1. 如图是一个棱长为 4 cm 的正方体盒子(六个面均可通行),一只蚂蚁在 $D_1C_1$ 的中点$M$ 处,它到 $BB_1$ 的中点 $N$ 的最短路线长是（）


A.8 cm
B.$\sqrt{20}$ cm
C.$\sqrt{40}$ cm
D.$\sqrt{32}$ cm

1. D 提示:①如图1,沿 $CC_1$ 展开,在 $\mathrm{Rt}△ MB_1N$ 中,$B_1M=2+4=6(\mathrm{cm})$,$B_1N=2$,$∠ B_1=90°$,所以 $MN=\sqrt{B_1N^2+B_1M^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}(\mathrm{cm})$;②如图2,沿 $B_1C_1$ 展开,在 $\mathrm{Rt}△ MNH$ 中,$NH=B_1C_1=4\ \mathrm{cm}$,$MH=MC_1+C_1H=MC_1+B_1N=2+2=4(\mathrm{cm})$,$∠ NHM=90°$,所以 $MN=\sqrt{MH^2+NH^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}(\mathrm{cm})$. 因为 $\sqrt{32}＜\sqrt{40}$,所以最短路线长是$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, $∠ ACB=90^{ \circ }$, $AC=3$,$BC=4$,$BE$ 平分 $∠ ABC$,$CD ⊥$ $AB$ 于点 $D$,$BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$,则 $CF$ 的长是（）

A.1
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.2

2. B 提示:过点 $E$ 作 $EG⊥ AB$ 于点 $G$. 因为 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,所以 $EG// CD$,所以 $∠ GEB=∠ EFC$. 因为 $∠ ACB=90°$,所以 $EC⊥ BC$. 又因为 $BE$ 平分 $∠ ABC$,$EG⊥ AB$,所以 $EG=EC$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$. 易证 $\mathrm{Rt}△ EBC≌\mathrm{Rt}△ EBG$,所以 $∠ CEB=∠ GEB$,$BG=BC=4$. 所以 $∠ CEB=∠ EFC$,$AG=AB-BG=1$,所以 $CF=EC$. 设 $CF=EG=EC=x$,则 $AE=3-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEG$ 中,由勾股定理,得$(3-x)^2=x^2+1^2$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$. 所以 $CF$ 的长是$\dfrac{4}{3}$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=13,AC=5$,$△ ABC$的周长为 30. 过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$,$E$为边$AB$上的一点,且$CE=$$BE$,过点$E$作$EF ⊥ AB$交$∠ ACB$的角平分线于点$F$.则线段$EF$的长为（）

A.$\dfrac{13}{2}$
B.$\dfrac{15}{2}$
C.$6$
D.$\dfrac{9}{2}$

3. A 提示:因为 $BC=30-AB-AC=12$,所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,所以 $∠ ACB=90°$. 因为 $CD⊥ AB$,所以 $∠ ACD=90°-∠ BCD=∠ B$. 因为 $CE=BE$,所以 $∠ BCE=∠ B$,所以 $∠ ACD=∠ BCE$. 因为 $CF$ 是 $∠ ACB$ 的平分线,所以 $∠ DCF=∠ ECF$. 因为 $CD⊥ AB$,$EF⊥ AB$,所以 $CD// EF$,所以 $∠ DCF=∠ F$. 所以 $∠ F=∠ ECF$,所以 $EF=CE$. 因为 $∠ A+∠ B=90°$,$∠ ACE+∠ B=∠ ACE+∠ BCE=90°$,所以 $∠ A=∠ ACE$,故 $AE=CE=BE$. 所以 $EF=CE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{13}{2}$.

4. 图 1 是一辆卸货车实物图,折线 AB-BC 是支架,BD 为可伸缩的液压支撑杆,测得
$BC=\sqrt{10},CD=\sqrt{2},DE=3,∠ ABC=$
∠ CDE=135°,∠ EFG=90°.图 2 是卸货车不工作时的侧面示意图,此时 AB 与FG 在同一直线上,CD// AB,且 ∠ DEF=135°,则 BF=.

4. $\dfrac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{2}$ 提示:如图,过点 $D$ 作 $DP⊥ AB$ 于点 $P$,过点 $E$ 作 $EM⊥ DP$ 于点 $M$,过点 $C$ 作 $CN⊥ AB$ 于点 $N$. 因为 $∠ EFG=90°$,$∠ DEF=135°$,所以 $∠ DEM=45°$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEM$ 中,$EM=DM=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,故 $FP=EM=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$. 因为 $CN⊥ PN$,$DP⊥ NP$,且 $CD=\sqrt{2}$,所以 $FN=NP+FP=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$. 因为 $∠ ABC=∠ CDE=135°$,所以 $∠ CBN=45°$,又因为 $BC=\sqrt{10}$,所以 $NB=NC=\sqrt{5}$. 因为 $BF=FN-NB$,所以 $BF=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\sqrt{5}$.

5. 如图是一种笔记本电脑支架，它有 $A ∼ F$共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2 cm，已知托架 OK 的长度为 24 cm，M 是支点且 $OM=2MK$. 当支架调至点 A 时，$AM ⊥ OK$，当支架调至 E 档时，托架 OK 绕着点 O 旋转到 $OK'$，此时 $M'E=OE$，则支点 $M'$ 到 OA 的距离为cm.

5. $\sqrt{\dfrac{1280}{9}}$ 提示:由题意可知,$MA=M'E=OE$,$AM⊥ OK$,$AE=8\ \mathrm{cm}$. 因为有 $A∼ F$ 共6个档位调节角度,相邻两个档位距离为2 cm,所以 $AE=8\ \mathrm{cm}$. 因为 $OK=24\ \mathrm{cm}$,$OM=2MK$,所以 $OM=OM'=16\ \mathrm{cm}$. 设 $MA=M'E=OE=x\ \mathrm{cm}$,则 $OA=(x+8)\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OAM$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=MA^2+OM^2$,即 $(x+8)^2=x^2+16^2$,解得 $x=12$,所以 $MA=M'E=OE=12\ \mathrm{cm}$. 过点 $M'$ 作 $M'H⊥ OA$. 设 $OH=y\ \mathrm{cm}$,则 $EH=(12-y)\ \mathrm{cm}$. 由勾股定理,得 $M'H^2=OM'^2-OH^2=M'E^2-EH^2$,即 $16^2-y^2=12^2-(12-y)^2$,解得 $y=\dfrac{32}{3}$,所以 $M'H=\sqrt{OM'^2-OH^2}=\sqrt{\dfrac{1280}{9}}\ \mathrm{cm}$.

6. 如图,小红家购置了一台圆形自动扫地机,放置在屋子角落(书柜、衣柜与地面均无缝隙).在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台扫地机能从角落自由进出,则图中的$x$至少为.

6. 76 提示:由题意,得 $(x-60)^2+(60-30)^2\ge34^2$,解得 $x\le44$ 或 $x\ge76$. 因为 $x＞60$,所以图中的 $x$ 至少为76.