9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=14\ \mathrm{cm}$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$,且$△ DBC$的周长是$24\ \mathrm{cm}$,则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

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10. (2024·淮安清江浦区期中) 如图, 过 $△ ABC$ 的边$BC$ 的垂直平分线 $DG$ 上的点 $D$ 作 $△ ABC$ 另外两边 $AB,AC$ 所在直线的垂线, 垂足分别为 $E,F$, 且 $BE=CF$. 求证:
(1) $DF=DE$;
(2) $∠ ACD + ∠ ABD = 180°$.

(1)
∵D 在 BC 的垂直平分线上,
∴CD=BD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,∠DEB=90°,
∴△CDF 和△BDE 为直角三角形.
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中,$\begin{cases} CD=BD, \\ CF=BE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),
∴DF=DE.
(2)
∵Rt△CDF≌Rt△BDE,
∴∠FCD=∠EBD.
∵∠FCD+∠ACD=180°,
∴∠ACD+∠ABD=180°.

11. (2025·苏州高新一中月考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC＞90°$,$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$,$BC$ 于点 $E$,$F$,$AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$,$BC$ 于点 $M$,$N$,直线 $EF$,$MN$ 相交于点 $P$.
(1)求证:点 $P$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上;
(2)已知 $∠ FAN=56°$,求 $∠ FPN$ 的度数.

(1)如图,连接 BP,AP,PC,

∵PE 垂直平分 AB,PM 垂直平分 AC,
∴PA=PB,PA=PC,
∴PB=PC,
∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
(2)
∵PE⊥AB,PM⊥AC,
∴FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°,
∴∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90°.
设∠B=x,∠C=y,
∴∠B=∠BAF=x,∠C=∠CAN=y,∠BFE=90°−x,∠MNC=90°−y,
∴∠PFN=∠BFE=90°−x,∠PNF=∠MNC=90°−y.
∵∠B+∠C+∠CAB=180°,∠FAN=56°,
∴2x+2y+56°=180°,2(x+y)=124°,x+y=62°.
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°,
∴90°−x+90°−y+∠FPN=180°,
∴∠FPN=180°−180°+(x+y)=62°.

12. 将军饮马模型 新情境 修建水泵站选址 如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村 A 和李庄B 送水.水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置.

精题详解

如图,作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,则点 P 为水泵站的位置,此时 PA+PB 的长度之和最短,即所使用的水管最短.

→PA+PB=PA'+PB=A'B,两点之间线段最短

13. (2024·山东淄博周村区期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $BC$边的垂直平分线交 $AC$ 边于点 $D$, 连接 $BD$.
(1)如图, 若 $CE=4$, $△ BDC$ 的周长为 18 , 求$BD$ 的长;
(2)若 $∠ ADM=60°$, $∠ ABD=20°$, 求 $∠ A$ 的度数.

精题详解

(1)
∵MN 垂直平分 BC,
∴DC=BD,CE=EB.
又 EC=4,
∴BE=4. 又△BDC 的周长=18,
∴BD+DC=18−2×4=10,
∴BD=5.
(2)
∵∠ADM=60°,
∴∠CDN=60°.
又 MN 垂直平分 BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠C=30°.
又∠C=∠DBC=30°,∠ABD=20°,
∴∠ABC=50°,
∴∠A=180°−∠C−∠ABC=100°.

14. (2024·凉山州中考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=$$90°$,$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$,若$△ ACD$的周长为 50 cm,则$AC+BC=(\quad)$.


A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

∵DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D,
∴AD=DB.
∵△ACD 的周长为 50 cm,
∴AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50 cm.
故选 C.