10. (2025·河南许昌禹州期中)在$△ ABC$中,$D$是边$BC$上的点(不与点$B$,$C$重合),连接$AD$.
(1)如图(1),当点$D$是边$BC$的中点时,$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$;
(2)如图(2),当$AD$平分$∠ BAC$时,若$AB=m$,$AC=n$,求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值(用含$m$,$n$的式子表示);
(3)如图(3),$AD$平分$∠ BAC$,延长$AD$到点$E$使得$AD=DE$,连接$BE$,若$AC=3$,$AB=5$,$S_{△ BDE}=10$,求$S_{△ ABC}$的值.

10. (1)$1:1$ [解析]如图(1),过点 A 作 $AE⊥ BC$ 于点 E.
$\because$ 点 $D$ 是边 $BC$ 上的中点,$\therefore BD=DC$,
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}BD· AE):(\frac{1}{2}CD· AE)=1:1$.

(2)如图(2),过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,$DF⊥ AC$ 于点 F.
$\because AD$ 为$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore DE=DF$.
$\because AB=m,AC=n,\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}AB· DE):(\frac{1}{2}AC· DF)=m:n$.
(3)$\because AD=DE,\therefore$ 由(1)知,$S_{△ ABD}:S_{△ EBD}=1:1$.
$\because S_{△ BDE}=10,\therefore S_{△ ABD}=10$.
$\because AC=3,AB=5,AD$ 平分$∠ CAB$,
$\therefore$ 由(2)知,$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=5:3$,
$\therefore S_{△ ACD}=6,\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=10+6=16$.

11. 在四边形 $ABCD$ 中,$CE$ 平分$∠ BCD$ 交 $AD$ 于点$E$,点$F$在线段$CE$上运动.
(1) 如图(1),已知$∠ A=∠ D=90°$.
①若 $BF$ 平分$∠ ABC$,则$∠ BFC=$;
②若$∠ BFC=90°$,试说明$∠ DEC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$.
(2) 如图(2),已知$∠ A=∠ D=∠ BFC$,试说明 $BF$ 平分$∠ ABC$.

精题详解

11. (1)①$90°$
②$\because ∠ BFC=90°,\therefore ∠ CBF+∠ BCF=90°$.
$\because ∠ D=90°,\therefore ∠ DCE+∠ DEC=90°$.
$\because CE$ 平分$∠ BCD,\therefore ∠ DCE=∠ BCF$,
$\therefore ∠ CBF=∠ DEC$.
$\because ∠ A=∠ D=90°,\therefore ∠ A+∠ D=180°$,
$\therefore AB// CD,\therefore ∠ ABC+∠ BCD=180°$.
又$∠ CBF+∠ BCF=90°$,
$\therefore 2∠ CBF+2∠ BCF=180°$,
$\therefore 2∠ CBF+∠ BCD=180°$,
$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC,\therefore ∠ DEC=\frac{1}{2}∠ ABC$.
(2)如图,延长 $BF$ 交 $AD$ 于点 M.

$\because ∠ BFC=∠ D,∠ BFC+∠ CFM=180°$,
$\therefore ∠ CFM+∠ D=180°$,
$\therefore ∠ FMD+∠ DCF=180°$.
$\because ∠ FMD+∠ EMF=180°,\therefore ∠ DCF=∠ EMF$.
$\because CE$ 平分$∠ BCD$,
$\therefore ∠ DCF=∠ BCF,\therefore ∠ BCF=∠ EMF$.
$\because ∠ EFM=∠ BFC,\therefore ∠ FEM=∠ CBF$.
$\because ∠ CFB=∠ EFM=∠ A,∠ EFM+∠ EMF+∠ FEM=180°,∠ A+∠ AMB+∠ ABF=180°$,
$\therefore ∠ FEM=∠ ABF$,
$\therefore ∠ ABF=∠ CBF,\therefore BF$ 平分$∠ ABC$.

12. (2024·绵阳中考) 如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AC$,垂足为$E$,$△ ABD$的面积为$5$,则$DE$的长为().


A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$5$

12. B [解析]如图,过点 D 作 $DF⊥ AB$ 于点 F，
$\because AD$ 平分$∠ BAC,DE⊥ AC,DF⊥ AB$,
$\therefore DE=DF$.
$\because △ ABD$ 的面积为 5,$\therefore \frac{1}{2}AB· DF=5$.
$\because AB=5,\therefore DF=2,\therefore DE=2$. 故选 B.