22.(10分)为推进新质生产力发展,某市出台补贴政策:企业更新1套甲类设备,可获3万元补贴;更新1套乙类设备,可获2万元补贴。某企业对现有的甲、乙两类共20套设备进行更新,共获得52万元补贴。
(1)该企业甲、乙两类设备各有多少套?
(2)经测算,更新1套甲类设备的费用比更新1套乙类设备费用的2倍少3万元,若用50万元更新甲类设备与用40万元更新乙类设备的数量相等。
①求更新1套乙类设备的费用;
②该企业在获得52万元补贴后,还需投入多少万元资金用于更新设备?

22.解:(1)设该企业甲类设备有x套,乙类设备有y套。由题意,得$\begin{cases} x+y=20, \\ 3x+2y=52, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=12, \\ y=8。 \end{cases}$ 答:该企业甲类设备有12套,乙类设备有8套。 (2)①设更新1套乙类设备的费用为m万元,则更新1套甲类设备的费用为(2m-3)万元。由题意,得$\frac{50}{2m-3}=\frac{40}{m}$,解得m=4。经检验,m=4是所列方程的根,且符合题意。答:更新1套乙类设备的费用为4万元。 ②由①易得更新1套甲类设备的费用为2×4-3=5(万元),所以还需投入12×5+8×4-52=40(万元)资金用于更新设备。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据设备总套数、总补贴金额两个等量关系，设甲、乙设备套数为未知数，列二元一次方程组求解；第(2)问①需根据甲、乙单套设备费用的关系及“50万元更新甲类设备的数量与40万元更新乙类设备的数量相等”的等量关系，设乙类设备单套费用为未知数，列分式方程求解，注意分式方程需检验解的合理性；第(2)问②先求出甲类设备单套费用，再计算更新所有设备的总费用，减去已获补贴，得到还需投入的资金。
【解析】
22.解：
(1)设该企业甲类设备有$x$套，乙类设备有$y$套。
由题意，得$\begin{cases} x + y = 20 \\ 3x + 2y = 52 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} x = 12 \\ y = 8 \end{cases}$
答：该企业甲类设备有12套，乙类设备有8套。
(2)①设更新1套乙类设备的费用为$m$万元，则更新1套甲类设备的费用为$(2m - 3)$万元。
由题意，得$\frac{50}{2m - 3} = \frac{40}{m}$
解方程：
两边同乘$m(2m - 3)$得：$50m = 40(2m - 3)$
$50m = 80m - 120$
$30m = 120$
$m = 4$
经检验，$m = 4$是所列方程的根，且符合题意。
答：更新1套乙类设备的费用为4万元。
②由①得，更新1套甲类设备的费用为$2×4 - 3 = 5$（万元）
更新所有设备的总费用为：$12×5 + 8×4 = 60 + 32 = 92$（万元）
已获得补贴52万元，所以还需投入：$92 - 52 = 40$（万元）
答：还需投入40万元资金用于更新设备。
【答案】
22.解:(1)设该企业甲类设备有x套,乙类设备有y套。由题意,得$\begin{cases} x+y=20, \\ 3x+2y=52, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=12, \\ y=8。 \end{cases}$ 答:该企业甲类设备有12套,乙类设备有8套。 (2)①设更新1套乙类设备的费用为m万元,则更新1套甲类设备的费用为(2m-3)万元。由题意,得$\frac{50}{2m-3}=\frac{40}{m}$,解得m=4。经检验,m=4是所列方程的根,且符合题意。答:更新1套乙类设备的费用为4万元。 ②由①易得更新1套甲类设备的费用为2×4-3=5(万元),所以还需投入12×5+8×4-52=40(万元)资金用于更新设备。
【知识点】
二元一次方程组的应用，分式方程的应用
【点评】
本题以设备更新补贴为实际背景，考查方程模型的应用，需准确提取等量关系列方程，注意分式方程解的检验，整体难度适中，能考查学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.6

23.(10分)如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,其中a大于2b。
(1)若$a=6,b=2$,求阴影部分的面积;
(2)请用含$a,b$的代数式表示阴影部分的面积;
(3)若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,且$a,b$为整数,求$a$的值。

23. 解:(1)如图,延长GF交AD的延长线于点H,则DH=b,FH=a-b,所以$S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{三角形ABD}-S_{三角形HCF}-S_{三角形DHF}=a(a+b)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b(a-b)=6×(6+2)-\frac{1}{2}×6^2-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×2×(6-2)=20$。 (2)易得$S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{三角形ABD}-S_{三角形BCF}-S_{三角形DHF}=a(a+b)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$。 (3)易得$S_{空白}=S_{三角形ABD}+S_{三角形BCF}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$,根据题意,得$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2)=2.5$,整理,得b(a-b)=5,因为a,b为整数,所以a=6,b=1或a=6,b=5。所以a的值为6。

【分析】
本题通过“整体减空白”的方法计算阴影部分面积，将阴影部分转化为大长方形面积减去几个空白三角形的面积，再结合代数运算和整数条件求解$a$的值。首先确定大长方形$ABGH$的长和宽，计算其面积，再减去对应空白三角形的面积得到阴影面积；第三问根据空白与阴影的面积差建立方程，结合整数性质分析解的合理性。
【解析】
(1) 延长$GF$交$AD$的延长线于点$H$，大长方形$ABGH$的长为$a+b$，宽为$a$，面积为$a(a+b)$；空白部分包含$△ ABD$、$△ BCF$、$△ DHF$，面积分别为$\frac{1}{2}a^2$、$\frac{1}{2}ab$、$\frac{1}{2}b(a-b)$。当$a=6,b=2$时：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=a(a+b)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b(a-b)\\&=6×(6+2)-\frac{1}{2}×6^2-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×2×(6-2)\\&=48-18-6-4=20\end{aligned}$
(2) 用含$a,b$的代数式表示时，化简得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=a(a+b)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b(a-b)\\&=a^2+ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
(3) 空白部分面积为$S_{空白}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$，根据题意$S_{空白}-S_{阴影}=2.5$，代入得：
$(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2)=2.5$
化简得$b(a-b)=5$，因$a,b$为整数且$a＞2b$，5的正整数分解为$1×5$：
若$b=1,a-b=5$，则$a=6$，满足$a＞2b$；
若$b=5,a-b=1$，则$a=6$，不满足$a＞2b$，舍去。
故$a=6$。
【答案】
23. 解:(1)20；(2)$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$；(3)6
【知识点】
组合图形面积计算、整式的加减、整数解分析
【点评】
本题以两个正方形的组合图形为载体，考查“整体减空白”求面积的方法，需结合代数式化简和整数性质分析，是代数与几何结合的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.5