7 方程思想 [2025 哈尔滨]一个扇形的弧长是$\dfrac{7}{6}π\ \mathrm{cm},$半径是 3 cm,则此扇形的圆心角的度数是$°.$

7. 70

8 [2025 青海] 如图,线段 $AB$ 经过圆心 $O$, 交 $\odot O$ 于点 $A$,$C$,$AD$ 为 $\odot O$ 的弦, 连接 $BD$. 若 $∠ A=$$∠ B=30°,BC=2$, 则 $\overset{\frown}{DC}$ 的长为.

8. $\dfrac{2π}{3}$

9 整体思想 如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=3$,$BC=4$,将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$△ ADE$,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$,则图中阴影部分的面积为.

9. $\dfrac{25π}{9}$ 【解析】根据旋转性质，得$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$.由题图，可知$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ADE}+S_{\mathrm{扇形}ADB}-S_{△ ABC}=S_{\mathrm{扇形}ADB}=\dfrac{40×π×5^2}{360}=\dfrac{25π}{9}$.

10 如图,$△ ABC$ 内接于$\odot O$,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,$CE$ 平分$∠ ACB$,交$\odot O$ 于点$E$,过点 $E$ 作 $EF//$ $AB$,交 $CA$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证:$EF$ 与$\odot O$ 相切.
(2) 过点 $E$ 作 $EG⊥ AC$ 于点 $M$,交$\odot O$ 于点 $G$,交 $AB$ 于点 $N$.若$∠ CAB=30°$,$AB=8$,求$\overset{\frown}{AG}$的长.

10. (1) 如图，连接$OE$.$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$.$\because CE$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACE=\dfrac{1}{2}∠ ACB=45°$.$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$，$\therefore ∠ AOE=2∠ ACE=90°$.$\because EF// AB$，$\therefore ∠ AOE+∠ FEO=180°$，$\therefore ∠ FEO=90°$，$\therefore OE⊥ FE$.又$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore EF$与$\odot O$相切 (2) 如图，连接$OG$，$OC$.$\because ∠ CAB=30°$，$∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ B=60°$.$\because OB=OC$，$\therefore △ OBC$为等边三角形，$\therefore ∠ COB=60°$，$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COB=120°$.$\because EG⊥ AC$，$∠ ACE=45°$，$\therefore ∠ MEC=45°$.$\because \overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$，$\therefore ∠ GOC=2∠ MEC=90°$，$\therefore ∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$.$\because AB=8$，$AB$是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OG=4$，$\therefore \overset{\frown}{AG}$的长$=\dfrac{30π×4}{180}=\dfrac{2π}{3}$

11 [2025 南通]如图,$PA$与$\odot O$相切于点$A$,$AC$为$\odot O$的直径,点$B$在$\odot O$上,连接$OB$,$PB$,$PC$,且$PA=PB$.
(1) 求证:$OB ⊥ PB$;
(2) 若$∠ APB=60^{ \circ }$,$PA=2\sqrt{3}$,求图中阴影部分的面积.

11. (1) 如图，连接$OP$.$\because PA$与$\odot O$相切，$\therefore OA⊥ PA$，$\therefore ∠ OAP=90°$.在$△ AOP$和$△ BOP$中，$\begin{cases} OA=OB,\\ PA=PB,\\ OP=OP, \end{cases}$$\therefore △ AOP≌△ BOP(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ OAP=∠ OBP=90°$，$\therefore OB⊥ PB$ (2) 如图，连接$BC$.$\because$ 四边形$AOBP$的内角和为$360°$，$∠ OBP=∠ OAP=90°$，$∠ APB=60°$，$\therefore ∠ AOB=120°$，$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$.$\because OB=OC$，$\therefore △ BOC$为等边三角形，$\therefore ∠ OCB=60°$.$\because △ AOP≌△ BOP$，$\therefore ∠ AOP=∠ BOP=∠ OCB=60°$，$∠ APO=∠ BPO=30°$，$PA=PB=2\sqrt{3}$，$\therefore OP// BC$，$\therefore S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠ BPO=30°$，$\therefore OP=2OB$.$\because OB^2+PB^2=OP^2$，$\therefore OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$，解得$OB=2$(负值舍去).$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCB}=\dfrac{60π×2^2}{360}=\dfrac{2π}{3}$