1. 给出下列四个说法：①任何图形都有对称轴；②等腰三角形属于轴对称图形；③若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$m$对称，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$全等；④角的对称轴是角的平分线.其中正确的个数是().

A.1
B.2
C.3
D.4

1. B

2. (2024·南通期中) 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,$DE ⊥ BC$于点$E$,若$△ ABC$与$△ CDE$的周长分别为13和3,则$AB$的长为().

A.10
B.16
C.8
D.5

2. D [解析]$\because ∠ BAC = 90°$,BD 平分$∠ ABC,DE ⊥ BC$,
$\therefore AD=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ EBD$ 中, $\begin{cases} BD=BD, \\ AD=ED, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ EBD(\mathrm{HL}),\therefore AB=BE$.
$\because △ ABC$ 与$△ CDE$ 的周长分别为 13 和 3,
$\therefore AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3$,
$\therefore AB+BE=10,\therefore AB=BE=5$.
故选 D.

3. (2025·苏州常熟实验中学月考)如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$S_{△ ABC}=18$,$DE = 3$,$AB = 7$,则$AC$长是().

A.5
B.6
C.4
D.7

3. A [解析]如图,过点 D 作 $DF⊥ AC$ 于点 F，
$\because AD$ 平分$∠ BAC,DE⊥ AB$ 于点 E,
$\therefore DE=DF=3$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$,
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ABC}-S_{△ ABD}=18-\frac{21}{2}=\frac{15}{2}$.
$\because S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF,\therefore AC=5$.
故选 A.

4. (2025·常州武进区期中) 如图，$AC$ 平分 $∠ BAD$，$CD⊥ AD$ 于点 $D$，$CE⊥ AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在 $AD$ 上，点 $E$ 在 $AB$ 上，且 $CF=CB$.
(1)求证:$BE=DF$；
(2)若 $CE=6$，$AD=8$，求四边形 $ABCF$ 的面积.

4. (1)$\because AC$ 平分$∠ BAD,CE⊥ AB,CD⊥ AD$,
$\therefore CD=CE$.
$\because ∠ D=∠ CEB=∠ CEA=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中, $\begin{cases} CF=CB, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}),\therefore BE=DF$.
(2)$\because \mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ CEB$,
$\therefore S_{△ CDF}=S_{△ CEB}$,$\therefore$ 四边形 $ABCF$ 的面积 $=$ 四边形 $AECD$ 的面积,在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} AC=AC, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}),\therefore S_{△ AEC}=S_{△ ADC}$.
$\because S_{ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=24$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCF}=2S_{△ ADC}=48$.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

5. 如图，$△ AOB$ 的外角$∠ CAB$，$∠ DBA$ 的平分线$AP,BP$ 相交于点 $P$，$PE ⊥ OC$ 于点 $E$，$PF ⊥ OD$于点 $F$。下列结论：① $PE = PF$；② 点 $P$ 在$∠ COD$ 的平分线上；③ $∠ APB = 90° - ∠ O$。其中正确的有（）。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

5. C [解析]①如图,过点 P 作 $PH⊥ AB$ 于点 H.
$\because AP$ 是$∠ CAB$ 的平分线,且 $PH⊥ AB,PE⊥ AC$,
$\therefore PE=PH$.
$\because BP$ 平分$∠ ABD$,且 $PH⊥ BA,PF⊥ BD$,
$\therefore PF=PH,\therefore PE=PF,\therefore$①正确；
②由①可知 $PE=PF$,
又 $PE⊥ OC$ 于点 E,$PF⊥ OD$ 于点 F,
$\therefore$ 点 P 在$∠ COD$ 的平分线上,$\therefore$②正确；
③$\because ∠ O+∠ OEP+∠ EPF+∠ OFP=360°$,
又$∠ OEP+∠ OFP=90°+90°=180°$,
$\therefore ∠ O+∠ EPF=180°$,即$∠ O+∠ EPA+∠ HPA+∠ HPB+∠ FPB=180°$.
$\because PE=PH,PA=PA,PE⊥ AC,PH⊥ AB$,
$\therefore △ PEA≌△ PHA(\mathrm{HL}),\therefore ∠ EPA=∠ HPA$.
同理,$∠ FPB=∠ HPB$,
$\therefore ∠ O+2(∠ HPA+∠ HPB)=180°$,
即$∠ O+2∠ APB=180°,\therefore ∠ APB=90°-\frac{1}{2}∠ O$.
$\therefore$③错误. 故选 C.

6. 教材 P38 例2·变式 如图,O 是$△ ABC$的三条角平分线的交点,连接 OA,OB,OC,若$△ OAB$,$△ OBC$,$△ OAC$的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,则下列关系正确的是().

A.$S_{1}＞S_{2}+S_{3}$
B.$S_{1}=S_{2}+S_{3}$
C.$S_{1}＜S_{2}+S_{3}$
D.无法确定

6. C [解析]如图,过点 O 作 $OD⊥ AB$ 于点 D,$OE⊥ BC$ 于点 E,$OF⊥ AC$ 于点 F.
$\because O$ 是$△ ABC$ 的三条角平分线的交点,
$\therefore OD=OE=OF$.
$\because S_1=\frac{1}{2}AB· OD,S_2+S_3=\frac{1}{2}BC· OE+\frac{1}{2}AC· OF=\frac{1}{2}OD·(BC+AC)$,又 $AB＜BC+AC$,
$\therefore S_1＜S_2+S_3$. 故选 C.
归纳总结 本题考查了角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的面积公式等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用面积法构建方程解决问题,属于中考常考题型.

7. (2024·盐城大丰区期中) 如图,点 $P$ 是 $∠ ACB$ 的平分线 $CD$ 上一点, $PE ⊥ BC$ 于点 $E$,点 $F$ 为射线 $CA$ 上一点. 若 $PE=6$, 则 $PF$ 长的最小值是().

A.4
B.5.5
C.6
D.8

7. C [解析]$\because$ 点 $P$ 是$∠ ACB$ 的平分线 $CD$ 上一点,$PE⊥ BC$ 于点 E,$PE=6$,
当 $PF⊥ AC$ 时,$PF$ 最短 $=PE=6$.
→垂线段最短
故选 C.
归纳总结 本题考查的是角平分线的性质,熟知角的平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键.

8. (2025·苏州常熟昆承中学月考)如图，$BD$ 平分$∠ ABC$，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$DF ⊥ BC$ 于点 $F$，$AB=6$，$BC=8$，若$S_{△ ABC}=21$，则 $DE=$.

8. 3 [解析]$\because BD$ 平分$∠ ABC,DE⊥ AB,DF⊥ BC$,
$\therefore DE=DF$.$\because AB=6,BC=8$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}BC· DF=\frac{1}{2}×6DE+\frac{1}{2}×8DE=21$,即$3DE+4DE=21$,
解得 $DE=3$.

9. 教材P37问题2·变式（2025·南京联合体期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知: 如图, 点 $P$ 在 $∠ AOB$ 内，，，.
求证: .
证明:

9. 已知:如图,点 $P$ 在$∠ AOB$ 内,$PC⊥ OA$ 于点 $C$,$PD⊥ OB$ 于点 $D$,$PC=PD$.
求证:点 $P$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.
证明:如图,连接 $OP$,
$\because PC⊥ OA,PD⊥ OB$,
$\therefore ∠ OCP=∠ ODP=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ POC$ 和 $\mathrm{Rt}△ POD$ 中,
$\begin{cases} PC=PD, \\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ POC≌\mathrm{Rt}△ POD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ COP=∠ DOP,\therefore$ 点 $P$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.

归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直的定义,熟练掌握全等三角形的判定和性质,理解平分线的定义、垂直的定义是解决问题的关键.