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8. $x$ 的$\frac{1}{3}$与4的差不小于2，用不等式表示为
$\frac{1}{3}x-4≥ 2$
。答案
8.$\frac{1}{3}x-4≥ 2$
解析
【分析】
解题时先逐句拆解题目中的文字表述，将其转化为对应的数学式子：首先明确“x的$\frac{1}{3}$”就是用$\frac{1}{3}$乘x，得到$\frac{1}{3}x$；再理解“与4的差”是用前面得到的式子减去4；最后抓住关键词“不小于”，它的含义是大于或者等于，对应不等号“≥”，按运算顺序组合即可得到不等式。
【解析】
第一步：表示“x的$\frac{1}{3}$”，列代数式为$\frac{1}{3}x$；
第二步：表示“$\frac{1}{3}x$与4的差”，列代数式为$\frac{1}{3}x - 4$；
第三步：理解“不小于2”即大于等于2，对应不等号为≥，将上述代数式与2用不等号连接，得到不等式$\frac{1}{3}x - 4 ≥ 2$。
【答案】
$\frac{1}{3}x - 4 ≥ 2$
【知识点】
1. 列不等式
2. 不等关系的文字与符号转化
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握常见不等关系表述对应的符号，解题时要注意运算顺序和不等号的准确选择，避免因误解“不小于”等关键词、或搞反减法的前后项出错。
【难度系数】
0.9
解题时先逐句拆解题目中的文字表述，将其转化为对应的数学式子：首先明确“x的$\frac{1}{3}$”就是用$\frac{1}{3}$乘x，得到$\frac{1}{3}x$；再理解“与4的差”是用前面得到的式子减去4；最后抓住关键词“不小于”，它的含义是大于或者等于，对应不等号“≥”，按运算顺序组合即可得到不等式。
【解析】
第一步：表示“x的$\frac{1}{3}$”，列代数式为$\frac{1}{3}x$；
第二步：表示“$\frac{1}{3}x$与4的差”，列代数式为$\frac{1}{3}x - 4$；
第三步：理解“不小于2”即大于等于2，对应不等号为≥，将上述代数式与2用不等号连接，得到不等式$\frac{1}{3}x - 4 ≥ 2$。
【答案】
$\frac{1}{3}x - 4 ≥ 2$
【知识点】
1. 列不等式
2. 不等关系的文字与符号转化
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握常见不等关系表述对应的符号，解题时要注意运算顺序和不等号的准确选择，避免因误解“不小于”等关键词、或搞反减法的前后项出错。
【难度系数】
0.9
9.若$-3＜x＜2$，则$\_\_\_\_\_\_＜\dfrac{3x-5}{2}＜\_\_\_\_\_\_$
答案
9.$-7$ $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题已知x的取值范围，要求含x的代数式$\dfrac{3x-5}{2}$的取值范围，解题核心是利用不等式的基本性质，对已知的x的范围逐步进行同解变形，最终将不等式中间部分转化为目标代数式即可。变形时要注意：给不等式两边同时乘或除以同一个正数时，不等号方向保持不变。
【解析】
已知$-3 ＜ x ＜ 2$，根据不等式的基本性质逐步变形：
1. 给不等式三边同时乘3（3为正数，不等号方向不变），得：
$-3×3 ＜ 3x ＜ 2×3$，即$-9 ＜ 3x ＜ 6$
2. 给不等式三边同时减5，不等号方向不变，得：
$-9-5 ＜ 3x-5 ＜ 6-5$，即$-14 ＜ 3x-5 ＜ 1$
3. 给不等式三边同时除以2（2为正数，不等号方向不变），得：
$\dfrac{-14}{2} ＜ \dfrac{3x-5}{2} ＜ \dfrac{1}{2}$，即$-7 ＜ \dfrac{3x-5}{2} ＜ \dfrac{1}{2}$
【答案】
$-7$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代数式取值范围求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对不等式基本性质的掌握，解题时只需按运算顺序对已知不等式逐步变形，注意乘除正数时不等号方向不变，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题已知x的取值范围，要求含x的代数式$\dfrac{3x-5}{2}$的取值范围，解题核心是利用不等式的基本性质，对已知的x的范围逐步进行同解变形，最终将不等式中间部分转化为目标代数式即可。变形时要注意：给不等式两边同时乘或除以同一个正数时，不等号方向保持不变。
【解析】
已知$-3 ＜ x ＜ 2$，根据不等式的基本性质逐步变形：
1. 给不等式三边同时乘3（3为正数，不等号方向不变），得：
$-3×3 ＜ 3x ＜ 2×3$，即$-9 ＜ 3x ＜ 6$
2. 给不等式三边同时减5，不等号方向不变，得：
$-9-5 ＜ 3x-5 ＜ 6-5$，即$-14 ＜ 3x-5 ＜ 1$
3. 给不等式三边同时除以2（2为正数，不等号方向不变），得：
$\dfrac{-14}{2} ＜ \dfrac{3x-5}{2} ＜ \dfrac{1}{2}$，即$-7 ＜ \dfrac{3x-5}{2} ＜ \dfrac{1}{2}$
【答案】
$-7$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代数式取值范围求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对不等式基本性质的掌握，解题时只需按运算顺序对已知不等式逐步变形，注意乘除正数时不等号方向不变，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
10.关于$x$的不等式$7(x-1)-10＜\dfrac{x+3}{2}+5$的自然数解是
0,1,2,3
.答案
10.0,1,2,3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要按照一元一次不等式的标准求解步骤算出x的取值范围，再从取值范围内筛选出所有自然数即可。解题时需注意：去分母时不要漏乘不等式中不含分母的项，自然数包含0和正整数，不要遗漏0。
【解析】
解不等式$7(x-1)-10＜\dfrac{x+3}{2}+5$：
1. 去分母，不等式两边同时乘2，得：$14(x-1)-20 ＜ x+3 +10$
2. 去括号，得：$14x -14 -20 ＜ x +13$
3. 移项，得：$14x -x ＜ 13 +14 +20$
4. 合并同类项，得：$13x ＜ 47$
5. 系数化为1，得：$x ＜ \dfrac{47}{13} \approx 3.62$
小于3.62的自然数为0、1、2、3。
【答案】
0,1,2,3
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的特殊解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解和特殊解的确定，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，确定自然数解时注意0属于自然数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要按照一元一次不等式的标准求解步骤算出x的取值范围，再从取值范围内筛选出所有自然数即可。解题时需注意：去分母时不要漏乘不等式中不含分母的项，自然数包含0和正整数，不要遗漏0。
【解析】
解不等式$7(x-1)-10＜\dfrac{x+3}{2}+5$：
1. 去分母，不等式两边同时乘2，得：$14(x-1)-20 ＜ x+3 +10$
2. 去括号，得：$14x -14 -20 ＜ x +13$
3. 移项，得：$14x -x ＜ 13 +14 +20$
4. 合并同类项，得：$13x ＜ 47$
5. 系数化为1，得：$x ＜ \dfrac{47}{13} \approx 3.62$
小于3.62的自然数为0、1、2、3。
【答案】
0,1,2,3
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的特殊解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解和特殊解的确定，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，确定自然数解时注意0属于自然数。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为$a$元，第二次买了2件，平均每件价格为$b$元.后来他以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了.请用不等式的性质解释亏钱的原因.
11.某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为$a$元，第二次买了2件，平均每件价格为$b$元.后来他以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了.请用不等式的性质解释亏钱的原因.
答案
11.解:由题意知,买5件货物的平均价格为
$\frac{3a+2b}{5}$元.
$\because$以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出,结果亏钱了,
$\therefore \frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$,
利用不等式的性质,得$a＞b$,
故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高.
$\frac{3a+2b}{5}$元.
$\because$以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出,结果亏钱了,
$\therefore \frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$,
利用不等式的性质,得$a＞b$,
故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高.
解析
【分析】
要解释亏钱的原因，首先明确亏钱的本质是进货总成本大于销售总收入，由于进货总件数和卖出总件数相同，也可等价为进货平均单价大于卖出的平均单价。解题时先计算两次进货的总费用，求出进货的平均单价，再结合售价列出不等式，利用不等式的性质化简得到a、b的大小关系，即可得出亏钱的原因。
【解析】
解：两次一共购买$3+2=5$件货物，总进货费用为$3a+2b$元，因此进货的平均价格为$\frac{3a+2b}{5}$元/件。
已知卖出后亏钱，说明进货平均价格大于卖出的平均价格，可列不等式：
$\frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$
根据不等式的性质，两边同时乘正数10，不等号方向不变，得：
$2(3a+2b)＞5(a+b)$
去括号得：$6a+4b＞5a+5b$
两边同时减去$5a+4b$，不等号方向不变，得：
$a＞b$
即第一次购买的货物单价比第二次高，且第一次购买数量更多，拉高了进货平均成本，使得平均进货价高于平均售价，因此亏钱。
【答案】
由题意知,买5件货物的平均价格为
$\frac{3a+2b}{5}$元.
$\because$以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出,结果亏钱了,
$\therefore \frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$,
利用不等式的性质,得$a＞b$,
故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高.
【知识点】
列代数式；不等式的性质；实际问题与不等式
【点评】
本题结合生活中的买卖场景，需要学生将“亏钱”的生活现象转化为数学中的不等关系，既考查了代数式的列写和运算能力，也考查了对不等式性质的掌握应用，有助于培养学生的数学建模思维。
【难度系数】
0.65
要解释亏钱的原因，首先明确亏钱的本质是进货总成本大于销售总收入，由于进货总件数和卖出总件数相同，也可等价为进货平均单价大于卖出的平均单价。解题时先计算两次进货的总费用，求出进货的平均单价，再结合售价列出不等式，利用不等式的性质化简得到a、b的大小关系，即可得出亏钱的原因。
【解析】
解：两次一共购买$3+2=5$件货物，总进货费用为$3a+2b$元，因此进货的平均价格为$\frac{3a+2b}{5}$元/件。
已知卖出后亏钱，说明进货平均价格大于卖出的平均价格，可列不等式：
$\frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$
根据不等式的性质，两边同时乘正数10，不等号方向不变，得：
$2(3a+2b)＞5(a+b)$
去括号得：$6a+4b＞5a+5b$
两边同时减去$5a+4b$，不等号方向不变，得：
$a＞b$
即第一次购买的货物单价比第二次高，且第一次购买数量更多，拉高了进货平均成本，使得平均进货价高于平均售价，因此亏钱。
【答案】
由题意知,买5件货物的平均价格为
$\frac{3a+2b}{5}$元.
$\because$以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部卖出,结果亏钱了,
$\therefore \frac{3a+2b}{5}＞\frac{a+b}{2}$,
利用不等式的性质,得$a＞b$,
故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高.
【知识点】
列代数式；不等式的性质；实际问题与不等式
【点评】
本题结合生活中的买卖场景，需要学生将“亏钱”的生活现象转化为数学中的不等关系，既考查了代数式的列写和运算能力，也考查了对不等式性质的掌握应用，有助于培养学生的数学建模思维。
【难度系数】
0.65
12.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a + 1 ＞ -\sqrt{11}, \\ x - 2 - \sqrt{11} ＜ -\sqrt{11}\end{cases}$的所有解都是正数.
(1)$a$的取值范围是________;
(2)化简:$|a - π| + |a -7| = \_\_\_\_\_\_$;
(3)满足条件的所有整数$a$中只有一个整数$a$满足$3a + b ＞0$,求$b$的取值范围.
(1)$a$的取值范围是________;
(2)化简:$|a - π| + |a -7| = \_\_\_\_\_\_$;
(3)满足条件的所有整数$a$中只有一个整数$a$满足$3a + b ＞0$,求$b$的取值范围.
答案
12.解:(1)$\sqrt{11}+1≤ a＜3+\sqrt{11}$ (2)$7-π$
(3)$\because 3＜\sqrt{11}＜4$,
$\therefore 4＜\sqrt{11}+1＜5,6＜3+\sqrt{11}＜7$.
$\because \sqrt{11}+1≤ a＜3+\sqrt{11}$,$\therefore$整数$a$可以是5,6,
$\because 3a+b＞0$,$\therefore a＞-\frac{b}{3}$,
$\because$只有一个整数$a$满足$3a+b＞0$,
$\therefore 5≤ -\frac{b}{3}＜6$,$\therefore -18＜b≤ -15$.
(3)$\because 3＜\sqrt{11}＜4$,
$\therefore 4＜\sqrt{11}+1＜5,6＜3+\sqrt{11}＜7$.
$\because \sqrt{11}+1≤ a＜3+\sqrt{11}$,$\therefore$整数$a$可以是5,6,
$\because 3a+b＞0$,$\therefore a＞-\frac{b}{3}$,
$\because$只有一个整数$a$满足$3a+b＞0$,
$\therefore 5≤ -\frac{b}{3}＜6$,$\therefore -18＜b≤ -15$.
解析
【分析】
1. 求解第(1)问时，先分别解出不等式组中两个不等式的解集，得到x的取值范围，再根据“所有解都是正数”的条件，即解集的左端点≥0且保证解集有意义，列出关于a的不等式，即可求出a的取值范围。
2. 求解第(2)问时，先结合√11的大致范围，判断a与π、7的大小关系，确定绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
3. 求解第(3)问时，先通过估算√11的范围得到a的所有整数解，再将不等式3a+b＞0变形为a＞-b/3，结合“只有一个整数a满足不等式”的限制，列出关于-b/3的不等式组，解出b的取值范围即可。
【解析】
(1) 解不等式组：
解第一个不等式$x - a + 1 ＞ -\sqrt{11}$，移项得：$x ＞ a - 1 - \sqrt{11}$
解第二个不等式$x - 2 - \sqrt{11} ＜ -\sqrt{11}$，移项合并同类项得：$x ＜ 2$
∵ 不等式组的所有解都是正数，且解集有意义
∴ $\begin{cases}a - 1 - \sqrt{11} ≥ 0 \\ a - 1 - \sqrt{11} ＜ 2 \end{cases}$
解得：$\sqrt{11} + 1 ≤ a ＜ 3 + \sqrt{11}$
(2) 由$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，可得$4 ＜ \sqrt{11} + 1 ＜ 5$，$6 ＜ 3 + \sqrt{11} ＜ 7$，即a的取值范围在4到7之间
∵ $π \approx 3.14$，
∴ $a ＞ π$，且$a ＜ 7$，即$a - π ＞ 0$，$a - 7 ＜ 0$
根据绝对值的性质化简：
$|a - π| + |a -7| = (a - π) + (7 - a) = 7 - π$
(3) 由$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，结合a的取值范围$\sqrt{11} + 1 ≤ a ＜ 3 + \sqrt{11}$，可得整数a为5、6
将$3a + b ＞ 0$变形得：$a ＞ -\frac{b}{3}$
∵ 只有一个整数a满足不等式
∴ $5 ≤ -\frac{b}{3} ＜ 6$（若$-\frac{b}{3}＜5$，则a=5、6均满足，有2个整数解；若$-\frac{b}{3}≥6$，则无整数a满足）
不等式三边同时乘-3，不等号方向改变，得：$-18 ＜ b ≤ -15$
【答案】
(1)$\sqrt{11}+1≤ a＜3+\sqrt{11}$；(2)$7-π$；(3)$-18＜b≤ -15$
【知识点】
一元一次不等式组解法，绝对值化简，无理数估算
【点评】
本题综合考查了不等式组求解、绝对值化简和无理数估算的知识，解题核心是先准确求出a的取值范围，再结合整数解的限制推导参数范围，需要特别注意不等式端点的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问时，先分别解出不等式组中两个不等式的解集，得到x的取值范围，再根据“所有解都是正数”的条件，即解集的左端点≥0且保证解集有意义，列出关于a的不等式，即可求出a的取值范围。
2. 求解第(2)问时，先结合√11的大致范围，判断a与π、7的大小关系，确定绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
3. 求解第(3)问时，先通过估算√11的范围得到a的所有整数解，再将不等式3a+b＞0变形为a＞-b/3，结合“只有一个整数a满足不等式”的限制，列出关于-b/3的不等式组，解出b的取值范围即可。
【解析】
(1) 解不等式组：
解第一个不等式$x - a + 1 ＞ -\sqrt{11}$，移项得：$x ＞ a - 1 - \sqrt{11}$
解第二个不等式$x - 2 - \sqrt{11} ＜ -\sqrt{11}$，移项合并同类项得：$x ＜ 2$
∵ 不等式组的所有解都是正数，且解集有意义
∴ $\begin{cases}a - 1 - \sqrt{11} ≥ 0 \\ a - 1 - \sqrt{11} ＜ 2 \end{cases}$
解得：$\sqrt{11} + 1 ≤ a ＜ 3 + \sqrt{11}$
(2) 由$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，可得$4 ＜ \sqrt{11} + 1 ＜ 5$，$6 ＜ 3 + \sqrt{11} ＜ 7$，即a的取值范围在4到7之间
∵ $π \approx 3.14$，
∴ $a ＞ π$，且$a ＜ 7$，即$a - π ＞ 0$，$a - 7 ＜ 0$
根据绝对值的性质化简：
$|a - π| + |a -7| = (a - π) + (7 - a) = 7 - π$
(3) 由$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，结合a的取值范围$\sqrt{11} + 1 ≤ a ＜ 3 + \sqrt{11}$，可得整数a为5、6
将$3a + b ＞ 0$变形得：$a ＞ -\frac{b}{3}$
∵ 只有一个整数a满足不等式
∴ $5 ≤ -\frac{b}{3} ＜ 6$（若$-\frac{b}{3}＜5$，则a=5、6均满足，有2个整数解；若$-\frac{b}{3}≥6$，则无整数a满足）
不等式三边同时乘-3，不等号方向改变，得：$-18 ＜ b ≤ -15$
【答案】
(1)$\sqrt{11}+1≤ a＜3+\sqrt{11}$；(2)$7-π$；(3)$-18＜b≤ -15$
【知识点】
一元一次不等式组解法，绝对值化简，无理数估算
【点评】
本题综合考查了不等式组求解、绝对值化简和无理数估算的知识，解题核心是先准确求出a的取值范围，再结合整数解的限制推导参数范围，需要特别注意不等式端点的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
