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22.（10分）已知甲、乙两仓库分别有物资800吨和1 200吨，现要把这些物资全部运往A,B两地，A地需要物资1 300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A,B两地的运费单价如表：
(1)设甲仓库运往A地x吨物资,直接写出总运费y(元)关于x(吨)的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时,总运费最省?最省的总运费是多少元?
(3)若甲仓库运往A地的运费下降了$a(2≤ a≤ 6$且$a$为常数)元/吨后,最省的总运费为23 100元,求$a$的值.
(1)设甲仓库运往A地x吨物资,直接写出总运费y(元)关于x(吨)的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时,总运费最省?最省的总运费是多少元?
(3)若甲仓库运往A地的运费下降了$a(2≤ a≤ 6$且$a$为常数)元/吨后,最省的总运费为23 100元,求$a$的值.
答案
22. 【点拨】本题考查一次函数的应用,掌握一次函数的性质是解题的关键.
【解析】(1)由题意知,甲仓库运往A地$x$吨物资,那么乙仓库运往A地$(1300 - x)$吨物资,甲仓库运往B地$(800 - x)$吨物资,乙仓库运往B地$700 - (800 - x) = (x - 100)$(吨),
∴ $y = 12x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100) = 5x + 23200$.
(2)
∵ $y = 5x + 23200$,$5 ＞ 0$,
∴ $y$随$x$的增大而增大.
由题意,得$\begin{cases} x≥0, \\ 1300 - x≥0, \\ 800 - x≥0, \\ x - 100≥0, \end{cases}$解得$100≤x≤800$,
∴ 当$x = 100$时,$y$最小,此时$y = 5×100 + 23200 = 23700$,
∴ 当甲仓库运往A地100吨物资时,总运费最省,最省的总运费是23700元.
(3)甲仓库运往A地的运费下降了$a$元/吨后,$y = 5x + 23200 - ax = (5 - a)x + 23200$.
①当$2≤a＜5$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x = 100$时,$y$最小,此时$y = 100(5 - a) + 23200 = 23100$,解得$a = 6$(舍去);
②当$a = 5$时,$y = 23200 ≠ 23100$,
∴ $a≠5$;
③当$5 ＜ a ≤ 6$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x = 800$时,$y$最小,此时$y = 800(5 - a) + 23200 = 23100$,解得$a = 5.125$.
综上,$a$的值为5.125.
【解析】(1)由题意知,甲仓库运往A地$x$吨物资,那么乙仓库运往A地$(1300 - x)$吨物资,甲仓库运往B地$(800 - x)$吨物资,乙仓库运往B地$700 - (800 - x) = (x - 100)$(吨),
∴ $y = 12x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100) = 5x + 23200$.
(2)
∵ $y = 5x + 23200$,$5 ＞ 0$,
∴ $y$随$x$的增大而增大.
由题意,得$\begin{cases} x≥0, \\ 1300 - x≥0, \\ 800 - x≥0, \\ x - 100≥0, \end{cases}$解得$100≤x≤800$,
∴ 当$x = 100$时,$y$最小,此时$y = 5×100 + 23200 = 23700$,
∴ 当甲仓库运往A地100吨物资时,总运费最省,最省的总运费是23700元.
(3)甲仓库运往A地的运费下降了$a$元/吨后,$y = 5x + 23200 - ax = (5 - a)x + 23200$.
①当$2≤a＜5$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x = 100$时,$y$最小,此时$y = 100(5 - a) + 23200 = 23100$,解得$a = 6$(舍去);
②当$a = 5$时,$y = 23200 ≠ 23100$,
∴ $a≠5$;
③当$5 ＜ a ≤ 6$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x = 800$时,$y$最小,此时$y = 800(5 - a) + 23200 = 23100$,解得$a = 5.125$.
综上,$a$的值为5.125.
解析
【分析】
本题为物资调运的运费优化问题，解题思路如下：①设甲仓库运往A地x吨物资，结合甲、乙仓库总物资量及A、B两地需求量，用x表示其余各仓库运往两地的物资量；②根据运费单价列出总运费y关于x的函数解析式；③根据各调运量非负确定自变量x的取值范围，利用一次函数增减性求总运费最小值；④当甲仓库运往A地的运费下降a元后，重新推导总运费函数，结合a的范围分情况讨论函数增减性，找到最小值对应的x，结合已知最省总运费求出a的值。
【解析】
(1) 设甲仓库运往A地x吨物资，则：
乙仓库运往A地的物资量为(1300 - x)吨，
甲仓库运往B地的物资量为(800 - x)吨，
乙仓库运往B地的物资量为700 - (800 - x) = (x - 100)吨，
根据运费单价，总运费：
y = 12x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100)
化简得：y = 5x + 23200。
(2) 由y = 5x + 23200，其中5＞0，故y随x的增大而增大。
根据各调运量非负，列不等式组：
$\begin{cases} x≥0 \\ 1300 - x≥0 \\ 800 - x≥0 \\ x - 100≥0 \end{cases}$
解得100≤x≤800。
因此当x取最小值100时，总运费最省，此时：
y = 5×100 + 23200 = 23700（元）。
即当甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省总运费为23700元。
(3) 甲仓库运往A地的运费下降a元/吨后，总运费函数变为：
y = (12 - a)x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100)
化简得：y = (5 - a)x + 23200。
已知2≤a≤6，分情况讨论：
①当2≤a＜5时，5 - a＞0，y随x增大而增大，故x=100时y最小，代入得：
100(5 - a) + 23200 = 23100，解得a=6，与2≤a＜5矛盾，舍去；
②当a=5时，y=23200≠23100，不符合题意；
③当5＜a≤6时，5 - a＜0，y随x增大而减小，故x=800时y最小，代入得：
800(5 - a) + 23200 = 23100，解得a=5.125，符合5＜a≤6。
综上，a的值为5.125。
【答案】
(1) y=5x+23200；(2) 100吨，23700元；(3) 5.125
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际物资调运场景，考查一次函数的性质及应用，需要理清各调运量的关系，第三问需根据参数范围分类讨论，综合性较强，解题时需注意自变量取值范围对最值的限制。
【难度系数】
0.4
本题为物资调运的运费优化问题，解题思路如下：①设甲仓库运往A地x吨物资，结合甲、乙仓库总物资量及A、B两地需求量，用x表示其余各仓库运往两地的物资量；②根据运费单价列出总运费y关于x的函数解析式；③根据各调运量非负确定自变量x的取值范围，利用一次函数增减性求总运费最小值；④当甲仓库运往A地的运费下降a元后，重新推导总运费函数，结合a的范围分情况讨论函数增减性，找到最小值对应的x，结合已知最省总运费求出a的值。
【解析】
(1) 设甲仓库运往A地x吨物资，则：
乙仓库运往A地的物资量为(1300 - x)吨，
甲仓库运往B地的物资量为(800 - x)吨，
乙仓库运往B地的物资量为700 - (800 - x) = (x - 100)吨，
根据运费单价，总运费：
y = 12x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100)
化简得：y = 5x + 23200。
(2) 由y = 5x + 23200，其中5＞0，故y随x的增大而增大。
根据各调运量非负，列不等式组：
$\begin{cases} x≥0 \\ 1300 - x≥0 \\ 800 - x≥0 \\ x - 100≥0 \end{cases}$
解得100≤x≤800。
因此当x取最小值100时，总运费最省，此时：
y = 5×100 + 23200 = 23700（元）。
即当甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省总运费为23700元。
(3) 甲仓库运往A地的运费下降a元/吨后，总运费函数变为：
y = (12 - a)x + 10(1300 - x) + 15(800 - x) + 18(x - 100)
化简得：y = (5 - a)x + 23200。
已知2≤a≤6，分情况讨论：
①当2≤a＜5时，5 - a＞0，y随x增大而增大，故x=100时y最小，代入得：
100(5 - a) + 23200 = 23100，解得a=6，与2≤a＜5矛盾，舍去；
②当a=5时，y=23200≠23100，不符合题意；
③当5＜a≤6时，5 - a＜0，y随x增大而减小，故x=800时y最小，代入得：
800(5 - a) + 23200 = 23100，解得a=5.125，符合5＜a≤6。
综上，a的值为5.125。
【答案】
(1) y=5x+23200；(2) 100吨，23700元；(3) 5.125
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际物资调运场景，考查一次函数的性质及应用，需要理清各调运量的关系，第三问需根据参数范围分类讨论，综合性较强，解题时需注意自变量取值范围对最值的限制。
【难度系数】
0.4
23. (12 分)(1)操作判断:如图 1,E 是边长为 12 的正方形纸片 ABCD 的边 AD 上一动点,将正方形沿着 CE 折叠,点 D 落在点 F 处,把纸片展开,射线 DF 交边 AB 于点 P. 根据以上操作,写出图 1 中 AP 与 EF 的数量关系:
(2)迁移探究:在(1)的条件下,若 E 是 AD 的中点,如图 2,延长 CF 交 AB 于点 Q,点 Q 的位置是否确定?如果确定,求出线段 BQ 的长;如果不确定,说明理由.
(3)拓展应用:在(1)的条件下,如图 3,CE,DF 交于点 G,取 CG 的中点 H,连接 BH,求 BH 的最小值.
$AP=EF$
.(2)迁移探究:在(1)的条件下,若 E 是 AD 的中点,如图 2,延长 CF 交 AB 于点 Q,点 Q 的位置是否确定?如果确定,求出线段 BQ 的长;如果不确定,说明理由.
(3)拓展应用:在(1)的条件下,如图 3,CE,DF 交于点 G,取 CG 的中点 H,连接 BH,求 BH 的最小值.
答案
23. 【点拨】本题考查折叠的性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理,三角形的三边关系,作出辅助线构造三角形中位线是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,设$CE$,$DF$的交点为$G$.
由折叠的性质,得$CE ⊥ DF$,$DE = EF$,
∴ $∠CGD = 90°$,
∴ $∠DCG + ∠CDG = 90°$.
∵ 四边形$ABCD$是正方形,
∴ $∠ADC = ∠A = 90°$,$CD = AD$,
∴ $∠ADP + ∠CDG = 90°$,
∴ $∠ADP = ∠DCG$.
在$△ADP$和$△DCE$中,$\begin{cases} ∠ADP = ∠DCE, \\ AD = DC, \\ ∠A = ∠EDC, \end{cases}$
∴ $△ADP≌△DCE(\mathrm{ASA})$,
∴ $AP = DE$,
∴ $AP = EF$.
故答案为$AP = EF$.
(2)点$Q$的位置确定.
如题图2,连接$EQ$.
由折叠的性质可知$EF = DE$,$CF = CD = 12$,$∠EFQ = ∠EFC = ∠ADC = 90°$.
∵ $E$是$AD$的中点,
∴ $AE = DE$,
∴ $AE = EF$.
∵ $∠A = ∠EFQ = 90°$,$QE = QE$,
∴ $\mathrm{Rt}△AEQ≌\mathrm{Rt}△FEQ(\mathrm{HL})$.
∴ $AQ = FQ$.
设$BQ = x$,则$FQ = AQ = 12 - x$.
在$\mathrm{Rt}△BCQ$中,$CQ = CF + FQ = 12 + (12 - x) = 24 - x$,$BQ = x$,$BC = 12$,
∴ $(24 - x)^2 - x^2 = 12^2$,解得$x = 9$,
∴ $BQ = 9$.
(3)如图,取$CD$的中点$O$,再取$OC$的中点$I$,连接$OG$,$HI$,连接$AC$和$BD$,交于点$G'$,
可得$AC = \sqrt{2}AB = 12\sqrt{2}$,
∴ $AG' = CG' = 6\sqrt{2}$.
∵ $∠CGD = 90°$,
∴ $OG = \frac{1}{2}CD = 6$.
∵ $H$是$CG$的中点,
∴ $HI = \frac{1}{2}OG = 3$,
∴ 点$H$在以$I$为圆心,3为半径的弧$OH'$上运动($AC$和$BD$交于点$G'$,$H'$是$CG'$的中点),
当点$H$在点$H'$处时,$CH$最小,此时$BG' = 6\sqrt{2}$,$G'H' = 3\sqrt{2}$,
∴ $BH' = \sqrt{BG'^2 + G'H'^2} = 3\sqrt{10}$,
∴ $BH$的最小值为$3\sqrt{10}$.
解析
【分析】
本题是正方形折叠的综合题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问：利用折叠性质得到CE⊥DF、DE=EF，结合正方形的角的关系，证明△ADP与△DCE全等，得到AP=DE，进而推出AP=EF；
(2) 第二问：E为AD中点，结合折叠性质得AE=EF，通过HL证明Rt△AEQ与Rt△FEQ全等，得到AQ=FQ，设BQ=x，利用勾股定理在Rt△BCQ中列方程求解，确定Q的位置并算出BQ的长；
(3) 第三问：通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线和三角形中位线定理，确定点H的运动轨迹为圆，再根据点到圆的最短距离（点到圆心距离减半径）计算BH的最小值。
【解析】
(1) 如图1，设CE与DF交于点G。
由折叠性质得：CE⊥DF，DE=EF，故∠CGD=90°，则∠DCG + ∠CDG=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC=∠A=90°，CD=AD，
∴ ∠ADP + ∠CDG=90°，故∠ADP=∠DCG。
在△ADP和△DCE中：
$\begin{cases} ∠ADP=∠DCE \\ AD=DC \\ ∠A=∠EDC=90° \end{cases}$
∴ △ADP≌△DCE(ASA)，
∴ AP=DE，又DE=EF，故AP=EF。
(2) 点Q的位置确定，如图2，连接EQ。
由折叠性质得：EF=DE，CF=CD=12，∠EFQ=∠EFC=∠ADC=90°。
∵ E是AD中点，
∴ AE=DE，故AE=EF。
在Rt△AEQ和Rt△FEQ中：
$\begin{cases} AE=EF \\ QE=QE \end{cases}$
∴ Rt△AEQ≌Rt△FEQ(HL)，
∴ AQ=FQ。
设BQ=x，则FQ=AQ=12 - x，CQ=CF + FQ=12 + (12 - x)=24 - x。
在Rt△BCQ中，由勾股定理得：$BC^2 + BQ^2 = CQ^2$，即$12^2 + x^2 = (24 - x)^2$，
展开得：144 + x² = 576 - 48x + x²，化简得48x=432，解得x=9，故BQ=9。
(3) 如图，取CD的中点O，再取OC的中点I，连接OG、HI，连接AC、BD交于点G'。
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为12，
∴ AC=12√2，AG'=CG'=6√2。
∵ ∠CGD=90°，O是CD中点，
∴ OG=OC=OD=6。
∵ H是CG的中点，I是OC中点，
∴ HI是△CGO的中位线，故HI=OG/2=3，即点H在以I为圆心、半径为3的圆上运动。
当点H在CG'的中点H'处时，BH最小，此时G'H'=3√2，BG'=6√2，
∴ $BH'=\sqrt{BG'^2 + G'H'^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=\sqrt{72 + 18}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，故BH的最小值为$3\sqrt{10}$。
【答案】
AP=EF；BQ=9；BH的最小值为$3\sqrt{10}$；
【知识点】
折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为正方形折叠的综合题，融合了全等三角形、勾股定理、动态轨迹最值等知识点，从基础的全等应用到方程思想，再到几何轨迹分析，逐步提升难度，考查学生对折叠不变性的掌握及辅助线构造、逻辑推理的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
本题是正方形折叠的综合题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问：利用折叠性质得到CE⊥DF、DE=EF，结合正方形的角的关系，证明△ADP与△DCE全等，得到AP=DE，进而推出AP=EF；
(2) 第二问：E为AD中点，结合折叠性质得AE=EF，通过HL证明Rt△AEQ与Rt△FEQ全等，得到AQ=FQ，设BQ=x，利用勾股定理在Rt△BCQ中列方程求解，确定Q的位置并算出BQ的长；
(3) 第三问：通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线和三角形中位线定理，确定点H的运动轨迹为圆，再根据点到圆的最短距离（点到圆心距离减半径）计算BH的最小值。
【解析】
(1) 如图1，设CE与DF交于点G。
由折叠性质得：CE⊥DF，DE=EF，故∠CGD=90°，则∠DCG + ∠CDG=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC=∠A=90°，CD=AD，
∴ ∠ADP + ∠CDG=90°，故∠ADP=∠DCG。
在△ADP和△DCE中：
$\begin{cases} ∠ADP=∠DCE \\ AD=DC \\ ∠A=∠EDC=90° \end{cases}$
∴ △ADP≌△DCE(ASA)，
∴ AP=DE，又DE=EF，故AP=EF。
(2) 点Q的位置确定，如图2，连接EQ。
由折叠性质得：EF=DE，CF=CD=12，∠EFQ=∠EFC=∠ADC=90°。
∵ E是AD中点，
∴ AE=DE，故AE=EF。
在Rt△AEQ和Rt△FEQ中：
$\begin{cases} AE=EF \\ QE=QE \end{cases}$
∴ Rt△AEQ≌Rt△FEQ(HL)，
∴ AQ=FQ。
设BQ=x，则FQ=AQ=12 - x，CQ=CF + FQ=12 + (12 - x)=24 - x。
在Rt△BCQ中，由勾股定理得：$BC^2 + BQ^2 = CQ^2$，即$12^2 + x^2 = (24 - x)^2$，
展开得：144 + x² = 576 - 48x + x²，化简得48x=432，解得x=9，故BQ=9。
(3) 如图，取CD的中点O，再取OC的中点I，连接OG、HI，连接AC、BD交于点G'。
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为12，
∴ AC=12√2，AG'=CG'=6√2。
∵ ∠CGD=90°，O是CD中点，
∴ OG=OC=OD=6。
∵ H是CG的中点，I是OC中点，
∴ HI是△CGO的中位线，故HI=OG/2=3，即点H在以I为圆心、半径为3的圆上运动。
当点H在CG'的中点H'处时，BH最小，此时G'H'=3√2，BG'=6√2，
∴ $BH'=\sqrt{BG'^2 + G'H'^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=\sqrt{72 + 18}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，故BH的最小值为$3\sqrt{10}$。
【答案】
AP=EF；BQ=9；BH的最小值为$3\sqrt{10}$；
【知识点】
折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为正方形折叠的综合题，融合了全等三角形、勾股定理、动态轨迹最值等知识点，从基础的全等应用到方程思想，再到几何轨迹分析，逐步提升难度，考查学生对折叠不变性的掌握及辅助线构造、逻辑推理的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
