析】
(1) 对$2x^2-4x+1$进行配方：
$2x^2 -4x +1=2(x^2 -2x +1)-2+1=2(x-1)^2 -1$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore 2(x-1)^2≥0$，可得$2x^2 -4x +1=2(x-1)^2 -1≥-1$，因此原式有最小值。
(2) ① 垂直围墙的边长为x米，平行于围墙的边长为$(100-2x)$米，根据长方形面积公式：
花圃面积$=x(100-2x)=(-2x^2 +100x)$平方米。
② 对面积表达式配方：
$-2x^2 +100x=-2(x^2-50x)=-2(x^2-50x+625)+1250=-2(x-25)^2 +1250$
根据实际意义，边长为正，因此$\begin{cases}x＞0\\100-2x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜50$。
$\because (x-25)^2≥0$，$\therefore -2(x-25)^2≤0$，因此$-2(x-25)^2 +1250≤1250$，当且仅当$x=25$时取等号，25在$0＜x＜50$范围内，符合要求。
【答案】
(1) 最小值是$\boldsymbol{-1}$；
(2) ① 花圃面积为$\boldsymbol{(-2x^2 + 100x)}$平方米；
② 当$\boldsymbol{x=25}$时，花圃的面积最大，最大面积是$\boldsymbol{1250}$平方米。
【知识点】
配方法求最值；平方的非负性；二次函数实际应用
【点评】
本题以配方法为核心，既考查了代数式最值的基础求解能力，又结合实际场景考查了数学建模能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
(1)求代数式最值可参照题干给出的配方法思路：先提取二次项系数，将含x的项配成完全平方式，再利用平方的非负性即可判断最值。
(2)①先明确长方形花圃的边长：垂直围墙的边长为x米，共有2条这类边，因此平行于围墙的边长为总栅栏长减去2x，即(100-2x)米，再根据长方形面积公式即可列出面积表达式；②求面积最大值仍用配方法将面积的二次式配方，结合平方的非负性，同时注意实际问题中x的取值要满足边长为正，即可求出对应的最值。
【解析】
(1) 对$2x^2-4x+1$进行配方：
$2x^2 -4x +1=2(x^2 -2x +1)-2+1=2(x-1)^2 -1$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore 2(x-1)^2≥0$，可得$2x^2 -4x +1=2(x-1)^2 -1≥-1$，因此原式有最小值。
(2) ① 垂直围墙的边长为x米，平行于围墙的边长为$(100-2x)$米，根据长方形面积公式：
花圃面积$=x(100-2x)=(-2x^2 +100x)$平方米。
② 对面积表达式配方：
$-2x^2 +100x=-2(x^2-50x)=-2(x^2-50x+625)+1250=-2(x-25)^2 +1250$
根据实际意义，边长为正，因此$\begin{cases}x＞0\\100-2x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜50$。
$\because (x-25)^2≥0$，$\therefore -2(x-25)^2≤0$，因此$-2(x-25)^2 +1250≤1250$，当且仅当$x=25$时取等号，25在$0＜x＜50$范围内，符合要求。
【答案】
(1) 最小值是$\boldsymbol{-1}$；
(2) ① 花圃面积为$\boldsymbol{(-2x^2 + 100x)}$平方米；
② 当$\boldsymbol{x=25}$时，花圃的面积最大，最大面积是$\boldsymbol{1250}$平方米。
【知识点】
配方法求最值；平方的非负性；二次函数实际应用
【点评】
本题以配方法为核心，既考查了代数式最值的基础求解能力，又结合实际场景考查了数学建模能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
1.「2026辽宁葫芦岛月考」无论$a$为何实数，多项式$a^2 - 4a + 6$的值一定是（
A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
A
）A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
答案
原式$=a^2 -4a +4 +2=(a-2)^2 +2$,$\because (a-2)^2≥0$,
$\therefore (a-2)^2 +2≥2$,$\therefore$原多项式的值总是正数.故选A.
$\therefore (a-2)^2 +2≥2$,$\therefore$原多项式的值总是正数.故选A.
解析
【分析】
要判断含参数的二次多项式的取值符号，可通过配方法将多项式变形为“完全平方式+常数”的形式，再利用完全平方的非负性判断整体取值。首先观察多项式中含a的项$a^2-4a$，结合完全平方公式的结构，需补充常数4即可配成完全平方式，因此将原式的常数项6拆分为4+2，配方后再根据平方数的非负性推导整个式子的取值范围即可。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$a^2 - 4a + 6 = a^2 - 4a + 4 + 2 = (a-2)^2 + 2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(a-2)^2 ≥ 0$
∴ $(a-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
因此无论$a$为何实数，多项式的值一定是正数，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是代数式取值判断的基础题，核心考查配方法的使用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对二次三项式配方是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.9
要判断含参数的二次多项式的取值符号，可通过配方法将多项式变形为“完全平方式+常数”的形式，再利用完全平方的非负性判断整体取值。首先观察多项式中含a的项$a^2-4a$，结合完全平方公式的结构，需补充常数4即可配成完全平方式，因此将原式的常数项6拆分为4+2，配方后再根据平方数的非负性推导整个式子的取值范围即可。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$a^2 - 4a + 6 = a^2 - 4a + 4 + 2 = (a-2)^2 + 2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(a-2)^2 ≥ 0$
∴ $(a-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
因此无论$a$为何实数，多项式的值一定是正数，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是代数式取值判断的基础题，核心考查配方法的使用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对二次三项式配方是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.9
2.已知$P=4m-3,Q=4m^2-1$($m$为任意实数),则$P,Q$的大小关系为 (
A.$P＞Q$
B.$P≤Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
C
)A.$P＞Q$
B.$P≤Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
答案
$Q-P=4m^2 -1-(4m -3)=4m^2 -1 -4m +3=4m^2 -4m +2=4(m^2 -m)+2=4(m-\frac{1}{2})^2 +1$,
$\because (m-\frac{1}{2})^2≥0$,$\therefore 4(m-\frac{1}{2})^2≥0$,
$\therefore 4(m-\frac{1}{2})^2 +1≥1$,$\therefore Q-P＞0$,即$P＜Q$.故选C.
$\because (m-\frac{1}{2})^2≥0$,$\therefore 4(m-\frac{1}{2})^2≥0$,
$\therefore 4(m-\frac{1}{2})^2 +1≥1$,$\therefore Q-P＞0$,即$P＜Q$.故选C.
解析
【分析】
比较两个含相同字母的代数式的大小，最常用的方法是作差法。我们可以先计算$Q-P$的差值，再将差值通过配方变形为能判断正负的形式，结合完全平方式的非负性判断差值的正负，最终确定$P$和$Q$的大小关系。
【解析】
计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=4m^2 -1-(4m -3)\\&=4m^2 -1 -4m +3\\&=4m^2 -4m +2\\&=4(m^2 -m)+2\\&=4(m-\frac{1}{2})^2 +1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(m-\frac{1}{2})^2≥0$
∴ $4(m-\frac{1}{2})^2≥0$
∴ $4(m-\frac{1}{2})^2 +1≥1＞0$，即$Q-P＞0$
∴ $P＜Q$
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础常考题，解题核心是掌握作差法的步骤，能正确对多项式进行配方，结合非负数的性质判断差值的符号即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
比较两个含相同字母的代数式的大小，最常用的方法是作差法。我们可以先计算$Q-P$的差值，再将差值通过配方变形为能判断正负的形式，结合完全平方式的非负性判断差值的正负，最终确定$P$和$Q$的大小关系。
【解析】
计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=4m^2 -1-(4m -3)\\&=4m^2 -1 -4m +3\\&=4m^2 -4m +2\\&=4(m^2 -m)+2\\&=4(m-\frac{1}{2})^2 +1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(m-\frac{1}{2})^2≥0$
∴ $4(m-\frac{1}{2})^2≥0$
∴ $4(m-\frac{1}{2})^2 +1≥1＞0$，即$Q-P＞0$
∴ $P＜Q$
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础常考题，解题核心是掌握作差法的步骤，能正确对多项式进行配方，结合非负数的性质判断差值的符号即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
3.若$a,b,c$满足$a^2 - 4b = -7$，$b^2 - 6c = -14$，$c^2 - 2a = 7$，则$a+b+c$的值是（
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
$\because a^2 -4b =-7$,$b^2 -6c =-14$,$c^2 -2a =7$,
$\therefore a^2 -4b +b^2 -6c +c^2 -2a =-7-14+7$,
$\therefore a^2 -2a +b^2 -4b -6c +c^2 =-14$,
$\therefore a^2 -2a +1 +b^2 -4b +4 +c^2 -6c +9 =-14+14$,
$\therefore (a-1)^2 +(b-2)^2 +(c-3)^2 =0$,
$\therefore (a-1)^2=0$,$(b-2)^2=0$,$(c-3)^2=0$,
$\therefore a=1$,$b=2$,$c=3$,
$\therefore a+b+c=1+2+3=6$.
故选B.
$\therefore a^2 -4b +b^2 -6c +c^2 -2a =-7-14+7$,
$\therefore a^2 -2a +b^2 -4b -6c +c^2 =-14$,
$\therefore a^2 -2a +1 +b^2 -4b +4 +c^2 -6c +9 =-14+14$,
$\therefore (a-1)^2 +(b-2)^2 +(c-3)^2 =0$,
$\therefore (a-1)^2=0$,$(b-2)^2=0$,$(c-3)^2=0$,
$\therefore a=1$,$b=2$,$c=3$,
$\therefore a+b+c=1+2+3=6$.
故选B.
解析
【分析】
首先观察已知的三个等式，发现等式左边都是含一个字母的二次项与另一个字母的一次项的组合，右边的常数相加后可凑整。解题时先将三个等式左右两边分别相加，把得到的式子整理为关于a、b、c的二次三项式，再通过配方法将左边转化为三个完全平方式的和，利用平方数的非负性（几个非负数的和为0，则每个非负数都为0），即可分别求出a、b、c的值，最后代入计算a+b+c的结果。
【解析】
已知$a^2 - 4b = -7$，$b^2 - 6c = -14$，$c^2 - 2a = 7$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$a^2 - 4b + b^2 - 6c + c^2 - 2a = -7 + (-14) + 7$
整理得：$a^2 - 2a + b^2 - 4b + c^2 - 6c = -14$
对左边配方，给等式两边同时加1、4、9（各一次项系数一半的平方），得：
$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 6c + 9 = -14 + 1 + 4 + 9$
即$(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 0$
根据平方的非负性可知$(a-1)^2≥0$，$(b-2)^2≥0$，$(c-3)^2≥0$，只有每个平方都为0时和才为0，因此：
$a-1=0$，$b-2=0$，$c-3=0$
解得$a=1$，$b=2$，$c=3$
所以$a+b+c=1+2+3=6$
故选B。
【答案】B
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题核心技巧是通过等式相加构造可配方的多项式，结合非负数性质求解未知数，既考查配方法的掌握程度，也考查对代数式结构的观察变形能力，是代数运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的三个等式，发现等式左边都是含一个字母的二次项与另一个字母的一次项的组合，右边的常数相加后可凑整。解题时先将三个等式左右两边分别相加，把得到的式子整理为关于a、b、c的二次三项式，再通过配方法将左边转化为三个完全平方式的和，利用平方数的非负性（几个非负数的和为0，则每个非负数都为0），即可分别求出a、b、c的值，最后代入计算a+b+c的结果。
【解析】
已知$a^2 - 4b = -7$，$b^2 - 6c = -14$，$c^2 - 2a = 7$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$a^2 - 4b + b^2 - 6c + c^2 - 2a = -7 + (-14) + 7$
整理得：$a^2 - 2a + b^2 - 4b + c^2 - 6c = -14$
对左边配方，给等式两边同时加1、4、9（各一次项系数一半的平方），得：
$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 6c + 9 = -14 + 1 + 4 + 9$
即$(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 0$
根据平方的非负性可知$(a-1)^2≥0$，$(b-2)^2≥0$，$(c-3)^2≥0$，只有每个平方都为0时和才为0，因此：
$a-1=0$，$b-2=0$，$c-3=0$
解得$a=1$，$b=2$，$c=3$
所以$a+b+c=1+2+3=6$
故选B。
【答案】B
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题核心技巧是通过等式相加构造可配方的多项式，结合非负数性质求解未知数，既考查配方法的掌握程度，也考查对代数式结构的观察变形能力，是代数运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
