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19.（6分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人捐的图书数量，并按捐书数量分为四种类型：A.5本；B.6本；C.7本；D.8本.统计数据并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.
（1）本次调查获取的样本数据的中位数为
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本.
（1）本次调查获取的样本数据的中位数为
6.5
本，在扇形统计图中，m的值为40
；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本.
答案
19. 【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图,平均数,中位数,用样本估计总体,从统计图中获取必要的信息是解题的关键.
【解析】(1)本次接受随机调查的学生人数为$6 ÷ 30\% = 20$,根据条形统计图可知,中位数为$\frac{6 + 7}{2} = 6.5$(本);
∵ $m\% = \frac{8}{20}×100\% = 40\%$,
∴ $m = 40$.
故答案为6.5,40.
(2)$\frac{5×2 + 6×8 + 7×6 + 8×4}{20}=6.6$(本).
答:本次调查获取的样本数据的平均数为6.6本.
(3)$260×6.6 = 1716$(本).
答:估计这260名学生共捐赠图书1716本.
【解析】(1)本次接受随机调查的学生人数为$6 ÷ 30\% = 20$,根据条形统计图可知,中位数为$\frac{6 + 7}{2} = 6.5$(本);
∵ $m\% = \frac{8}{20}×100\% = 40\%$,
∴ $m = 40$.
故答案为6.5,40.
(2)$\frac{5×2 + 6×8 + 7×6 + 8×4}{20}=6.6$(本).
答:本次调查获取的样本数据的平均数为6.6本.
(3)$260×6.6 = 1716$(本).
答:估计这260名学生共捐赠图书1716本.
解析
【分析】
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图提取关键数据：首先利用C类型的人数及对应百分比求出调查总样本数；再根据样本数据的数量确定中位数（偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数），计算B类型的占比得到m的值；接着通过加权平均数公式计算样本平均数；最后用样本平均数估计总体捐赠图书总数。
【解析】
(1) 计算调查总人数：由扇形图可知C类型占30%，条形图中C类型有6人，因此总人数为 $ 6 ÷ 30\% = 20 $（人）。
样本共20个数据，中位数是排序后第10和第11个数据的平均数。条形图中A类型2人、B类型8人，前10个数据为A、B类型，第11个数据为C类型，故中位数为 $ \frac{6 + 7}{2} = 6.5 $（本）。
B类型有8人，占比为 $ \frac{8}{20} × 100\% = 40\% $，因此 $ m = 40 $。
(2) 样本数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{5 × 2 + 6 × 8 + 7 × 6 + 8 × 4}{20} = \frac{10 + 48 + 42 + 32}{20} = 6.6 \mathrm{（本）}$
(3) 估计260名学生共捐赠图书总数：$ 260 × 6.6 = 1716 $（本）。
【答案】
(1) 6.5，40；(2) 6.6本；(3) 1716本
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计核心知识，需掌握从图表中提取数据的方法，以及中位数、平均数的计算逻辑，用样本估计总体是统计的常用思想，整体难度不大。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图提取关键数据：首先利用C类型的人数及对应百分比求出调查总样本数；再根据样本数据的数量确定中位数（偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数），计算B类型的占比得到m的值；接着通过加权平均数公式计算样本平均数；最后用样本平均数估计总体捐赠图书总数。
【解析】
(1) 计算调查总人数：由扇形图可知C类型占30%，条形图中C类型有6人，因此总人数为 $ 6 ÷ 30\% = 20 $（人）。
样本共20个数据，中位数是排序后第10和第11个数据的平均数。条形图中A类型2人、B类型8人，前10个数据为A、B类型，第11个数据为C类型，故中位数为 $ \frac{6 + 7}{2} = 6.5 $（本）。
B类型有8人，占比为 $ \frac{8}{20} × 100\% = 40\% $，因此 $ m = 40 $。
(2) 样本数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{5 × 2 + 6 × 8 + 7 × 6 + 8 × 4}{20} = \frac{10 + 48 + 42 + 32}{20} = 6.6 \mathrm{（本）}$
(3) 估计260名学生共捐赠图书总数：$ 260 × 6.6 = 1716 $（本）。
【答案】
(1) 6.5，40；(2) 6.6本；(3) 1716本
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数
【点评】
本题结合两种统计图考查统计核心知识，需掌握从图表中提取数据的方法，以及中位数、平均数的计算逻辑，用样本估计总体是统计的常用思想，整体难度不大。
【难度系数】
0.5
20. (8分)如图,在$□ ABCD$中,对角线$DB$上有两点$E,F$,且$DF = BE$.
(1)求证:四边形$AFCE$是平行四边形;
(2)若$AB = BC = 8$,$BE = 2$,且$∠ DAB = 60°$,请直接写出四边形$AFCE$的周长.
(1)求证:四边形$AFCE$是平行四边形;
(2)若$AB = BC = 8$,$BE = 2$,且$∠ DAB = 60°$,请直接写出四边形$AFCE$的周长.
答案
20. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,等边三角形的判定与性质以及勾股定理,掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定与性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:如图图,连接$AC$交$BD$于点$O$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $OA = OC$,$OB = OD$.
∵ $DF = BE$,
∴ $OD - DF = OB - BE$,即$OF = OE$,
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形.
(2)由(1)可知四边形$AFCE$是平行四边形.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AB = BC = 8$,
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形,
∴ $AD = AB = 8$,$AC ⊥ BD$,
∴ $□AFCE$是菱形,
∴ $AE = AF = CF = CE$.
∵ $∠DAB = 60°$,
∴ $△ABD$是等边三角形,
∴ $BD = AB = 8$,
∴ $OB = OD = 4$,
∴ $OE = OB - BE = 4 - 2 = 2$,$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$,
∴ $AE = \sqrt{OA^2 + OE^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 2^2} = 2\sqrt{13}$,
∴ 菱形$AFCE$的周长为$4AE = 4×2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}$.
【解析】(1)证明:如图图,连接$AC$交$BD$于点$O$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $OA = OC$,$OB = OD$.
∵ $DF = BE$,
∴ $OD - DF = OB - BE$,即$OF = OE$,
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形.
(2)由(1)可知四边形$AFCE$是平行四边形.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AB = BC = 8$,
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形,
∴ $AD = AB = 8$,$AC ⊥ BD$,
∴ $□AFCE$是菱形,
∴ $AE = AF = CF = CE$.
∵ $∠DAB = 60°$,
∴ $△ABD$是等边三角形,
∴ $BD = AB = 8$,
∴ $OB = OD = 4$,
∴ $OE = OB - BE = 4 - 2 = 2$,$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$,
∴ $AE = \sqrt{OA^2 + OE^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 2^2} = 2\sqrt{13}$,
∴ 菱形$AFCE$的周长为$4AE = 4×2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}$.
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：
1. 证明四边形AFCE是平行四边形：连接AC交BD于点O，利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，结合已知DF=BE推出OF=OE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明。
2. 计算四边形AFCE的周长：先由AB=BC判定ABCD是菱形，进而得AC⊥BD，推出AFCE是菱形；再结合∠DAB=60°得△ABD是等边三角形，算出BD长度，进而求出OB、OE、OA，用勾股定理得AE，最后计算菱形周长。
【解析】
(1) 证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
又
∵ DF=BE，
∴ OD - DF = OB - BE，即OF=OE。
∵ OA=OC，OF=OE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 解：由(1)知四边形AFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=8，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ AD=AB=8，AC⊥BD（菱形的性质）。
∴ □AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴ AE=AF=CF=CE（菱形的四条边相等）。
∵ ∠DAB=60°，AB=AD=8，
∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BD=AB=8，
∴ OB=OD=½BD=4。
∵ BE=2，
∴ OE=OB - BE=4 - 2=2。
在Rt△AOB中，OA=√(AB² - OB²)=√(8² - 4²)=4√3。
在Rt△AOE中，AE=√(OA² + OE²)=√[(4√3)² + 2²]=2√13。
∴ 菱形AFCE的周长=4AE=4×2√13=8√13。
【答案】
8√13
【知识点】
平行四边形判定、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形、等边三角形的性质与判定，解题关键是利用对角线关系判定特殊四边形，再结合勾股定理计算边长，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分两步思考：
1. 证明四边形AFCE是平行四边形：连接AC交BD于点O，利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，结合已知DF=BE推出OF=OE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明。
2. 计算四边形AFCE的周长：先由AB=BC判定ABCD是菱形，进而得AC⊥BD，推出AFCE是菱形；再结合∠DAB=60°得△ABD是等边三角形，算出BD长度，进而求出OB、OE、OA，用勾股定理得AE，最后计算菱形周长。
【解析】
(1) 证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
又
∵ DF=BE，
∴ OD - DF = OB - BE，即OF=OE。
∵ OA=OC，OF=OE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 解：由(1)知四边形AFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=8，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ AD=AB=8，AC⊥BD（菱形的性质）。
∴ □AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴ AE=AF=CF=CE（菱形的四条边相等）。
∵ ∠DAB=60°，AB=AD=8，
∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BD=AB=8，
∴ OB=OD=½BD=4。
∵ BE=2，
∴ OE=OB - BE=4 - 2=2。
在Rt△AOB中，OA=√(AB² - OB²)=√(8² - 4²)=4√3。
在Rt△AOE中，AE=√(OA² + OE²)=√[(4√3)² + 2²]=2√13。
∴ 菱形AFCE的周长=4AE=4×2√13=8√13。
【答案】
8√13
【知识点】
平行四边形判定、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形、等边三角形的性质与判定，解题关键是利用对角线关系判定特殊四边形，再结合勾股定理计算边长，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
21. (8分)如图是由小正方形组成的$7×7$网格,每个小正方形的顶点叫格点.$△ ABC$的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图1中画平行四边形$ABCD$;$E$是边$AB$上一点,在$CD$边上找一点$F$,使得$CF = AE$;
(2)如图2,先在$AC$上画点$G$,使$BG$平分$△ ABC$的面积,再过点$G$作$GH ⊥ AB$于点$H$.
(1)在图1中画平行四边形$ABCD$;$E$是边$AB$上一点,在$CD$边上找一点$F$,使得$CF = AE$;
(2)如图2,先在$AC$上画点$G$,使$BG$平分$△ ABC$的面积,再过点$G$作$GH ⊥ AB$于点$H$.
答案
21. 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握平行四边形的判定和性质及矩形的判定和性质是解题的关键.
【解析】(1)如图1,平行四边形$ABCD$、点$F$即为所求.
(2)如图2,$BG$,$GH$即为所求.
解析
【分析】
本题是网格作图题，需利用平行四边形的性质、三角形面积平分的原理解题。(1)画平行四边形ABCD时，根据平行四边形对边平行且相等的判定，在网格中找到格点D，使AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等，即可得到平行四边形；再利用AB与CD的等量关系，在CD上截取CF=AE，找到对应格点F。(2)要使BG平分△ABC的面积，根据“三角形的中线平分三角形面积”，找到AC的中点G，连接BG；再过G作AB的垂线GH，确定垂足H。
【解析】
(1) 根据平行四边形“对边平行且相等”的性质，在图1的网格中找到格点D，连接AD、CD，得到平行四边形ABCD；由于AB//CD且AB=CD，E在AB上，因此在CD上截取CF=AE，即可得到点F，完成作图。
(2) 要平分△ABC的面积，需找到AC的中点G（三角形的中线平分三角形面积），连接BG；再过点G作AB的垂线，垂足为H，得到GH，完成作图。
【答案】
21. 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握平行四边形的判定和性质及矩形的判定和性质是解题的关键.
【解析】(1)如图1,平行四边形$ABCD$、点$F$即为所求.
(2)如图2,$BG$,$GH$即为所求.
【知识点】
平行四边形的判定与性质、三角形面积平分、网格作图
【点评】
本题为网格作图题，结合网格特点，利用几何基本性质完成作图，考查学生对几何知识的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是网格作图题，需利用平行四边形的性质、三角形面积平分的原理解题。(1)画平行四边形ABCD时，根据平行四边形对边平行且相等的判定，在网格中找到格点D，使AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等，即可得到平行四边形；再利用AB与CD的等量关系，在CD上截取CF=AE，找到对应格点F。(2)要使BG平分△ABC的面积，根据“三角形的中线平分三角形面积”，找到AC的中点G，连接BG；再过G作AB的垂线GH，确定垂足H。
【解析】
(1) 根据平行四边形“对边平行且相等”的性质，在图1的网格中找到格点D，连接AD、CD，得到平行四边形ABCD；由于AB//CD且AB=CD，E在AB上，因此在CD上截取CF=AE，即可得到点F，完成作图。
(2) 要平分△ABC的面积，需找到AC的中点G（三角形的中线平分三角形面积），连接BG；再过点G作AB的垂线，垂足为H，得到GH，完成作图。
【答案】
21. 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握平行四边形的判定和性质及矩形的判定和性质是解题的关键.
【解析】(1)如图1,平行四边形$ABCD$、点$F$即为所求.
(2)如图2,$BG$,$GH$即为所求.
【知识点】
平行四边形的判定与性质、三角形面积平分、网格作图
【点评】
本题为网格作图题，结合网格特点，利用几何基本性质完成作图，考查学生对几何知识的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
