7. 如图 1,$△ ABC$ 和 $△ ECD$ 都是等腰直角三角形,$CA=CB$,$CE=CD$,$△ ABC$ 的顶点$A$ 在 $△ ECD$ 的斜边 $DE$ 上,连接 $BD$.
(1) 求证:$△ AEC ≌ △ BDC$.
(2) 求证:$AE^2+AD^2=2AC^2$.
(3) 如图 2,过点 $C$ 作 $CO ⊥ AB$ 于点 $O$ 并延长交 $DE$ 于点 $F$,请写出线段 $AE$,$AF$,$DF$ 之间的数量关系,并给出证明.

7. (1) 证明:因为$∠ ECD=∠ ACB=90°$,即$∠ ACE+∠ ACD=∠ BCD+∠ ACD$,所以$∠ ACE=∠ BCD$. 在$△ AEC$ 和$△ BDC$ 中,
$\begin{cases}CA=CB,\\∠ ACE=∠ BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
所以$△ AEC≌△ BDC$.
(2) 证明:因为$△ AEC≌△ BDC$,所以$AE=BD$,$∠ CDB=∠ E=45°$. 又可知$∠ CDE=45°$,所以$∠ ADB=∠ CDE+∠ CDB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,根据勾股定理,得$AD^2+BD^2=AB^2$. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,根据勾股定理,得$CA^2+CB^2=AB^2$. 又因为$CA=CB$,$BD=AE$,所以$AE^2+AD^2=2AC^2$.
(3) 解:$AE^2+DF^2=AF^2$. 证明如下:
连接$BF$. 由(2),得$AE=BD$,$∠ FDB=90°$. 因为$CF⊥ AB$,$CA=CB$,所以$AO=BO$. 所以$CF$垂直平分$AB$,所以$AF=BF$. 在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,根据勾股定理,得$BD^2+DF^2=BF^2$,所以$AE^2+DF^2=AF^2$.

8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$BC=6$,$AC=10$,$D$是边$BC$上的一个动点(不与点$B$,$C$重合),将$△ ADC$沿$AD$翻折,点$C$的对应点是$C'$.若以$B$,$C$,$C'$为顶点的三角形是直角三角形,则$BD$的长度为
.

8. $\dfrac{8}{3}$或$3$ 提示:设$BD=x$,则$CD=6-x$. 由折叠的性质,得$C'D=CD=6-x$,$AC'=AC=10$. 分情况讨论:
①当$∠ C'BC=90°$时,如图1,过点$C'$作$C'E⊥ AC$于点$E$. 因为$∠ C'BC=90°$,$∠ ACB=90°$,所以$BC'// AC$,$C'E// BC$,所以易得$C'E=BC=6$,$CE=BC'$. 在$\mathrm{Rt}△ AEC'$中,$AE=\sqrt{AC'^2-C'E^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,所以$CE=AC-AE=2$,即$BC'=2$. 在$\mathrm{Rt}△ BC'D$中,由勾股定理,得$x^2+2^2=(6-x)^2$,解得$x=\dfrac{8}{3}$.

②当$∠ BC'C=90°$时,如图2所示. 因为$C'D=CD$,所以$∠ C'CD=∠ CC'D$. 因为$∠ BC'C=90°$,$∠ C'CD+∠ CBC'=90°$,$∠ BC'D+∠ CC'D=90°$,所以$∠ CBC'=∠ BC'D$,所以$C'D=BD$. 又因为$C'D=CD$,所以$BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=3$.
综上所述,$BD$的长度为$\dfrac{8}{3}$或$3$.

9. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$ 是平面内一点(不与点 $A,B,C$ 重合)，连接$BD,CD,∠ BDC=90°$，连接 $AD$. 将$△ ADC$沿直线 $AD$ 翻折，得到$△ ADG$，连接 $CG$.
(1) 如图 1，点 $D$ 在$∠ ABC$内部，$BD$ 交$AC$于点 $E$，$F$ 是 $BD$ 上一点，且 $BF=CD$，连接 $AF$.
①求证：$△ ABF≌△ ACD$；
②若$AD=\dfrac{\sqrt{2}}{2},CD=1$，求点 $G$ 到直线 $BC$ 的距离.
(2) 如图 2，点 $D$ 在$∠ BAC$的内部，试探究 $BD,AD,CG$ 之间的数量关系，并说明理由.

9. (1) ①证明:因为$∠ BDC=∠ BAC=90°$,可知$∠ ABF+∠ BAC+∠ AEB=∠ ACD+∠ BDC+∠ CED$,$∠ AEB=∠ CED$,所以$∠ ABF=∠ ACD$. 在$△ ABF$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ ABF=∠ ACD,\\BF=CD,\end{cases}$
所以$△ ABF≌△ ACD(\mathrm{SAS})$.
② 解:因为$△ ABF≌△ ACD$,所以$∠ BAF=∠ CAD$,$AF=AD$,所以$∠ FAD=∠ CAD+∠ FAC=∠ BAF+∠ FAC=90°$,所以$∠ ADF=45°$,所以$FD=\sqrt{AF^2+AD^2}=1$,所以$∠ ADC=∠ ADF+∠ BDC=45°+90°=135°$,所以$BD=BF+FD=CD+FD=2$,所以$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. 由翻折的性质,得$∠ ADG=∠ ADC=135°$,$DG=DC=1$,所以$∠ GDC=360°-∠ ADC-∠ ADG=90°$,所以$CG=\sqrt{DG^2+DC^2}=\sqrt{2}$. 因为$∠ BDC+∠ GDC=180°$,所以点$B,D,G$共线,所以$BG=BD+DG=2+1=3$. 设点$G$到直线$BC$的距离为$h$,则$\dfrac{1}{2}BC· h=\dfrac{1}{2}BG· CD$,解得$h=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$,即点$G$到直线$BC$的距离为$\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
(2) 解:$\dfrac{\sqrt{2}}{2}CG+BD=\sqrt{2}AD$. 理由如下:
如图,过点$A$作$AH⊥ AD$交$DC$的延长线于点$H$,所以$∠ DAH=∠ DAC+∠ CAH=90°$. 因为$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=90°$,所以$∠ BAD=∠ CAH$. 因为$∠ BDC=90°$,所以$∠ ABD+∠ ACD=360°-∠ BDC-∠ BAC=180°$. 因为$∠ ACH+∠ ACD=180°$,所以$∠ ABD=∠ ACH$. 在$△ ABD$ 和$△ ACH$ 中,
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAH,\\AB=AC,\\∠ ABD=∠ ACH,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACH(\mathrm{ASA})$,所以$BD=CH$,$AD=AH$,所以$∠ ADH=45°$,$DH=\sqrt{2}AD$. 由翻折的性质,得$∠ ADG=∠ ADC=45°$,$DG=DC$,所以$∠ CDG=90°$,所以点$G$在$BD$上,所以$CD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CG$. 因为$CD+CH=DH$,所以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}CG+BD=\sqrt{2}AD$.