1.（2025·苏州第一初级中学月考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，若$BC=15$，$BD=10$，则点$D$到$AB$的距离是（）.

A.15
B.10
C.8
D.5

如图，过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E，
$\because BC=15,BD=10,\therefore CD=BC-BD=5.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,DC⊥ AC,DE⊥ AB,$
$\therefore DE=DC=5,$
$\therefore$ 点 D 到 AB 的距离为 5. 故选 D.

2. (2025·宿迁泗阳期中) 如图，$BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为 $E$. 若 $△ ABC$ 的面积为 $70$，$AB=16$，$BC=12$，则 $DE$ 的长为().

A.4
B.5
C.10
D.28

如图,过点 D 作 $DF⊥ BC$ 于 F,
$\because BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, $DE⊥ AB$,
$\therefore DE=DF,S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16DE+\frac{1}{2}×12DF=70,$
$\therefore 14DE=70,$ 解得 $DE=5.$ 故选 B.

3. 教材P38练习T1·变式（2024·扬州仪征期中）在$9×7$的网格中，$∠ AOB$的位置如图所示，则到$∠ AOB$两边距离相等的点是。

$∠ AOB$平分线上的点到$∠ AOB$两边的距离相等.故满足条件的点是 M.

4. (2025·苏州草桥中学期中)如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$边上,连接$AD$,有$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF⊥ AB$交$BA$的延长线于点$F$,且$∠ AEF=50°$,连接$DE$.求证:$DE$平分$∠ ADC$.

如图,过点 E 作 $EG⊥ AD$ 于点 G,$EH⊥ BC$ 于点 H,
$\because EF⊥ AB,∠ AEF=50°,\therefore ∠ FAE=90°-50°=40°.$
$\because ∠ BAD=100°,$
$\therefore ∠ CAD=180°-100°-40°=40°,$
$\therefore ∠ FAE=∠ CAD=40°,$即 AC 为$∠ DAF$的平分线.
又 $EF⊥ AB,EG⊥ AD,$
$\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 是$∠ ABC$的平分线,
$\therefore EF=EH,$
$\therefore EG=EH,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ ADC$的平分线上,
$\therefore DE$ 平分$∠ ADC.$

5. (2025·山西晋中榆次区期中) 如图，在$△ ABC$中，$BO,CO$分别平分$∠ ABC,∠ ACB,OD ⊥ BC$于点$D$. 若$OD=3$，$△ ABC$的面积是$50$，则$△ ABC$的周长为().

A.$\dfrac{50}{3}$
B.$25$
C.$\dfrac{100}{3}$
D.$50$

无对应额外解析，答案为C.

6. 教材P38例2·变式 如图，$O$是$△ ABC$内一点，且$O$到$△ ABC$三边$AB$，$BC$，$CA$的距离$OE=OD=OF$，若$∠ BAC=70°$，则$∠ BOC=$.

答案为$125°$。

7. (2024·盐城盐都区实验学校期中) 如图，OC 平分$∠ AOB$，点 D，E 分别在 OA，OB 上，点 P 在OC 上且有$PD=PE$. 求证：$∠ PDO=∠ PEB$.

如图,过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F,$PH⊥ OB$ 于点 H.
$\because OC$ 平分$∠ AOB,\therefore PF=PH.$
在 $\mathrm{Rt}△ PDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ PEH$ 中,$\begin{cases} PD=PE,\\ PF=PH, \end{cases}$
$\therefore △ PDF≌△ PEH(\mathrm{HL}),\therefore ∠ PDO=∠ PEB.$

8. (2025·扬州广陵区期中) 如图, 在 $△ A B C$ 中, 点 $D$ 在 $B C$ 边上, $∠ B A D=110°, ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$, 垂足为 $F$,且 $∠ A E F=55°$, 连接 $D E$.

(1) 求 $∠ C A D$ 的度数;
(2) 求证: $D E$ 平分 $∠ A D C$;
(3) 若 $A B=8, A D=4, C D=8$, 且 $S_{△ A C D}=$15 , 求 $△ A B E$ 的面积.

(1)$\because EF⊥ AB,\therefore ∠ F=90°.$
$\because ∠ AEF=55°,$
$\therefore ∠ BAE=∠ F+∠ AEF=90°+55°=145°.$
$\because ∠ BAE=∠ BAD+∠ CAD,∠ BAD=110°,$
$\therefore ∠ CAD=∠ BAE-∠ BAD=145°-110°=35°.$
(2)如图,过点 E 作 $EG⊥ AD$ 交 AD 于点 G,$EH⊥ BC$ 交 BC 于点 H,
$\because ∠ F=90°,∠ AEF=55°,$
$\therefore ∠ EAF=90°-55°=35°.$
由(1)可知,$∠ EAF=∠ CAD=35°,$
$\therefore AE$ 平分$∠ FAD.$
$\because EF⊥ AF,EG⊥ AD,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ ABC,EF⊥ BF,EH⊥ BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥ AD,EH⊥ BC,\therefore DE$ 平分$∠ ADC.$
(3)$\because S_{△ ACD}=15,\therefore S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=15,$
$\therefore \frac{1}{2}AD· EG+\frac{1}{2}CD· EH=15.$
$\because AD=4,CD=8,EG=EH,$
$\therefore \frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15,$
$\therefore EH=\frac{15}{6}=\frac{5}{2},\therefore EF=\frac{5}{2}.$
$\because AB=8,\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10.$
思路引导 (1)根据垂直得到$∠ AFE=90°$,利用三角形外角的性质得到$∠ BAE=145°$,再根据$∠ BAE=∠ BAD+∠ CAD$,即可求出$∠ CAD$的度数;
(2)过点 E 作$EG⊥ AD$,$EH⊥ BC$,根据角平分线的性质得到$EF=EG$,$EF=EH$,进而得到$EG=EH$,再根据角平分线的判定定理即可证明结论;
(3)根据三角形的面积公式求出$EH=\frac{5}{2}$,再根据三角形的面积公式计算,即可求出$△ ABE$的面积.