25. 已知，$MG // NH$，$A,D$为$MG$，$NH$上的点，$E$是$MG$，$NH$之间的点.

（1）如图1，连$AE$，$DE$，探究$∠ GAE$，$∠ AED$，$∠ EDH$（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由.
（2）$B,C$为射线$AG$，$DH$上的点，分别过点$B,C$作$DE$，$AE$的平行线交于$F$点，分别作$∠ GBF$，$∠ HCF$的角平分线，交点为$P$，如图2.
①若$∠ AED=120°$，则求$∠ BPC$的大小.
②将射线$BG$沿$BF$所在直线翻折交线段$CP$于$Q$点，如图3，若$2∠ CQB - ∠ BFC = 135°$，则判断$BQ$与$NH$的位置关系，并说明理由.

25. (1)$∠ AED+∠ GAE+∠ EDH = 360°$，理由见解析
(2)①$60°$；②$BQ ⊥ NH$，理由见解析
【难度】0.4
【分析】（1）过点E作$EK// MG$，由平行线的性质，从而得到$∠ AED+∠ GAE+∠ EDH=360°$；
（2）①由（1）可得$∠ MRE+∠ ESN+∠ RES=360°$，再分别延长DE交MG于点R，延长AE交NH于点S，利用平行线的性质得到$∠ GBF+∠ FCH=120°$，因为BP,CP分别平分$∠ GBF,∠ FCH$，所以可以利用整体法得到$∠ ABP+∠ DCP=300°$，最后求得$∠ BPC$度数；
②利用（1）中结论$∠ CQB+∠ ABQ+∠ QCD=360°$，$∠ BFC+∠ ABF+∠ FCD=360°$以及方程思想，设$∠ ABQ=α,∠ FCD=β$，分别表示出$∠ CQB,∠ BFC$，代入条件$2∠ CQB-∠ BFC=135°$，解得$α=90°$，根据垂直的定义判定$BQ⊥ NH$。
【详解】（1）解：$∠ AED+∠ GAE+∠ EDH = 360°$，理由如下：
过点E作$EK// MG$，
$\because MG// NH$
$\therefore EK// MG// NH$
$\therefore ∠ AEK+∠ EAG=180°,∠ KED+∠ EDH=180°$
$\therefore ∠ AEK+∠ EAG+∠ KED+∠ EDH=360°$
即$∠ AED+∠ GAE+∠ EDH = 360°$
（2）解：①延长DE交MG于点R，延长AE交NH于点S，
$\because DE// BF,AE// CF$
$\therefore ∠ MRE=∠ ABF,∠ ESN=∠ FCD$
有（1）知$∠ MRE+∠ ESN+∠ RES=360°$，
$\because ∠ RES=∠ AED=120°$
$\therefore ∠ MRE+∠ ESN=240°$
$\therefore ∠ ABF+∠ FCD=240°$

$\because ∠ ABF=180°-∠ GBF,∠ FCD=180°-∠ FCH$
$\therefore ∠ ABF+∠ FCD=180°-∠ GBF+180°-∠ FCH=240°$
$\therefore ∠ GBF+∠ FCH=120°$
$\because BP,CP$分别平分$∠ GBF,∠ FCH$
$\therefore ∠ PBF=\dfrac{1}{2}∠ GBF,∠ FCP=\dfrac{1}{2}∠ FCH$
$\therefore ∠ BPC=360°-(∠ ABP+∠ DCP)$
$=360°-(∠ ABF+∠ PBF+∠ FCD+∠ FCP)$
$=360°-(240°+\dfrac{1}{2}∠ GBF+\dfrac{1}{2}∠ FCH)$
$=360°-(240°+\dfrac{1}{2}(∠ GBF+∠ FCH))$
$=360°-(240°+\dfrac{1}{2}·120°)=360°-300°=60°$
②由折叠性质得：$∠ GBF=∠ FBQ$
由题意得，$∠ CQB+∠ ABQ+∠ QCD=360°$ ，$∠ BFC+∠ ABF+∠ FCD=360°$
设$∠ ABQ=α,∠ FCD=β$
$∠ QCD=∠ FCD+\dfrac{1}{2}(180°-∠ FCD)=90°+\dfrac{1}{2}∠ FCD=90°+\dfrac{1}{2}β$
$∠ ABF=∠ ABQ+\dfrac{1}{2}(180°-∠ ABQ)=90°+\dfrac{1}{2}∠ ABQ=90°+\dfrac{1}{2}α$
$\therefore ∠ CQB=360°-(∠ ABQ+∠ QCD)=360°-(α+90°+\dfrac{1}{2}β)$
$∠ BFC=360°-(∠ ABF+∠ FCD)=360°-(90°+\dfrac{1}{2}α+β)$
$\because 2∠ CQB-∠ BFC=135°$
$\therefore 2·[360°-(α+90°+\dfrac{1}{2}β)]-[360°-(90°+\dfrac{1}{2}α+β)]=135°$
$\therefore 720°-2α-180°-β-360°+90°+\dfrac{1}{2}α+β=135°$
$\therefore \dfrac{3}{2}α=135°$
$\therefore α=90°$
即$∠ ABQ=90°$
$\therefore BQ⊥ MG$
$\because MG// NH$
$\therefore BQ⊥ NH$
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键。