1. 如图,$△ ABC$是边长为4的等边三角形,点$P$在$AB$上,过点$P$作$PE ⊥ AC$,垂足为$E$,延长$BC$至点$Q$,使$CQ=PA$,连接$PQ$交$AC$于点$D$,则$DE$的长为 （）

A.1
B.1.8
C.2
D.2.5

提示:如图,过点$P$作$BC$的平行线交$AC$于点$F$,所以$∠ Q=∠ FPD$. 因为$△ ABC$是等边三角形,可知$∠ APF=∠ B=60°,∠ AFP=∠ ACB=60°$,所以$△ APF$是等边三角形,所以$AP=PF$. 因为$CQ=PA$,所以$PF=CQ$. 在$△ PFD$ 和 $△ QCD$ 中,
$\begin{cases}∠ FPD=∠ Q,\\∠ PDF=∠ QDC,\\PF=QC,\end{cases}$
所以$△ PFD≌△ QCD$(AAS),所以$FD=CD$. 因为$PE⊥ AC$于点$E$,$△ APF$是等边三角形,所以$AE=EF$,所以$AE+DC=EF+FD=ED$,所以$DE=\dfrac{1}{2}AC$. 因为$AC=4$,所以$DE=2$.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$∠ B=30^{ \circ }$,以点$A$为圆心,适当长为半径画弧分别交$AB$,$AC$于点$M$和点$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,连接$AP$并延长交$BC$于点$D$.若$△ ACD$的面积为$8$,则$△ ABD$的面积是（）

A.$8$
B.$16$
C.$12$
D.$24$

提示:因为$∠ C=90°,∠ B=30°$,所以$∠ CAB=60°$. 由作图,知$AD$平分$∠ BAC$,所以$∠ CAD=∠ DAB=30°$,所以$CD=\dfrac{1}{2}AD$,$∠ B=∠ BAD$,所以$AD=BD$,所以$CD=\dfrac{1}{2}BD$,所以$\dfrac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CD· AC}{\dfrac{1}{2}BD· AC}=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{1}{2}$. 又因为$△ ACD$的面积为8,所以$△ ABD$的面积是$8×2=16$.

3. 如图，$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$CP$ 平分$∠ ACB$，$BP$ 平分$∠ ABC$，$∠ ABP=15°$，过点 $P$ 作 $MN// BC$，分别交 $AC,AB$ 于点 $M$，$N$. 若 $AB=12$，则$△ AMN$ 的周长是（）

A.12
B.14
C.16
D.18

提示:因为$BP$平分$∠ ABC$,$∠ ABP=15°$,所以$∠ PBC=∠ ABP=15°$,$∠ ABC=2×15°=30°$. 因为$MN// BC$,所以$∠ NPB=∠ PBC=15°$,所以$∠ NPB=∠ ABP$,所以$PN=BN$. 因为$CP$平分$∠ ACB$,$∠ ACB=90°$,所以$∠ MCP=∠ PCB=45°$. 因为$MN// BC$,所以$∠ MPC=∠ PCB=45°$,所以$∠ MPC=∠ MCP$,所以$PM=CM$. 易得$AC=\dfrac{1}{2}AB=6$,所以$△ AMN$的周长为$AM+MN+AN=AM+(PM+PN)+AN=AM+CM+BN+AN=AC+AB=6+12=18$.

4. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ ABC=$$∠ A D C=90°, ∠ B C D=135°, M, N$ 分别是对角线 $A C, B D$ 的中点, $B D=12$, 则$M N=$.

提示:如图,连接$BM$,$DM$. 因为$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$∠ BCD=135°$,所以$∠ BAD=360°-90°-90°-135°=45°$. 因为$M$是$AC$的中点,所以$BM=\dfrac{1}{2}AC=AM$,所以$∠ MAB=∠ MBA$,所以$∠ BMC=∠ MAB+∠ MBA=2∠ MAB$,同理可得$DM=\dfrac{1}{2}AC=AM$,$∠ DMC=2∠ MAD$,所以$BM=DM$,$∠ BMD=2∠ BAD=90°$. 因为$N$是$BD$的中点,所以$MN=\dfrac{1}{2}BD=6$.

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以$△ ABC$的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在$△ ABC$的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为.

提示:如图,可以画出7个等腰三角形.

6. 若$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰三角形，且$AB = AC = AD = AE$，当$∠ ABC$和$∠ ADE$互余时，称$△ ABC$与$△ ADE$互为“底余等腰三角形”，$△ ABC$的边$BC$上的高$AH$叫作$△ ADE$的“余高”. 如图，$△ ABC$与$△ ADE$互为“底余等腰三角形”. 当$∠ BAC = 90°$时，若$△ ADE$的“余高”$AH = 3$，则$DE =$.

提示:因为$∠ BAC=90°$,$AB=AC=AD=AE$,所以$∠ B=∠ C=45°$. 因为$∠ B+∠ D=90°$,所以$∠ D=45°$,所以$∠ D=∠ E=∠ B=∠ C=45°$. 在$△ ADE$ 和 $△ ABC$ 中,$\begin{cases}∠ E=∠ C,\\∠ D=∠ B,\\AD=AB,\end{cases}$所以$△ ADE≌△ ABC$(AAS),所以$DE=BC$. 因为$AB=AC$,$AH⊥ BC$,所以$BH=CH$,所以$AH=BH=CH=\dfrac{1}{2}BC=3$,所以$DE=BC=6$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$AD=BC$,$P$为直线$BC$上方的一个动点,$△ PBC$的面积等于$△ ABC$面积的$\dfrac{1}{2}$,则当$PB+PC$的值最小时,$∠ PBC$的度数为.

提示:因为$S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$,所以点$P$在与$BC$平行且到$BC$的距离为$\dfrac{1}{2}AD$的直线$l$上运动. 如图,作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$,连接$B'C$交$l$于点$P$,则$B'B⊥ l$,$B'B⊥ BC$,$PB=PB'$,此时$PB+PC$的值最小. 过点$P$作$PM⊥ BC$于点$M$,则$B'B=2PM=AD$. 因为$AD=BC$,所以$B'B=BC$,所以$△ BB'C$是等腰直角三角形,所以$∠ B'=45°$,所以$∠ PBB'=∠ B'=45°$,所以$∠ PBC=90°-∠ PBB'=45°$.

8. 如图,$△ ABC$为等边三角形,在边$AC$,$BC$上各取一点,分别为$P,Q$,使$AP=CQ$,连接$AQ,BP$相交于点$O$.
(1)求$∠ BOQ$的度数.
(2)连接$OC$,若$OC⊥ BP$,$OB=2$,求$OA$的值.

解:(1) 因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ BAP=∠ ACQ=∠ ABQ=60°$,$AB=AC=BC$. 在$△ ABP$ 和 $△ CAQ$ 中,$\begin{cases}AB=CA,\\∠ BAP=∠ ACQ,\\AP=CQ,\end{cases}$所以$△ ABP≌△ CAQ$ (SAS),所以$∠ ABP=∠ CAQ$. 因为$∠ BAQ+∠ CAQ=60°$,所以$∠ BAQ+∠ ABP=60°$,所以$∠ BOQ=∠ BAQ+∠ ABP=60°$.
(2) 如图,延长$OP$到点$D$,使$OD=AO$,连接$AD$,$CD$. 因为$∠ AOP=∠ BOQ=60°$,所以$△ AOD$是等边三角形,所以$AD=AO$,$∠ OAD=60°$,所以$∠ BAC=∠ OAD=60°$. 因为$∠ BAO+∠ CAQ=∠ CAD+∠ CAQ=60°$,所以$∠ BAO=∠ CAD$. 因为$AB=AC$,所以$△ ABO≌△ ACD$(SAS),所以$CD=OB=2$,$∠ ADC=∠ AOB$. 因为$∠ AOB=180°-∠ BOQ=120°$,所以$∠ ADC=120°$,所以$∠ CDO=∠ ADC-∠ ADO=60°$. 因为$OC⊥ BP$,所以$∠ COD=90°$,所以$∠ DCO=90°-∠ CDO=30°$,所以$OD=\dfrac{1}{2}CD=1$,所以$OA=OD=1$.