9. (2024·苏州蠡口中学月考)如图,在$△ ABC$中,$AD$为$BC$边上的高,$AE$是$∠ BAD$的平分线,点$F$为$AE$上一点,连接$BF$,$∠ BFE=45^{ \circ }$.
(1)求证:$BF$平分$∠ ABE$;
(2)连接$CF$交$AD$于点$G$,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:$∠ AFC=90^{ \circ }$;
(3)在(2)的条件下,当$BE=3$,$AG=4.5$时,求线段$AB$的长.

(1)$\because AE$ 是$∠ BAD$的平分线,$\therefore ∠ BAD=2∠ BAF.$
$\because ∠ BFE=45°,\therefore ∠ FBA+∠ BAF=45°,$
$\therefore 2∠ FBA+2∠ BAF=90°.$
$\because AD$ 为 BC 边上的高,
$\therefore ∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°,$
$\therefore 2∠ FBA=∠ EBF+∠ FBA,$
$\therefore ∠ EBF=∠ FBA,\therefore BF$ 平分$∠ ABE.$
(2)如图,过点 F 作 $FM⊥ BC$ 于点 M,$FN⊥ AB$ 于点 N.
$\because BF$ 平分$∠ ABE,FM⊥ BC,FN⊥ AB,$
$\therefore FM=FN.$
$\because S_{△ ABF}=S_{△ CBF},$即 $AB· FN=BC· FM,$
$\therefore AB=BC.$
在$△ ABF$ 和$△ CBF$ 中,$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ FBA=∠ FBC,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFB=∠ CFB.$
$\because ∠ BFE=45°,\therefore ∠ AFB=180°-45°=135°,$
$\therefore ∠ CFB=135°,$
$\therefore ∠ CFE=∠ CFB-∠ BFE=135°-45°=90°,$
$\therefore ∠ AFC=180°-90°=90°.$
(3)$\because △ ABF≌△ CBF,\therefore AF=FC.$
$\because ∠ AFC=∠ ADC=90°,∠ AGF=∠ CGD,$
$\therefore ∠ FAG=∠ FCE.$
在$△ AFG$ 和$△ CFE$ 中,$\begin{cases} ∠ FAG=∠ FCE,\\ AF=CF,\\ ∠ AFG=∠ CFE, \end{cases}$
$\therefore △ AFG≌△ CFE(\mathrm{ASA}),\therefore AG=EC=4.5.$
$\because BE=3,\therefore BC=BE+EC=7.5,$
又$△ ABF≌△ CBF,\therefore AB=BC=7.5.$
思路引导 (1)先利用 AE 是$∠ BAD$的平分线,得到$∠ BAD=2∠ BAF$,再利用三角形外角性质,得到$∠ FBA+∠ BAF=45°$,则$2∠ FBA+2∠ BAF=90°$,接着利用$∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°$,得到$2∠ FBA=∠ EBF+∠ FBA$,所以$∠ EBF=∠ FBA$;
(2)过点 F 作$FM⊥ BC$于点 M,$FN⊥ AB$于点 N,先根据角平分线的性质,得到$FM=FN$,则根据三角形面积公式,得到$AB=BC$,接着证明$△ ABF≌△ CBF$,得到$∠ AFB=∠ CFB$,然后利用$∠ AFB=∠ CFB=135°$,得到$∠ CFE=90°$,从而得到$∠ AFC=90°$;
(3)先由$△ ABF≌△ CBF$得到$AF=FC$,再利用等角的余角相等,得到$∠ FAG=∠ FCE$,接着证明$△ AFG≌△ CFE$,得到$AG=EC=4.5$,所以$BC=BE+EC=7.5$,然后利用$△ ABF≌△ CBF$得到$AB=BC$.

10. 中考新考法 动点问题 如图(1),直线$m$与直线$n$相交于点$O$,$A$,$B$两点同时从点$O$出发,点$A$以每秒$x$个单位长度沿直线$n$向左运动,点$B$以每秒$y$个单位长度沿直线$m$向上运动.
(1)若运动$1\ \mathrm{s}$时,点$B$比点$A$多运动$1$个单位;运动$2\ \mathrm{s}$时,点$B$与点$A$运动的路程和为$6$个单位,则$x=$,$y=$.
(2)如图(2),当直线$m$与直线$n$垂直时,设$∠ BAO$和$∠ ABO$的平分线相交于点$P$.在点$A$,$B$运动的过程中,$∠ APB$的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值(写出过程);若发生变化,请说明理由.
(3)如图(3),将(2)中的直线$n$不动,直线$m$绕点$O$按顺时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$,其他条件不变.
(i)用含有$α$的式子表示$∠ APB$的度数;
(ii)如果再分别作$△ ABO$的两个外角$∠ BAC$,$∠ ABD$的平分线相交于点$Q$,并延长$BP$,$QA$交于点$M$.则下列结论为定值的选项是(填序号).
①$∠ Q+∠ M$;②$∠ M-∠ Q$;③$∠ APB+∠ Q$;④$∠ APB-∠ M$.

精题详解

(1)由题意,得$\begin{cases} y-x=1,\\ 2y+2x=6, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1,\\ y=2. \end{cases}$
(2)不变化,$∠ APB=135°$. 如图(1),
$\because$ 直线 $m⊥$ 直线 $n$,
$\therefore ∠ AOB=90°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=90°.$
$\because AP$ 平分$∠ BAO,BP$ 平分$∠ ABO,$
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ OAB+∠ ABO)=\frac{1}{2}×90°=45°,\therefore ∠ APB=180°-45°=135°.$
(3)(i)$∠ APB=135°+\frac{1}{2}α.$ 理由如下:
根据题意,得$∠ AOB=90°+α,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=180°-∠ AOB=90°-α.$
$\because AP$ 平分$∠ BAO,BP$ 平分$∠ ABO,$
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ OAB+∠ OBA)=45°-\frac{1}{2}α,$
$\therefore ∠ APB=180°-(45°-\frac{1}{2}α)=135°+\frac{1}{2}α.$
(ii)①③④ 解析 ①$\because BQ$ 平分$∠ ABD,BM$ 平分$∠ ABO,$
$\therefore ∠ MBQ=\frac{1}{2}(∠ ABD+∠ ABO)=90°,$
$\therefore ∠ Q+∠ M=90°$,故①为定值;
②$\because AQ$ 平分$∠ CAB,BQ$ 平分$∠ ABD,$
$\therefore ∠ Q=180°-(∠ QAB+∠ QBA)$
$=180°-[\frac{1}{2}(180°-∠ OAB)+\frac{1}{2}(180°-∠ OBA)]$
$=\frac{1}{2}(∠ OAB+∠ OBA)=\frac{1}{2}[180°-(90°+α)]$
$=45°-\frac{1}{2}α,\therefore ∠ M=90°-∠ Q=45°+\frac{1}{2}α,$
$\therefore ∠ M-∠ Q=α$,故②不是定值;
③$\because ∠ APB=135°+\frac{1}{2}α,∠ Q=45°-\frac{1}{2}α,$
$\therefore ∠ APB+∠ Q=135°+\frac{1}{2}α+45°-\frac{1}{2}α=180°,$
故③为定值;
④$\because ∠ APB=135°+\frac{1}{2}α,∠ M=45°+\frac{1}{2}α,$
$\therefore ∠ APB-∠ M=135°+\frac{1}{2}α-45°-\frac{1}{2}α=90°,$
故④为定值.故答案为①③④.
思路引导 本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于压轴题.