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24. (12 分)如图 1,直线 $l:y=-2x+6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$.
(1)求 $△ AOB$ 的面积;
(2)点 $P(6,9)$,点 $M$ 在射线 $AB$ 上,连接 $PM$,若 $∠ PMB=2∠ ABO$,求点 $M$ 的坐标;
(3)如图 2,将直线 $l$ 向下平移得到直线 $l':y=-2x+b$,$M(m,-m^2+m+6)$,$N(n,-n^2+n+6)$ 为直线 $l'$ 上的两点,直线 $BM$ 与直线 $AN$ 交于点 $Q$,求点 $Q$ 的横坐标.
(1)求 $△ AOB$ 的面积;
(2)点 $P(6,9)$,点 $M$ 在射线 $AB$ 上,连接 $PM$,若 $∠ PMB=2∠ ABO$,求点 $M$ 的坐标;
(3)如图 2,将直线 $l$ 向下平移得到直线 $l':y=-2x+b$,$M(m,-m^2+m+6)$,$N(n,-n^2+n+6)$ 为直线 $l'$ 上的两点,直线 $BM$ 与直线 $AN$ 交于点 $Q$,求点 $Q$ 的横坐标.
答案
24. 【点拨】本题考查一次函数的图象和性质,三角形的面积,两点间的距离公式,平行线的性质,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,全等三角形的判定和性质,作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键.
【解析】(1)对于$y = -2x + 6$,
当$y = 0$时,$-2x + 6 = 0$,解得$x = 3$,
∴ $A(3,0)$;
当$x = 0$时,$y = 6$,
∴ $B(0,6)$,
∴ $△AOB$的面积为$\frac{1}{2}×3×6 = 9$.
(2)如图,过点$P$作$PQ// y$轴交直线$AB$于点$Q$,取$PQ$的中点$N$,过点$N$作$M_1N ⊥ PQ$交直线$AB$于点$M_1$,连接$PM_1$.
∵ $PQ// y$轴,
∴ $∠PQM_1 = ∠ABO$.
∵ $M_1N ⊥ PQ$,$N$是$PQ$的中点,
∴ $∠M_1NP = ∠M_1NQ$,$PN = QN$.
在$△M_1NP$和$△M_1NQ$中,$\begin{cases} PN = QN, \\ ∠M_1NP = ∠M_1NQ, \\ M_1N = M_1N, \end{cases}$
∴ $△M_1NP≌△M_1NQ(\mathrm{SAS})$,
∴ $∠M_1PN = ∠PQM_1$.
∵ $∠PM_1B = ∠M_1PN + ∠PQM_1$,
∴ $∠PM_1B = 2∠PQM_1 = 2∠ABO$.
当$x = 6$时,$y = -2×6 + 6 = -6$,
∴ $Q(6,-6)$.
∵ $N$是$PQ$的中点,$P(6,9)$,
∴ $N(6,\frac{3}{2})$.
当$y = \frac{3}{2}$时,$-2x + 6 = \frac{3}{2}$,解得$x = \frac{9}{4}$,
∴ $M_1(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$.
设$M_2(x,-2x + 6)$,
∵ $∠PM_2B = ∠PM_1B$,
∴ $PM_1 = PM_2$,
∴ $PM_1^2 = PM_2^2$,
即$(6 - \frac{9}{4})^2 + (9 - \frac{3}{2})^2 = (6 - x)^2 + (9 + 2x - 6)^2$,
解得$x = -\frac{9}{4}$或$x = \frac{9}{4}$(舍去),
∴ $M_2(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$.
综上所述,点$M$的坐标为$(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$.
(3)
∵ $M(m,-m^2 + m + 6)$,$N(n,-n^2 + n + 6)$为直线$l'$上的两点,
∴ $-m^2 + m + 6 = -2m + b$①,$-n^2 + n + 6 = -2n + b$②.
② - ①,得$m = 3 - n$.
设直线$BM$的解析式为$y = px + 6$,
∴ $pm + 6 = -m^2 + m + 6$,
∴ $p = -m + 1$,
∴ 直线$BM$的解析式为$y = (-m + 1)x + 6$.
设直线$AN$的解析式为$y = qx + c$,将$A(3,0)$,$N(n,-n^2 + n + 6)$代入,得$\begin{cases} 3q + c = 0, \\ nq + c = -n^2 + n + 6, \end{cases}$解得$\begin{cases} q = -(n + 2), \\ c = 3(n + 2), \end{cases}$
∴ 直线$AN$的解析式为$y = -(n + 2)x + 3(n + 2)$.
联立直线$BM$和$AN$的解析式,得$\begin{cases} y = (-m + 1)x + 6, \\ y = -(n + 2)x + 3(n + 2), \end{cases}$
两式相减,得$(n - m + 3)x = 3n$.
∵ $m = 3 - n$,
∴ $2nx = 3n$,
∴ $x = \frac{3}{2}$,
∴ 点$Q$的横坐标为$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：
(1) 求△AOB面积，需先确定直线l与坐标轴交点A、B的坐标，再利用直角三角形面积公式计算；
(2) 要满足∠PMB=2∠ABO，通过构造平行线和垂直辅助线，将2倍角转化为等腰三角形的外角，结合全等三角形和两点间距离公式，找到射线AB上符合条件的两个点M；
(3) 利用M、N在平移后的直线l'上，推导m与n的关系，再分别求出直线BM、AN的解析式，联立后代入m和n的关系化简，得到交点Q的横坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=-2x+6$，
令$y=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$；令$x=0$，解得$y=6$，故$B(0,6)$。
则$OA=3$，$OB=6$，$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
(2) 过点$P$作$PQ// y$轴交直线$AB$于$Q$，取$PQ$中点$N$，过$N$作$M_1N ⊥ PQ$交$AB$于$M_1$，连接$PM_1$。
∵$PQ// y$轴，
∴$∠PQM_1=∠ABO$；
∵$M_1N ⊥ PQ$，$N$是$PQ$中点，
∴$∠M_1NP=∠M_1NQ$，$PN=QN$，
在$△ M_1NP$和$△ M_1NQ$中，$\begin{cases} PN=QN \\ ∠M_1NP=∠M_1NQ \\ M_1N=M_1N \end{cases}$，
∴$△ M_1NP≌△ M_1NQ(\mathrm{SAS})$，
∴$∠M_1PN=∠PQM_1$，
∴$∠PM_1B=∠M_1PN+∠PQM_1=2∠PQM_1=2∠ABO$，即$M_1$符合条件。
当$x=6$时，$y=-2×6+6=-6$，故$Q(6,-6)$；
$P(6,9)$，$N$是$PQ$中点，故$N(6,\frac{3}{2})$；
令$y=\frac{3}{2}$，则$-2x+6=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{9}{4}$，故$M_1(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$。
设$M_2(x,-2x+6)$，由$∠PM_2B=∠PM_1B$得$PM_1=PM_2$，
则$PM_1^2=(6-\frac{9}{4})^2+(9-\frac{3}{2})^2$，$PM_2^2=(6-x)^2+(9-(-2x+6))^2$，
解得$x=-\frac{9}{4}$（$x=\frac{9}{4}$舍去），故$M_2(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$。
综上，点$M$的坐标为$(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$。
(3)
∵$M(m,-m^2+m+6)$、$N(n,-n^2+n+6)$在$l':y=-2x+b$上，
∴$-m^2+m+6=-2m+b$①，$-n^2+n+6=-2n+b$②，
②-①得：$m=3-n$。
设直线$BM$的解析式为$y=px+6$，代入$M$得$pm+6=-m^2+m+6$，解得$p=-m+1$，故$BM:y=(-m+1)x+6$。
设直线$AN$的解析式为$y=qx+c$，代入$A(3,0)$、$N$得$\begin{cases}3q+c=0 \\nq+c=-n^2+n+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}q=-(n+2) \\c=3(n+2)\end{cases}$，故$AN:y=-(n+2)x+3(n+2)$。
联立$BM$与$AN$的解析式，得$\begin{cases}y=(-m+1)x+6 \\y=-(n+2)x+3(n+2)\end{cases}$，代入$m=3-n$，化简得$2nx=3n$，解得$x=\frac{3}{2}$（$n≠0$）。
故点$Q$的横坐标为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $9$；
(2) $(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$；
(3) $\frac{3}{2}$；
【知识点】
一次函数应用、三角形面积、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查一次函数的图象与性质、三角形面积计算、等腰三角形及全等三角形的应用，第(2)问需构造辅助线转化角度关系，第(3)问需利用点在直线上的条件推导变量关系，对学生的几何转化和代数运算能力要求较高，是一道综合性较强的一次函数压轴题。
【难度系数】
0.4
本题分三小问逐步求解：
(1) 求△AOB面积，需先确定直线l与坐标轴交点A、B的坐标，再利用直角三角形面积公式计算；
(2) 要满足∠PMB=2∠ABO，通过构造平行线和垂直辅助线，将2倍角转化为等腰三角形的外角，结合全等三角形和两点间距离公式，找到射线AB上符合条件的两个点M；
(3) 利用M、N在平移后的直线l'上，推导m与n的关系，再分别求出直线BM、AN的解析式，联立后代入m和n的关系化简，得到交点Q的横坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=-2x+6$，
令$y=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$；令$x=0$，解得$y=6$，故$B(0,6)$。
则$OA=3$，$OB=6$，$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
(2) 过点$P$作$PQ// y$轴交直线$AB$于$Q$，取$PQ$中点$N$，过$N$作$M_1N ⊥ PQ$交$AB$于$M_1$，连接$PM_1$。
∵$PQ// y$轴，
∴$∠PQM_1=∠ABO$；
∵$M_1N ⊥ PQ$，$N$是$PQ$中点，
∴$∠M_1NP=∠M_1NQ$，$PN=QN$，
在$△ M_1NP$和$△ M_1NQ$中，$\begin{cases} PN=QN \\ ∠M_1NP=∠M_1NQ \\ M_1N=M_1N \end{cases}$，
∴$△ M_1NP≌△ M_1NQ(\mathrm{SAS})$，
∴$∠M_1PN=∠PQM_1$，
∴$∠PM_1B=∠M_1PN+∠PQM_1=2∠PQM_1=2∠ABO$，即$M_1$符合条件。
当$x=6$时，$y=-2×6+6=-6$，故$Q(6,-6)$；
$P(6,9)$，$N$是$PQ$中点，故$N(6,\frac{3}{2})$；
令$y=\frac{3}{2}$，则$-2x+6=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{9}{4}$，故$M_1(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$。
设$M_2(x,-2x+6)$，由$∠PM_2B=∠PM_1B$得$PM_1=PM_2$，
则$PM_1^2=(6-\frac{9}{4})^2+(9-\frac{3}{2})^2$，$PM_2^2=(6-x)^2+(9-(-2x+6))^2$，
解得$x=-\frac{9}{4}$（$x=\frac{9}{4}$舍去），故$M_2(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$。
综上，点$M$的坐标为$(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$。
(3)
∵$M(m,-m^2+m+6)$、$N(n,-n^2+n+6)$在$l':y=-2x+b$上，
∴$-m^2+m+6=-2m+b$①，$-n^2+n+6=-2n+b$②，
②-①得：$m=3-n$。
设直线$BM$的解析式为$y=px+6$，代入$M$得$pm+6=-m^2+m+6$，解得$p=-m+1$，故$BM:y=(-m+1)x+6$。
设直线$AN$的解析式为$y=qx+c$，代入$A(3,0)$、$N$得$\begin{cases}3q+c=0 \\nq+c=-n^2+n+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}q=-(n+2) \\c=3(n+2)\end{cases}$，故$AN:y=-(n+2)x+3(n+2)$。
联立$BM$与$AN$的解析式，得$\begin{cases}y=(-m+1)x+6 \\y=-(n+2)x+3(n+2)\end{cases}$，代入$m=3-n$，化简得$2nx=3n$，解得$x=\frac{3}{2}$（$n≠0$）。
故点$Q$的横坐标为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $9$；
(2) $(\frac{9}{4},\frac{3}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{21}{2})$；
(3) $\frac{3}{2}$；
【知识点】
一次函数应用、三角形面积、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查一次函数的图象与性质、三角形面积计算、等腰三角形及全等三角形的应用，第(2)问需构造辅助线转化角度关系，第(3)问需利用点在直线上的条件推导变量关系，对学生的几何转化和代数运算能力要求较高，是一道综合性较强的一次函数压轴题。
【难度系数】
0.4
