1. 如果三角形满足一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列数据中，能作为一个“智慧三角形”三边长$a , b , c $的一组是（）

A.$a=1,b=2,c=3$
B.$a^{2}:b^{2}:c^{2}=1:1:2$
C.$a=b=c$
D.$a^{2}:b^{2}:c^{2}=1:3:4$

1. D

2. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$AC$的中点,$CE ⊥$$AB$于点$E$,$BD$与$CE$交于点$O$,已知$BE=$$CD=1,∠ ABD=15^{ \circ }$,则$BC$的长是 （）

A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}+1$

2. C 提示:如图,连接 DE. 因为 $CE ⊥ AB$,D 是AC 的中点,所以 $DE=\dfrac{1}{2}AC=CD$. 因为 $BE=CD=1$,所以 $DE=BE=1$,所以 $∠ EDB=∠ ABD=15°$,所以 $∠ AED=∠ EDB+∠ ABD=30°$,所以 $∠ CED=90°-∠ AED=60°$. 因为 $DE=CD=1$,所以$△ CDE$ 是等边三角形,所以 $CE=CD=1$. 因为 $CE ⊥ AB$,所以 $BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

3. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”.将两个“赵爽弦图”

（如图1）中的两个正方形和八个全等直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形$ABCD$，正方形$EFGH$的面积分别为$S_{1},S_{2}(S_{1}＞S_{2})$，给出下列四个判断: ①$S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{四边形}MNPQ}$；②$DG=2AF$；③若$∠ EMH=30°$，则$S_{1}=$$3S_{2}$；④若$A$是线段$GF$的中点，则$3S_{1}=$
$4S_{2}$.其中正确的序号是 （）


A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③

3. D 提示:设“赵爽弦图”中,直角三角形的较短直角边是$a$,较长直角边是$b$,斜边是$c$,则小正方形的边长是$b-a$. 所以正方形$ABCD$的面积$S_1=b^2$,正方形$EFGH$的面积$S_2=a^2$,所以$S_1+S_2=a^2+b^2=c^2$,因为正方形$MNPQ$的边长是$2c$,所以正方形$MNPQ$的面积为$(2c)^2=4c^2$,所以$S_1+S_2=\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{四边形}MNPQ}$,故①正确;因为$AF=b-a$,所以$AG=FG-AF=a-(b-a)=2a-b$,所以$DG=AD-AG=b-(2a-b)=2(b-a)$,所以$DG=2AF$,故②正确;因为$∠ EMH=30°$,$∠ MHE=90°$,所以$MH=\sqrt{3} HE$,所以$b=\sqrt{3}a$,所以$b^2=3a^2$,所以$S_1=3S_2$,故③正确;因为$A$是$FG$的中点,所以$AG=AF$,所以$2a-b=b-a$,所以$2b=3a$,所以$4b^2=9a^2$,所以$4S_1=9S_2$,故④错误.

4. 若一个直角三角形三边的长 $a,b,c$ 都是整数,且满足 $a＜b＜c,a+c=49$,则这个直角三角形的面积为.

4. 210 提示:根据勾股定理,得$a^2+b^2=c^2$,则$(c-a)(c+a)=b^2$,即$49(c-a)=b^2$. 因为$a,b,c$都是整数,所以可设$b=7m$($m$取$1,2,3···$). 当$m=3$时,$a=20,b=21,c=29$;当$m=5$时,$a=12,b=35,c=37$. 故直角三角形的面积为210.

5. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的,$△ ABC$ 和$△ CDE$ 的顶点都是网格线的交点,则$∠ BAC+∠ CDE=$.

5. $45°$ 提示:连接$AD$,设小正方形的边长均为1. 根据勾股定理,得$AD^2=1^2+3^2=10$,$CD^2=1^2+3^2=10$,$AC^2=2^2+4^2=20$,所以$AD=CD$,$AD^2+CD^2=AC^2$. 所以$△ ACD$是等腰直角三角形,且$∠ ADC=90°$,$∠ DAC=∠ ACD=45°$. 因为$AB// DE$,所以$∠ BAD+∠ ADE=180°$,所以$∠ BAC+∠ CDE=180°-(∠ ADC+∠ DAC)=45°$.

6. 若 $a,b,c$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的三边长($c$ 为斜边),且$∠ C=90°$,$h$ 是斜边上的高,现有下列说法: ①$a^2,b^2,c^2$ 能组成三角形; ②$c+h,a+b,h$ 能组成直角三角形; ③$\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{h}$能组成直角三角形. 其中正确的是(填序号).

6. ②③ 提示:因为$a^2+b^2=c^2$,不符合三角形的两边之和大于第三边,所以$a^2,b^2,c^2$不能组成三角形,所以①错误;因为$(c+h)^2-h^2=c^2+2ch$,$ch=ab$,所以$c^2+2ch=c^2+2ab$,因为$a^2+b^2=c^2$,所以$c^2+2ch=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$,所以$(c+h)^2-h^2=(a+b)^2$,即$h^2+(a+b)^2=(c+h)^2$,所以$c+h,a+b,h$能组成直角三角形,所以②正确;因为$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{c^2}{c^2h^2}=\dfrac{1}{h^2}$,所以③正确.