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四、解决问题(共10分)
丽水被誉为“中国生态第一市”，其白云山国家森林公园更是被市民誉为“丽水后花园”。今天就让我们用数学的眼光探索白云山中的数学问题。
1. 为拓展游览路线，原12.6千米的游步道延长了3.4千米，后因修缮缩短了0.8千米，改造后的实际长度是多少千米？(3分)
丽水被誉为“中国生态第一市”，其白云山国家森林公园更是被市民誉为“丽水后花园”。今天就让我们用数学的眼光探索白云山中的数学问题。
1. 为拓展游览路线，原12.6千米的游步道延长了3.4千米，后因修缮缩短了0.8千米，改造后的实际长度是多少千米？(3分)
答案
1.12.6+3.4-0.8=15.2(千米) 答:改造后的实际长度是15.2千米。
解析
【分析】
首先明确游步道长度的变化过程：原长度为12.6千米，先延长3.4千米，需用加法计算延长后的长度；之后缩短0.8千米，再用减法计算缩短后的实际长度。解题时按照“原长→延长→缩短”的顺序，依次进行小数加减运算即可。
【解析】
根据题意，改造后的实际长度 = 原长度 + 延长的长度 - 缩短的长度，代入数据计算：
12.6 + 3.4 - 0.8
= 16 - 0.8
= 15.2（千米）
【答案】
改造后的实际长度是15.2千米。
【知识点】
小数的加减混合运算、解决实际问题
【点评】
本题结合实际游览场景考查小数加减混合运算的应用，数量关系清晰，计算步骤简单，贴近生活实际，能帮助学生巩固小数运算的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确游步道长度的变化过程：原长度为12.6千米，先延长3.4千米，需用加法计算延长后的长度；之后缩短0.8千米，再用减法计算缩短后的实际长度。解题时按照“原长→延长→缩短”的顺序，依次进行小数加减运算即可。
【解析】
根据题意，改造后的实际长度 = 原长度 + 延长的长度 - 缩短的长度，代入数据计算：
12.6 + 3.4 - 0.8
= 16 - 0.8
= 15.2（千米）
【答案】
改造后的实际长度是15.2千米。
【知识点】
小数的加减混合运算、解决实际问题
【点评】
本题结合实际游览场景考查小数加减混合运算的应用，数量关系清晰，计算步骤简单，贴近生活实际，能帮助学生巩固小数运算的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
2.生态维护团队原计划每天清理游步道1.2千米，实际效率是计划的1.5倍。按实际效率工作7天，能清理多少千米？（3分）
答案
2.1.2×1.5×7=12.6(千米) 答:能清理12.6千米。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先求出实际每天清理游步道的长度，再结合工作天数计算总清理长度：实际效率是计划的1.5倍，因此用计划每天清理长度乘1.5得到实际每天工作量，再乘工作天数7即可得到总清理长度。
【解析】
1. 计算实际每天清理的长度：$1.2×1.5 = 1.8$（千米）
2. 计算实际7天清理的总长度：$1.8×7 = 12.6$（千米）
综合算式：$1.2×1.5×7 = 12.6$（千米）
答：能清理12.6千米。
【答案】
12.6千米
【知识点】
小数乘法应用、倍数关系计算
【点评】
本题为基础小数乘法应用题，核心是理解“实际效率是计划的1.5倍”的数量关系，通过连乘运算即可解决，考查学生对小数乘法运算与实际问题的结合能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先求出实际每天清理游步道的长度，再结合工作天数计算总清理长度：实际效率是计划的1.5倍，因此用计划每天清理长度乘1.5得到实际每天工作量，再乘工作天数7即可得到总清理长度。
【解析】
1. 计算实际每天清理的长度：$1.2×1.5 = 1.8$（千米）
2. 计算实际7天清理的总长度：$1.8×7 = 12.6$（千米）
综合算式：$1.2×1.5×7 = 12.6$（千米）
答：能清理12.6千米。
【答案】
12.6千米
【知识点】
小数乘法应用、倍数关系计算
【点评】
本题为基础小数乘法应用题，核心是理解“实际效率是计划的1.5倍”的数量关系，通过连乘运算即可解决，考查学生对小数乘法运算与实际问题的结合能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.某日白云山国家森林公园负氧离子浓度为每立方厘米 3923 个，比市区的4 倍还多 511 个。市区的负氧离子浓度为每立方厘米多少个？
(1)根据题意画线段图。(1分) (2)列方程解决问题。(3分)
(1)根据题意画线段图。(1分) (2)列方程解决问题。(3分)
答案
3.(1)
(2)解:设市区的负氧离子浓度为每立方厘米x个。4x+511=3923 x=853 答:市区的负氧离子浓度为每立方厘米853个。
解析
【分析】
本题是列方程解决实际问题的题目，解题思路如下：首先根据问题设市区的负氧离子浓度为每立方厘米x个；接着分析题目中的数量关系，白云山的负氧离子浓度比市区的4倍还多511个，因此等量关系为“市区浓度×4 + 511 = 白云山浓度”；然后根据等量关系列出方程，再通过解方程求出x的值，最后作答。
【解析】
解：设市区的负氧离子浓度为每立方厘米$ x $个。
根据题意可列方程：
$ 4x + 511 = 3923 $
移项得：
$ 4x = 3923 - 511 $
计算得：
$ 4x = 3412 $
两边同时除以4：
$ x = 3412 ÷ 4 $
$ x = 853 $
【答案】
(1)
(2) 答：市区的负氧离子浓度为每立方厘米853个。
【知识点】
列方程解应用题，倍数问题
【点评】
本题是基础的列方程解倍数应用题，关键在于找准数量间的等量关系，适合学生巩固方程的实际应用。
【难度系数】
0.7
本题是列方程解决实际问题的题目，解题思路如下：首先根据问题设市区的负氧离子浓度为每立方厘米x个；接着分析题目中的数量关系，白云山的负氧离子浓度比市区的4倍还多511个，因此等量关系为“市区浓度×4 + 511 = 白云山浓度”；然后根据等量关系列出方程，再通过解方程求出x的值，最后作答。
【解析】
解：设市区的负氧离子浓度为每立方厘米$ x $个。
根据题意可列方程：
$ 4x + 511 = 3923 $
移项得：
$ 4x = 3923 - 511 $
计算得：
$ 4x = 3412 $
两边同时除以4：
$ x = 3412 ÷ 4 $
$ x = 853 $
【答案】
(1)
(2) 答：市区的负氧离子浓度为每立方厘米853个。
【知识点】
列方程解应用题，倍数问题
【点评】
本题是基础的列方程解倍数应用题，关键在于找准数量间的等量关系，适合学生巩固方程的实际应用。
【难度系数】
0.7
一、选择题(每题1分,共4分)
1.李叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成了4块(如图所示),他拿其中一块玻璃去配与原来形状大小一样的玻璃,他应该拿(
A.①
B.②
C.③
D.④
1.李叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成了4块(如图所示),他拿其中一块玻璃去配与原来形状大小一样的玻璃,他应该拿(
A
)号玻璃。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.A
解析
【分析】
要配出与原来形状、大小一致的玻璃，需确定原三角形的完整形状和大小，核心是找到能唯一确定三角形的关键角和边。根据三角形全等的判定规则，若保留原三角形的两个角及其夹边，就能唯一确定该三角形，从而还原出相同的玻璃。观察四块玻璃，①号玻璃包含原三角形的两个完整角和它们的公共夹边，满足确定三角形的条件，其他玻璃无法提供足够的角和边来确定原三角形。
【解析】
根据三角形全等的“角边角（ASA）”判定定理：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。原玻璃摔成的四块中，①号玻璃保留了原三角形的两个角和这两个角的公共边，符合ASA全等条件，因此用①号玻璃可还原出与原玻璃形状、大小完全相同的玻璃；②号仅保留一个角和部分边，③号、④号无法提供确定原三角形的完整角和边，均不能配出相同玻璃。所以应选①号，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的应用，三角形的特征
【点评】
本题结合生活实际，考查三角形全等判定在实际场景中的应用，需要学生从图形中提取关键的角和边信息，理解三角形全等的判定条件，体现了数学知识的实用性，难度适中。
【难度系数】
0.5
要配出与原来形状、大小一致的玻璃，需确定原三角形的完整形状和大小，核心是找到能唯一确定三角形的关键角和边。根据三角形全等的判定规则，若保留原三角形的两个角及其夹边，就能唯一确定该三角形，从而还原出相同的玻璃。观察四块玻璃，①号玻璃包含原三角形的两个完整角和它们的公共夹边，满足确定三角形的条件，其他玻璃无法提供足够的角和边来确定原三角形。
【解析】
根据三角形全等的“角边角（ASA）”判定定理：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。原玻璃摔成的四块中，①号玻璃保留了原三角形的两个角和这两个角的公共边，符合ASA全等条件，因此用①号玻璃可还原出与原玻璃形状、大小完全相同的玻璃；②号仅保留一个角和部分边，③号、④号无法提供确定原三角形的完整角和边，均不能配出相同玻璃。所以应选①号，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的应用，三角形的特征
【点评】
本题结合生活实际，考查三角形全等判定在实际场景中的应用，需要学生从图形中提取关键的角和边信息，理解三角形全等的判定条件，体现了数学知识的实用性，难度适中。
【难度系数】
0.5
2. 下面四种瓷砖中,可以用同一种瓷砖密铺的是(
A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
A
)。A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案
2.A 名师点评:本题考查密铺。解本题的关键是掌握拼接在一个顶点处的角度和为360°时可以密铺。
解析
【分析】
要判断同一种瓷砖能否密铺，核心依据是：围绕拼接在同一顶点处的所有内角和为360°时，该图形可单独密铺。需先确定每个图形对应的正多边形，计算其内角，判断360°能否被该内角度数整除，若能则可密铺，反之不可。
【解析】
1. 图形①对应正三角形：内角和为(3-2)×180°=180°，单个内角为180°÷3=60°，360°÷60°=6，6个正三角形在顶点处可拼成360°，能密铺；
2. 图形②对应正方形：单个内角为90°，360°÷90°=4，4个正方形在顶点处可拼成360°，能密铺；
3. 图形③对应正五边形：内角和为(5-2)×180°=540°，单个内角为540°÷5=108°，360°÷108°≈3.33，无法拼成360°，不能密铺；
4. 图形④对应正六边形：内角和为(6-2)×180°=720°，单个内角为720°÷6=120°，360°÷120°=3，3个正六边形在顶点处可拼成360°，能密铺。
综上，可密铺的是①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平面图形密铺、多边形内角计算
【点评】
本题考查平面图形密铺的核心条件，需掌握正多边形内角的计算方法，通过判断内角能否凑成360°确定是否可密铺，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要判断同一种瓷砖能否密铺，核心依据是：围绕拼接在同一顶点处的所有内角和为360°时，该图形可单独密铺。需先确定每个图形对应的正多边形，计算其内角，判断360°能否被该内角度数整除，若能则可密铺，反之不可。
【解析】
1. 图形①对应正三角形：内角和为(3-2)×180°=180°，单个内角为180°÷3=60°，360°÷60°=6，6个正三角形在顶点处可拼成360°，能密铺；
2. 图形②对应正方形：单个内角为90°，360°÷90°=4，4个正方形在顶点处可拼成360°，能密铺；
3. 图形③对应正五边形：内角和为(5-2)×180°=540°，单个内角为540°÷5=108°，360°÷108°≈3.33，无法拼成360°，不能密铺；
4. 图形④对应正六边形：内角和为(6-2)×180°=720°，单个内角为720°÷6=120°，360°÷120°=3，3个正六边形在顶点处可拼成360°，能密铺。
综上，可密铺的是①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平面图形密铺、多边形内角计算
【点评】
本题考查平面图形密铺的核心条件，需掌握正多边形内角的计算方法，通过判断内角能否凑成360°确定是否可密铺，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
3.一个等腰三角形的一个底角和顶角的度数之和是$140°$,这个三角形按角分类是(
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.不确定
C
)三角形。A.锐角
B.直角
C.钝角
D.不确定
答案
3.C 解析:等腰三角形两个底角相等且内角和是180°,故这个等腰三角形的底角是180°-140°=40°,则顶角是180°-40°×2=100°,故这个三角形按角分类是钝角三角形。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用三角形内角和为180°的性质，以及等腰三角形两底角相等的特点。已知一个底角与顶角的和是140°，先求出另一个底角的度数，再计算顶角的度数，最后根据顶角的大小判断三角形类型。
【解析】
1. 三角形内角和为180°，已知一个底角与顶角的和是140°，则另一个底角的度数为：$180° - 140° = 40°$；
2. 等腰三角形两底角相等，因此两个底角均为40°，顶角的度数为：$180° - 40°×2 = 100°$；
3. 因为顶角100°＞90°，属于钝角，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，三角形分类
【点评】
本题结合等腰三角形性质与三角形内角和定理，考查三角形按角分类的知识，解题思路清晰，步骤明确，属于基础应用题，掌握相关知识点即可解答。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用三角形内角和为180°的性质，以及等腰三角形两底角相等的特点。已知一个底角与顶角的和是140°，先求出另一个底角的度数，再计算顶角的度数，最后根据顶角的大小判断三角形类型。
【解析】
1. 三角形内角和为180°，已知一个底角与顶角的和是140°，则另一个底角的度数为：$180° - 140° = 40°$；
2. 等腰三角形两底角相等，因此两个底角均为40°，顶角的度数为：$180° - 40°×2 = 100°$；
3. 因为顶角100°＞90°，属于钝角，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，三角形分类
【点评】
本题结合等腰三角形性质与三角形内角和定理，考查三角形按角分类的知识，解题思路清晰，步骤明确，属于基础应用题，掌握相关知识点即可解答。
【难度系数】
0.6
