登录
1. 规定一种新运算:$a※b=a^{2}-2ab+b$. 如$2※3=2^{2}-2×2×3+3=-5$,则$(-1)※4$的值为（
A.11
B.13
C.$-3$
D.$-5$
B
）A.11
B.13
C.$-3$
D.$-5$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道新定义运算的题目，解题的核心思路是先准确理解题目给出的新运算“※”的规则：a※b等于a的平方减去2倍的a乘b再加上b。计算(-1)※4时，只需要将对应位置的a替换为-1、b替换为4，代入给定的运算公式，再按照有理数混合运算的顺序逐步计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据题中给出的新运算规则$a※b = a^2 - 2ab + b$，
在计算$(-1)※4$时，对应参数$a=-1$，$b=4$，将其代入运算公式：
$\begin{aligned}(-1)※4&=(-1)^2 - 2×(-1)×4 + 4\\&=1 + 8 + 4\\&=13\end{aligned}$
所以$(-1)※4$的值为13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查学生对陌生运算规则的理解迁移能力，只要准确对应a、b的取值，代入计算时注意负数的乘方、负负得正的符号规则，避免低级计算错误，就可以顺利得出答案。
【难度系数】
0.9
这是一道新定义运算的题目，解题的核心思路是先准确理解题目给出的新运算“※”的规则：a※b等于a的平方减去2倍的a乘b再加上b。计算(-1)※4时，只需要将对应位置的a替换为-1、b替换为4，代入给定的运算公式，再按照有理数混合运算的顺序逐步计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据题中给出的新运算规则$a※b = a^2 - 2ab + b$，
在计算$(-1)※4$时，对应参数$a=-1$，$b=4$，将其代入运算公式：
$\begin{aligned}(-1)※4&=(-1)^2 - 2×(-1)×4 + 4\\&=1 + 8 + 4\\&=13\end{aligned}$
所以$(-1)※4$的值为13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查学生对陌生运算规则的理解迁移能力，只要准确对应a、b的取值，代入计算时注意负数的乘方、负负得正的符号规则，避免低级计算错误，就可以顺利得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 已知 $a,b$ 为有理数,给出下列条件:①$a+$
$b=0;$②$a-b=0;$③$ab＜0;$④$\dfrac{a}{b}=-1.$其中能判断 $a,b$ 互为相反数的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
$b=0;$②$a-b=0;$③$ab＜0;$④$\dfrac{a}{b}=-1.$其中能判断 $a,b$ 互为相反数的有 （
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
我们首先明确相反数的核心判定规则：若两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数。接下来逐个对4个给定条件进行推导验证，判断每个条件能否推出a+b=0：首先条件①直接给出a+b=0，显然符合要求；条件②a-b=0只能推出a=b，是两数相等的关系，不符合相反数的要求；条件③ab＜0仅能说明两数异号，异号的数相加不一定为0，无法判定互为相反数；条件④a/b=-1隐含b≠0，变形后可得a=-b，即a+b=0，符合相反数的判定要求。最后统计符合要求的条件数量即可得到答案。
【解析】
解：根据相反数的定义：若有理数a、b满足a+b=0，则a、b互为相反数，逐一分析各条件：
1. 条件①：$a+b=0$，直接满足相反数的定义，可以判定a、b互为相反数；
2. 条件②：$a-b=0$变形可得$a=b$，仅能说明a和b大小相等，无法推出$a+b=0$，不能判定a、b互为相反数；
3. 条件③：$ab＜0$仅能说明a、b符号相反，无法保证两数之和为0，例如$a=3$，$b=-2$时$ab=-6＜0$，但3和-2不互为相反数，因此不能判定a、b互为相反数；
4. 条件④：$\dfrac{a}{b}=-1$，该式隐含分母$b≠0$，两边同乘b得$a=-b$，移项后得$a+b=0$，满足相反数的定义，可以判定a、b互为相反数。
综上，符合要求的条件共2个。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义，有理数运算性质
【点评】
本题重点考察相反数的判定逻辑，设置了多处易混淆的陷阱：很多同学会误将“两数异号”等同于“互为相反数”错选条件③，也容易错把a-b=0的相等关系当成相反数关系，解题时要牢牢抓住“两数和为0”这个相反数的核心等价条件，同时注意分式形式隐含的分母不为0的限制。
【难度系数】
0.6
我们首先明确相反数的核心判定规则：若两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数。接下来逐个对4个给定条件进行推导验证，判断每个条件能否推出a+b=0：首先条件①直接给出a+b=0，显然符合要求；条件②a-b=0只能推出a=b，是两数相等的关系，不符合相反数的要求；条件③ab＜0仅能说明两数异号，异号的数相加不一定为0，无法判定互为相反数；条件④a/b=-1隐含b≠0，变形后可得a=-b，即a+b=0，符合相反数的判定要求。最后统计符合要求的条件数量即可得到答案。
【解析】
解：根据相反数的定义：若有理数a、b满足a+b=0，则a、b互为相反数，逐一分析各条件：
1. 条件①：$a+b=0$，直接满足相反数的定义，可以判定a、b互为相反数；
2. 条件②：$a-b=0$变形可得$a=b$，仅能说明a和b大小相等，无法推出$a+b=0$，不能判定a、b互为相反数；
3. 条件③：$ab＜0$仅能说明a、b符号相反，无法保证两数之和为0，例如$a=3$，$b=-2$时$ab=-6＜0$，但3和-2不互为相反数，因此不能判定a、b互为相反数；
4. 条件④：$\dfrac{a}{b}=-1$，该式隐含分母$b≠0$，两边同乘b得$a=-b$，移项后得$a+b=0$，满足相反数的定义，可以判定a、b互为相反数。
综上，符合要求的条件共2个。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义，有理数运算性质
【点评】
本题重点考察相反数的判定逻辑，设置了多处易混淆的陷阱：很多同学会误将“两数异号”等同于“互为相反数”错选条件③，也容易错把a-b=0的相等关系当成相反数关系，解题时要牢牢抓住“两数和为0”这个相反数的核心等价条件，同时注意分式形式隐含的分母不为0的限制。
【难度系数】
0.6
3. 如图,已知A,B两点在数轴上表示的数分别为a,b,则下列式子正确的是 （
A.$ab＞0$
B.$a+b＜0$
C.$(b-1)(a+1)＞0$
D.$(b-1)(a-1)＞0$
C
）A.$ab＞0$
B.$a+b＜0$
C.$(b-1)(a+1)＞0$
D.$(b-1)(a-1)＞0$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要从数轴上读取a、b的取值范围：观察数轴可以发现a在-1和0之间，b在1的右侧，也就是-1＜a＜0，b＞1。接下来我们只需要结合有理数的加减、乘法运算法则，逐个判断四个选项中式子的正负，就能筛选出正确的选项了。
【解析】
解：由数轴可得a、b的取值范围：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
对选项A：a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，即$ab＜0$，因此A错误；
对选项B：a的绝对值小于1，b的绝对值大于1，正数的绝对值更大，因此$a+b＞0$，B错误；
对选项C：由$b＞1$可得$b-1＞0$，由$a＞-1$可得$a+1＞0$，两个正数相乘结果为正，即$(b-1)(a+1)＞0$，C正确；
对选项D：由$a＜0$可得$a-1＜0$，又$b-1＞0$，一正一负相乘结果为负，即$(b-1)(a-1)＜0$，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴，有理数乘法，实数大小比较
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，核心考点是利用数轴确定数的取值范围，再结合有理数运算法则判断代数式的符号，解题的关键是先准确拆分每个因式的正负性，不需要算出具体数值就能快速推导结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要从数轴上读取a、b的取值范围：观察数轴可以发现a在-1和0之间，b在1的右侧，也就是-1＜a＜0，b＞1。接下来我们只需要结合有理数的加减、乘法运算法则，逐个判断四个选项中式子的正负，就能筛选出正确的选项了。
【解析】
解：由数轴可得a、b的取值范围：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
对选项A：a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，即$ab＜0$，因此A错误；
对选项B：a的绝对值小于1，b的绝对值大于1，正数的绝对值更大，因此$a+b＞0$，B错误；
对选项C：由$b＞1$可得$b-1＞0$，由$a＞-1$可得$a+1＞0$，两个正数相乘结果为正，即$(b-1)(a+1)＞0$，C正确；
对选项D：由$a＜0$可得$a-1＜0$，又$b-1＞0$，一正一负相乘结果为负，即$(b-1)(a-1)＜0$，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴，有理数乘法，实数大小比较
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，核心考点是利用数轴确定数的取值范围，再结合有理数运算法则判断代数式的符号，解题的关键是先准确拆分每个因式的正负性，不需要算出具体数值就能快速推导结果。
【难度系数】
0.8
4. 给出下列算式:①$(-2\ 026)^{2}$;②$(-2)^{5}$;③$-3^{2\ 026}$;④$4×(-\dfrac{1}{4})^{2}-2^{3}÷(-8)$;⑤$3\ 024÷(-36)-2\ 026$;⑥$(-2)^{3}-\dfrac{1}{6}×5-\dfrac{1}{6}×(-3^{2})$.其中计算结果是负数的有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
4. B 提示:①$(-2\ 026)^{2}＞0$;②$(-2)^{5}＜0$;③$-3^{2\ 026}＜0$;④$4×(-\dfrac{1}{4})^{2}-2^{3}÷(-8)=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}＞0$;⑤$3\ 024÷(-36)-2\ 026=-84-2\ 026=-2\ 110＜0$;⑥$(-2)^{3}-\dfrac{1}{6}×5-\dfrac{1}{6}×(-3^{2})=-8-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{22}{3}＜0$.所以计算结果是负数的有②③⑤⑥,共4个.
解析
【分析】
这道题的核心是判断6个有理数运算式的结果是否为负数，解题思路非常清晰：首先回忆有理数乘方的符号规律，先对简单乘方算式初步判定正负，再对混合运算的算式按照有理数运算顺序逐步计算出结果，最后统计所有结果为负数的算式个数，匹配对应选项即可。计算过程中要特别注意区分带括号和不带括号的乘方的底数，避免符号出错。
【解析】
我们逐个计算判定6个算式的结果正负：
1. 算式①：$(-2026)^2$，负数的偶次幂为正，因此$(-2026)^2=2026^2＞0$，结果为正数；
2. 算式②：$(-2)^5$，负数的奇次幂为负，因此$(-2)^5=-32＜0$，结果为负数；
3. 算式③：$-3^{2026}$，运算优先级中乘方优先于负号，即先计算$3^{2026}$（正数的任何次幂都是正数），再添加负号，因此$-3^{2026}＜0$，结果为负数；
4. 算式④：按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减：
$4×(-\dfrac{1}{4})^{2}-2^{3}÷(-8)=4×\dfrac{1}{16}-8÷(-8)=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}＞0$，结果为正数；
5. 算式⑤：先算除法再算减法：
$3024÷(-36)-2026=-84-2026=-2110＜0$，结果为负数；
6. 算式⑥：先算乘方，再简化计算：
$(-2)^{3}-\dfrac{1}{6}×5-\dfrac{1}{6}×(-3^{2})=-8-\dfrac{5}{6}+\dfrac{9}{6}=-8+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{22}{3}＜0$，结果为负数。
综上，结果为负数的算式是②③⑤⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方符号规则，有理数混合运算，正负数判定
【点评】
本题是有理数运算的基础综合题型，易错点集中在两处：一是混淆$-3^n$和$(-3)^n$的运算逻辑，误判算式③的符号；二是混合运算中去括号、分配律使用时符号出错，导致算式⑥的结果计算错误，解题时严格遵循运算顺序、仔细核对每一步的符号即可避免失误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是判断6个有理数运算式的结果是否为负数，解题思路非常清晰：首先回忆有理数乘方的符号规律，先对简单乘方算式初步判定正负，再对混合运算的算式按照有理数运算顺序逐步计算出结果，最后统计所有结果为负数的算式个数，匹配对应选项即可。计算过程中要特别注意区分带括号和不带括号的乘方的底数，避免符号出错。
【解析】
我们逐个计算判定6个算式的结果正负：
1. 算式①：$(-2026)^2$，负数的偶次幂为正，因此$(-2026)^2=2026^2＞0$，结果为正数；
2. 算式②：$(-2)^5$，负数的奇次幂为负，因此$(-2)^5=-32＜0$，结果为负数；
3. 算式③：$-3^{2026}$，运算优先级中乘方优先于负号，即先计算$3^{2026}$（正数的任何次幂都是正数），再添加负号，因此$-3^{2026}＜0$，结果为负数；
4. 算式④：按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减：
$4×(-\dfrac{1}{4})^{2}-2^{3}÷(-8)=4×\dfrac{1}{16}-8÷(-8)=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}＞0$，结果为正数；
5. 算式⑤：先算除法再算减法：
$3024÷(-36)-2026=-84-2026=-2110＜0$，结果为负数；
6. 算式⑥：先算乘方，再简化计算：
$(-2)^{3}-\dfrac{1}{6}×5-\dfrac{1}{6}×(-3^{2})=-8-\dfrac{5}{6}+\dfrac{9}{6}=-8+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{22}{3}＜0$，结果为负数。
综上，结果为负数的算式是②③⑤⑥，共4个。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方符号规则，有理数混合运算，正负数判定
【点评】
本题是有理数运算的基础综合题型，易错点集中在两处：一是混淆$-3^n$和$(-3)^n$的运算逻辑，误判算式③的符号；二是混合运算中去括号、分配律使用时符号出错，导致算式⑥的结果计算错误，解题时严格遵循运算顺序、仔细核对每一步的符号即可避免失误。
【难度系数】
0.7
5. 在一列数 $x_1,x_2,x_3,···$ 中, 已知 $x_1=1$, 且当
$k ≥ 2$ 时, $x_k=x_{k-1}+1-4([\dfrac{k-1}{4}]- $$ [\dfrac{k-2}{4}])$ (符号 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数, 例如 $[2.6]=2,[0.2]=0)$, 则 $x_{{2025}}$ 的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
$k ≥ 2$ 时, $x_k=x_{k-1}+1-4([\dfrac{k-1}{4}]- $$ [\dfrac{k-2}{4}])$ (符号 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数, 例如 $[2.6]=2,[0.2]=0)$, 则 $x_{{2025}}$ 的值为（
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5. A 提示:由题意,得$x_1=1,x_2=2,x_3=3$,$x_4=4,x_5=1,\dots$,所以此列数中每4个数据为一次循环.因为$2\ 025÷4=506······1$,所以$x_{2\ 025}=x_1=1$.
解析
【分析】
这道题给出了带取整运算的数列递推公式，直接递推计算到第2025项显然不现实，因此解题的核心思路是先从已知的首项出发，依次代入k=2、3、4…计算数列的前若干项，观察数列的变化规律。这类包含取整函数的递推数列通常具备周期性，找到周期后就可以通过求2025除以周期的余数，对应得到x₂₀₂₅的取值。我们可以先明确取整函数[a]的规则：不超过a的最大整数，先计算每一项中[(k-1)/4]-[(k-2)/4]的取值，再代入递推式得到对应的x_k，就能快速发现循环规律。
【解析】
1. 明确已知条件：首项$x_1=1$，递推式为$x_k=x_{k-1}+1-4([\dfrac{k-1}{4}]-[\dfrac{k-2}{4}])$，取整函数$[a]$表示不超过$a$的最大整数。
2. 依次计算数列前几项：
当$k=2$时：$[\dfrac{2-1}{4}]-[\dfrac{2-2}{4}]=[\dfrac{1}{4}]-[0]=0-0=0$，因此$x_2=x_1+1-4×0=1+1=2$；
当$k=3$时：$[\dfrac{3-1}{4}]-[\dfrac{3-2}{4}]=[\dfrac{2}{4}]-[\dfrac{1}{4}]=0-0=0$，因此$x_3=x_2+1-0=2+1=3$；
当$k=4$时：$[\dfrac{4-1}{4}]-[\dfrac{4-2}{4}]=[\dfrac{3}{4}]-[\dfrac{2}{4}]=0-0=0$，因此$x_4=x_3+1-0=3+1=4$；
当$k=5$时：$[\dfrac{5-1}{4}]-[\dfrac{5-2}{4}]=[1]-[\dfrac{3}{4}]=1-0=1$，因此$x_5=x_4+1-4×1=4+1-4=1$；
当$k=6$时：$[\dfrac{6-1}{4}]-[\dfrac{6-2}{4}]=[\dfrac{5}{4}]-[1]=1-1=0$，因此$x_6=x_5+1-0=1+1=2$；
此时可发现数列取值按1,2,3,4重复出现，即数列的周期$T=4$。
3. 计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$x_{2025}$等于周期中的第1项，即$x_{2025}=x_1=1$。
【答案】A
【知识点】
高斯函数，周期数列，数列递推
【点评】
本题属于规律探究类数列题，不需要复杂的代数推导，核心是通过计算前几项归纳出数列的周期性质，考察学生对新定义取整函数的理解能力和规律归纳能力，易错点是计算取整的差值时出错，得到错误的前项进而找错周期。
【难度系数】
0.7
这道题给出了带取整运算的数列递推公式，直接递推计算到第2025项显然不现实，因此解题的核心思路是先从已知的首项出发，依次代入k=2、3、4…计算数列的前若干项，观察数列的变化规律。这类包含取整函数的递推数列通常具备周期性，找到周期后就可以通过求2025除以周期的余数，对应得到x₂₀₂₅的取值。我们可以先明确取整函数[a]的规则：不超过a的最大整数，先计算每一项中[(k-1)/4]-[(k-2)/4]的取值，再代入递推式得到对应的x_k，就能快速发现循环规律。
【解析】
1. 明确已知条件：首项$x_1=1$，递推式为$x_k=x_{k-1}+1-4([\dfrac{k-1}{4}]-[\dfrac{k-2}{4}])$，取整函数$[a]$表示不超过$a$的最大整数。
2. 依次计算数列前几项：
当$k=2$时：$[\dfrac{2-1}{4}]-[\dfrac{2-2}{4}]=[\dfrac{1}{4}]-[0]=0-0=0$，因此$x_2=x_1+1-4×0=1+1=2$；
当$k=3$时：$[\dfrac{3-1}{4}]-[\dfrac{3-2}{4}]=[\dfrac{2}{4}]-[\dfrac{1}{4}]=0-0=0$，因此$x_3=x_2+1-0=2+1=3$；
当$k=4$时：$[\dfrac{4-1}{4}]-[\dfrac{4-2}{4}]=[\dfrac{3}{4}]-[\dfrac{2}{4}]=0-0=0$，因此$x_4=x_3+1-0=3+1=4$；
当$k=5$时：$[\dfrac{5-1}{4}]-[\dfrac{5-2}{4}]=[1]-[\dfrac{3}{4}]=1-0=1$，因此$x_5=x_4+1-4×1=4+1-4=1$；
当$k=6$时：$[\dfrac{6-1}{4}]-[\dfrac{6-2}{4}]=[\dfrac{5}{4}]-[1]=1-1=0$，因此$x_6=x_5+1-0=1+1=2$；
此时可发现数列取值按1,2,3,4重复出现，即数列的周期$T=4$。
3. 计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$x_{2025}$等于周期中的第1项，即$x_{2025}=x_1=1$。
【答案】A
【知识点】
高斯函数，周期数列，数列递推
【点评】
本题属于规律探究类数列题，不需要复杂的代数推导，核心是通过计算前几项归纳出数列的周期性质，考察学生对新定义取整函数的理解能力和规律归纳能力，易错点是计算取整的差值时出错，得到错误的前项进而找错周期。
【难度系数】
0.7
6. 观察下列各式：
$\frac{1^{2}+1-1}{1^{2}+1}=1-\frac{1}{1^{2}+1}=1-(1-\frac{1}{2});$
$\frac{2^{2}+2-1}{2^{2}+2}=1-\frac{1}{2^{2}+2}=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3});$
$\frac{3^{2}+3-1}{3^{2}+3}=1-\frac{1}{3^{2}+3}=1-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4});$
…
$\mathrm{计算：}\frac{1}{2}+\frac{5}{2^{2}+2}+\frac{11}{3^{2}+3}+\dots+\frac{2\ 025^{2}+2\ 025-1}{2\ 025^{2}+2\ 025}=\underline{\qquad\qquad}.$
$\frac{1^{2}+1-1}{1^{2}+1}=1-\frac{1}{1^{2}+1}=1-(1-\frac{1}{2});$
$\frac{2^{2}+2-1}{2^{2}+2}=1-\frac{1}{2^{2}+2}=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3});$
$\frac{3^{2}+3-1}{3^{2}+3}=1-\frac{1}{3^{2}+3}=1-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4});$
…
$\mathrm{计算：}\frac{1}{2}+\frac{5}{2^{2}+2}+\frac{11}{3^{2}+3}+\dots+\frac{2\ 025^{2}+2\ 025-1}{2\ 025^{2}+2\ 025}=\underline{\qquad\qquad}.$
答案
6. $2\ 024\dfrac{1}{2\ 026}$ 提示:由题意,得原式$=[1-(1-\dfrac{1}{2})]+[1-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})]+[1-(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})]+\dots+[1-(\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 026})]=2\ 025×1-(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 026})=2\ 025-1+\dfrac{1}{2\ 026}=2\ 024\dfrac{1}{2\ 026}$.
解析
【分析】
首先观察题干给出的三个等式，先归纳出通项的变形规则：第n项$\frac{n^2+n-1}{n^2+n}$可以拆分为$1-(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$。接下来确认要求和的总项数：从n=1到n=2025，一共2025项。将每一项按照拆分规则展开后，所有的常数1可以先求和，剩余的分数部分是典型的裂项相消结构，中间的正负分数会两两抵消，仅剩下首尾两项，无需复杂通分就能快速算出最终结果。
【解析】
解：根据题干给出的变形规律，可得第n项的拆分形式为：
$\frac{n^2+n-1}{n^2+n}=1-\frac{1}{n^2+n}=1-(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
原式从n=1到n=2025共2025项，代入拆分形式展开得：
$\begin{aligned}原式&=[1-(1-\frac{1}{2})]+[1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})]+[1-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})]+\dots+[1-(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})]\\&=2025×1-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=2025-(1-\frac{1}{2026})\\&=2025-1+\frac{1}{2026}\\&=2024\frac{1}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$2\ 024\dfrac{1}{2\ 026}$
【知识点】
裂项相消求和，数字规律探究，分式恒等变形
【点评】
本题属于规律探究类的数列求和题，核心考点是利用题干给出的示例归纳出通项拆分规则，再通过裂项相消抵消中间冗余项，大幅简化运算，避免了复杂的大数通分计算。解题时要注意准确数出总项数，确认裂项抵消后剩余的首尾项，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
首先观察题干给出的三个等式，先归纳出通项的变形规则：第n项$\frac{n^2+n-1}{n^2+n}$可以拆分为$1-(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$。接下来确认要求和的总项数：从n=1到n=2025，一共2025项。将每一项按照拆分规则展开后，所有的常数1可以先求和，剩余的分数部分是典型的裂项相消结构，中间的正负分数会两两抵消，仅剩下首尾两项，无需复杂通分就能快速算出最终结果。
【解析】
解：根据题干给出的变形规律，可得第n项的拆分形式为：
$\frac{n^2+n-1}{n^2+n}=1-\frac{1}{n^2+n}=1-(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
原式从n=1到n=2025共2025项，代入拆分形式展开得：
$\begin{aligned}原式&=[1-(1-\frac{1}{2})]+[1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})]+[1-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})]+\dots+[1-(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})]\\&=2025×1-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=2025-(1-\frac{1}{2026})\\&=2025-1+\frac{1}{2026}\\&=2024\frac{1}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$2\ 024\dfrac{1}{2\ 026}$
【知识点】
裂项相消求和，数字规律探究，分式恒等变形
【点评】
本题属于规律探究类的数列求和题，核心考点是利用题干给出的示例归纳出通项拆分规则，再通过裂项相消抵消中间冗余项，大幅简化运算，避免了复杂的大数通分计算。解题时要注意准确数出总项数，确认裂项抵消后剩余的首尾项，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
7. 如图,数轴上点 $M,N$ 表示的数分别是 $m$,
$n,m-n=8$.$P$ 为数轴上一点,其表示的数为 $p$.若点 $P$ 移动时,$|p-m|+|p-n|$ 的值始终保持不变,则当 $|p-m|=4|p-n|$时,$|p-n|=$
$n,m-n=8$.$P$ 为数轴上一点,其表示的数为 $p$.若点 $P$ 移动时,$|p-m|+|p-n|$ 的值始终保持不变,则当 $|p-m|=4|p-n|$时,$|p-n|=$
$\dfrac{8}{5}$
.答案
7. $\dfrac{8}{5}$
解析
【分析】
我们先从已知条件入手：首先从数轴能看出m是正数、n是负数，已知m-n=8，说明点M和点N之间的距离就是8。接下来回忆绝对值的几何意义：|p-m|代表点P到点M的距离，|p-n|代表点P到点N的距离。题目说P移动时这两个绝对值的和始终不变，根据几何性质，只有当P落在线段MN上时，P到M、N的距离之和才会恒等于MN的长度，也就是固定为8，不会随P的位置变化。最后结合给出的|p-m|=4|p-n|的条件，把两个式子联立就能直接求出|p-n|的值。
【解析】
1. 由数轴可知m＞0＞n，结合已知m-n=8，可得线段MN的长度为：
$MN = m - n = 8$
2. 根据绝对值的几何意义，$|p-m|$是点P到M的距离，$|p-n|$是点P到N的距离。当点P在线段MN上运动时，P到M、N的距离之和恒等于线段MN的长度，即：
$|p-m| + |p-n| = MN = 8$，满足“值始终保持不变”的条件。
3. 将条件$|p-m|=4|p-n|$代入上式：
$4|p-n| + |p-n| = 8$
$5|p-n| = 8$
解得：$|p-n|=\frac{8}{5}$
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题型，核心是利用绝对值的几何意义跳过复杂的代数分类讨论，直接从“距离和固定”的条件得到两距离之和等于MN的长度，联立方程即可快速求解，能很好地考察学生对绝对值几何含义的理解程度。
【难度系数】
0.6
我们先从已知条件入手：首先从数轴能看出m是正数、n是负数，已知m-n=8，说明点M和点N之间的距离就是8。接下来回忆绝对值的几何意义：|p-m|代表点P到点M的距离，|p-n|代表点P到点N的距离。题目说P移动时这两个绝对值的和始终不变，根据几何性质，只有当P落在线段MN上时，P到M、N的距离之和才会恒等于MN的长度，也就是固定为8，不会随P的位置变化。最后结合给出的|p-m|=4|p-n|的条件，把两个式子联立就能直接求出|p-n|的值。
【解析】
1. 由数轴可知m＞0＞n，结合已知m-n=8，可得线段MN的长度为：
$MN = m - n = 8$
2. 根据绝对值的几何意义，$|p-m|$是点P到M的距离，$|p-n|$是点P到N的距离。当点P在线段MN上运动时，P到M、N的距离之和恒等于线段MN的长度，即：
$|p-m| + |p-n| = MN = 8$，满足“值始终保持不变”的条件。
3. 将条件$|p-m|=4|p-n|$代入上式：
$4|p-n| + |p-n| = 8$
$5|p-n| = 8$
解得：$|p-n|=\frac{8}{5}$
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题型，核心是利用绝对值的几何意义跳过复杂的代数分类讨论，直接从“距离和固定”的条件得到两距离之和等于MN的长度，联立方程即可快速求解，能很好地考察学生对绝对值几何含义的理解程度。
【难度系数】
0.6
8. 若三个互不相等的有理数，既可以表示为$1,a+b,a$的形式，又可以表示为$0,\dfrac{b}{a},b$的形式，则$a^{2\,026}+b^{2\,025}$的值为
2
.答案
8. 2 提示:由题意,得$a+b$与$a$中有一个是0,$\dfrac{b}{a}$与$b$中有一个是1.若$a=0$,则$\dfrac{b}{a}$无意义,所以$a≠0$.所以$a+b=0$,即$\dfrac{b}{a}=-1$.所以$b=1,a=-1$.所以原式$=(-1)^{2\ 026}+1^{2\ 025}=1+1=2$.
解析
【分析】
首先题目给出的两组数是由完全相同的三个互不相等的有理数组成的，说明两个数集的元素完全对应相等。第一步先定位特殊元素：第一组包含元素1，第二组包含元素0，因此第一组的两个未知元素a+b、a中必有一个等于0，第二组的两个未知元素b/a、b中必有一个等于1。接下来先排除不可能的情况：因为第二组出现了分式b/a，分母不能为0，所以a≠0，因此只能是a+b=0，也就是a和b互为相反数，此时b/a = -1。再结合两组元素完全相等的约束，即可推出a、b的具体取值，最后代入代数式计算乘方结果即可。
【解析】
解：由题意可知，两组数的元素完全相同，且三个有理数互不相等：
1. 推导0的对应关系：第一组元素为$1,a+b,a$，其中必有一个元素为0；由于分式$\frac{b}{a}$的分母不能为0，即$a≠0$，因此可得$a+b=0$，即$a=-b$。
2. 代入化简得$\frac{b}{a}=\frac{b}{-b}=-1$，此时第二组的三个元素为$0,-1,b$，第一组的三个元素为$1,0,a$。
3. 结合两组元素完全相等的性质，可得$b=1$，进而$a=-1$，满足三个数互不相等的约束条件。
4. 代入代数式计算：
$a^{2026}+b^{2025}=(-1)^{2026}+1^{2025}=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
集合元素互异性，分式有意义条件，有理数乘方
【点评】
本题利用两个相等数集的性质推导参数，解题核心是优先通过分式分母不为0排除a=0的错误情况，避免出现无意义的推导，同时要注意验证三个有理数互不相等的限制条件，防止忽略隐含约束导致错解，属于有理数章节的经典易错题。
【难度系数】
0.6
首先题目给出的两组数是由完全相同的三个互不相等的有理数组成的，说明两个数集的元素完全对应相等。第一步先定位特殊元素：第一组包含元素1，第二组包含元素0，因此第一组的两个未知元素a+b、a中必有一个等于0，第二组的两个未知元素b/a、b中必有一个等于1。接下来先排除不可能的情况：因为第二组出现了分式b/a，分母不能为0，所以a≠0，因此只能是a+b=0，也就是a和b互为相反数，此时b/a = -1。再结合两组元素完全相等的约束，即可推出a、b的具体取值，最后代入代数式计算乘方结果即可。
【解析】
解：由题意可知，两组数的元素完全相同，且三个有理数互不相等：
1. 推导0的对应关系：第一组元素为$1,a+b,a$，其中必有一个元素为0；由于分式$\frac{b}{a}$的分母不能为0，即$a≠0$，因此可得$a+b=0$，即$a=-b$。
2. 代入化简得$\frac{b}{a}=\frac{b}{-b}=-1$，此时第二组的三个元素为$0,-1,b$，第一组的三个元素为$1,0,a$。
3. 结合两组元素完全相等的性质，可得$b=1$，进而$a=-1$，满足三个数互不相等的约束条件。
4. 代入代数式计算：
$a^{2026}+b^{2025}=(-1)^{2026}+1^{2025}=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
集合元素互异性，分式有意义条件，有理数乘方
【点评】
本题利用两个相等数集的性质推导参数，解题核心是优先通过分式分母不为0排除a=0的错误情况，避免出现无意义的推导，同时要注意验证三个有理数互不相等的限制条件，防止忽略隐含约束导致错解，属于有理数章节的经典易错题。
【难度系数】
0.6
9. 计算：
(1) $2 × (-3)^2 - 5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)$；
(2) $-3^2 - \dfrac{1}{3} × [(-5)^2 × (-\dfrac{3}{5}) - 240 ÷ (-4) × \dfrac{1}{4}]$；
(3) $20\dfrac{1}{12} + 40\dfrac{1}{20} + 60\dfrac{1}{30} - |0-1|^4 × (9\dfrac{41}{42} + 29\dfrac{55}{56} + 49\dfrac{71}{72}).$
(1) $2 × (-3)^2 - 5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)$；
(2) $-3^2 - \dfrac{1}{3} × [(-5)^2 × (-\dfrac{3}{5}) - 240 ÷ (-4) × \dfrac{1}{4}]$；
(3) $20\dfrac{1}{12} + 40\dfrac{1}{20} + 60\dfrac{1}{30} - |0-1|^4 × (9\dfrac{41}{42} + 29\dfrac{55}{56} + 49\dfrac{71}{72}).$
答案
9. 解:(1) 原式$=2×9-(-10)×(-2)=18-20=-2$.
(2) 原式$=-9-\dfrac{1}{3}×[25×(-\dfrac{3}{5})-(-60)×\dfrac{1}{4}]=-9-\dfrac{1}{3}×(-15+15)=-9-0=-9$.
(3) 原式$=20+\dfrac{1}{12}+40+\dfrac{1}{20}+60+\dfrac{1}{30}-1×(10-\dfrac{1}{42}+30-\dfrac{1}{56}+50-\dfrac{1}{72})=120+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}-(90-\dfrac{1}{6×7}-\dfrac{1}{7×8}-\dfrac{1}{8×9})=120+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}-90+\dfrac{1}{6×7}+\dfrac{1}{7×8}+\dfrac{1}{8×9}=30+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}=30+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=30\dfrac{2}{9}$.
(2) 原式$=-9-\dfrac{1}{3}×[25×(-\dfrac{3}{5})-(-60)×\dfrac{1}{4}]=-9-\dfrac{1}{3}×(-15+15)=-9-0=-9$.
(3) 原式$=20+\dfrac{1}{12}+40+\dfrac{1}{20}+60+\dfrac{1}{30}-1×(10-\dfrac{1}{42}+30-\dfrac{1}{56}+50-\dfrac{1}{72})=120+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}-(90-\dfrac{1}{6×7}-\dfrac{1}{7×8}-\dfrac{1}{8×9})=120+\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}-90+\dfrac{1}{6×7}+\dfrac{1}{7×8}+\dfrac{1}{8×9}=30+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}=30+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=30\dfrac{2}{9}$.
解析
【分析】
这是三道有理数混合运算题，解题思路遵循有理数混合运算的优先级规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的部分。
1. 第(1)题：先计算乘方项$(-3)^2$，再分别计算乘除部分，注意除以一个分数等价于乘以它的倒数，运算过程中留意负号的数量确定符号，最后做加减运算即可。
2. 第(2)题：首先注意区分$-3^2$和$(-3)^2$，前者结果为-9，不要误算为9；之后先计算中括号内的乘方，再算中括号内的乘除，最后合并中括号内的项，发现中括号内结果为0可简化后续计算。
3. 第(3)题：先把所有带分数拆分为整数部分加分数部分，同时计算绝对值的乘方得结果为1，再观察分数的特征，将形如$9\dfrac{41}{42}$的带分数改写为整十数减去一个单位分数，所有单位分数恰好符合裂项相消的形式，通过裂项抵消中间项，无需复杂通分即可快速算出结果。
【解析】
(1) 计算$2 × (-3)^2 - 5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)$
先计算乘方：$(-3)^2=9$
再计算乘除部分：$5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)=5×(-2)×(-2)=20$
代入原式得：
原式$=2×9 - 20 = 18 - 20 = -2$
(2) 计算$-3^2 - \dfrac{1}{3} × [(-5)^2 × (-\dfrac{3}{5}) - 240 ÷ (-4) × \dfrac{1}{4}]$
先计算乘方：$-3^2=-9$，$(-5)^2=25$
再计算中括号内的乘除部分：$25×(-\dfrac{3}{5})=-15$，$240÷(-4)×\dfrac{1}{4}=-15$
合并中括号内的项：$-15 - (-15)=0$
代入原式得：
原式$=-9 - \dfrac{1}{3}×0 = -9 - 0 = -9$
(3) 计算$20\dfrac{1}{12} + 40\dfrac{1}{20} + 60\dfrac{1}{30} - |0-1|^4 × (9\dfrac{41}{42} + 29\dfrac{55}{56} + 49\dfrac{71}{72})$
第一步拆分带分数、计算绝对值乘方：
$20\dfrac{1}{12}=20+\dfrac{1}{12}$，$40\dfrac{1}{20}=40+\dfrac{1}{20}$，$60\dfrac{1}{30}=60+\dfrac{1}{30}$，$|0-1|^4=1$
$9\dfrac{41}{42}=10-\dfrac{1}{42}$，$29\dfrac{55}{56}=30-\dfrac{1}{56}$，$49\dfrac{71}{72}=50-\dfrac{1}{72}$
代入原式整理：
原式$=(20+40+60)+(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}) - 1×[(10+30+50)-(\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{56}+\dfrac{1}{72})]$
将分数改写为裂项形式：
$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3×4}$，$\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{4×5}$，$\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{5×6}$，$\dfrac{1}{42}=\dfrac{1}{6×7}$，$\dfrac{1}{56}=\dfrac{1}{7×8}$，$\dfrac{1}{72}=\dfrac{1}{8×9}$
代入后展开抵消：
原式$=120 + (\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}) - 90 + (\dfrac{1}{6×7}+\dfrac{1}{7×8}+\dfrac{1}{8×9})$
$=30 + (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9})$
$=30 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = 30\dfrac{2}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-9}$；(3) $\boldsymbol{30\dfrac{2}{9}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，裂项相消法
【点评】
本题是有理数运算的综合训练题，前两题重点考察基础运算规则，易错点集中在乘方的符号判断、同级乘除运算的符号处理，第三题跳出硬算的常规思路，引导学生观察算式特征，通过拆分带分数、裂项相消大幅简化计算，能有效提升学生的巧算意识和数感。
【难度系数】
0.6
这是三道有理数混合运算题，解题思路遵循有理数混合运算的优先级规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的部分。
1. 第(1)题：先计算乘方项$(-3)^2$，再分别计算乘除部分，注意除以一个分数等价于乘以它的倒数，运算过程中留意负号的数量确定符号，最后做加减运算即可。
2. 第(2)题：首先注意区分$-3^2$和$(-3)^2$，前者结果为-9，不要误算为9；之后先计算中括号内的乘方，再算中括号内的乘除，最后合并中括号内的项，发现中括号内结果为0可简化后续计算。
3. 第(3)题：先把所有带分数拆分为整数部分加分数部分，同时计算绝对值的乘方得结果为1，再观察分数的特征，将形如$9\dfrac{41}{42}$的带分数改写为整十数减去一个单位分数，所有单位分数恰好符合裂项相消的形式，通过裂项抵消中间项，无需复杂通分即可快速算出结果。
【解析】
(1) 计算$2 × (-3)^2 - 5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)$
先计算乘方：$(-3)^2=9$
再计算乘除部分：$5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) × (-2)=5×(-2)×(-2)=20$
代入原式得：
原式$=2×9 - 20 = 18 - 20 = -2$
(2) 计算$-3^2 - \dfrac{1}{3} × [(-5)^2 × (-\dfrac{3}{5}) - 240 ÷ (-4) × \dfrac{1}{4}]$
先计算乘方：$-3^2=-9$，$(-5)^2=25$
再计算中括号内的乘除部分：$25×(-\dfrac{3}{5})=-15$，$240÷(-4)×\dfrac{1}{4}=-15$
合并中括号内的项：$-15 - (-15)=0$
代入原式得：
原式$=-9 - \dfrac{1}{3}×0 = -9 - 0 = -9$
(3) 计算$20\dfrac{1}{12} + 40\dfrac{1}{20} + 60\dfrac{1}{30} - |0-1|^4 × (9\dfrac{41}{42} + 29\dfrac{55}{56} + 49\dfrac{71}{72})$
第一步拆分带分数、计算绝对值乘方：
$20\dfrac{1}{12}=20+\dfrac{1}{12}$，$40\dfrac{1}{20}=40+\dfrac{1}{20}$，$60\dfrac{1}{30}=60+\dfrac{1}{30}$，$|0-1|^4=1$
$9\dfrac{41}{42}=10-\dfrac{1}{42}$，$29\dfrac{55}{56}=30-\dfrac{1}{56}$，$49\dfrac{71}{72}=50-\dfrac{1}{72}$
代入原式整理：
原式$=(20+40+60)+(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}) - 1×[(10+30+50)-(\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{56}+\dfrac{1}{72})]$
将分数改写为裂项形式：
$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3×4}$，$\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{4×5}$，$\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{5×6}$，$\dfrac{1}{42}=\dfrac{1}{6×7}$，$\dfrac{1}{56}=\dfrac{1}{7×8}$，$\dfrac{1}{72}=\dfrac{1}{8×9}$
代入后展开抵消：
原式$=120 + (\dfrac{1}{3×4}+\dfrac{1}{4×5}+\dfrac{1}{5×6}) - 90 + (\dfrac{1}{6×7}+\dfrac{1}{7×8}+\dfrac{1}{8×9})$
$=30 + (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9})$
$=30 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = 30\dfrac{2}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-9}$；(3) $\boldsymbol{30\dfrac{2}{9}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，裂项相消法
【点评】
本题是有理数运算的综合训练题，前两题重点考察基础运算规则，易错点集中在乘方的符号判断、同级乘除运算的符号处理，第三题跳出硬算的常规思路，引导学生观察算式特征，通过拆分带分数、裂项相消大幅简化计算，能有效提升学生的巧算意识和数感。
【难度系数】
0.6
