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1. (2024·黑龙江牡丹江)已知矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象与边AB交于点D,与边AC交于点F,与OA交于点E,$OE=2AE$.若四边形ODAF的面积为2,则k的值为（
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{8}{5}$
D
）A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{8}{5}$
答案
1. D 解析:因为四边形OBAC为矩形,所以∠OBA=∠OCF=90°.因为点D,F在反比例函数的图象上,所以$S_{△ BDO}=S_{△ CFO}=\frac{k}{2}$.设$E(m,\frac{k}{m})$,则OE的中点坐标为$(\frac{m}{2},\frac{k}{2m})$.又OE=2AE,所以点A的坐标为$(2m-\frac{m}{2},\frac{2k}{m}-\frac{k}{2m})$,即$(\frac{3m}{2},\frac{3k}{2m})$,所以$S_{矩形OBAC}=\frac{3m}{2}·\frac{3k}{2m}=\frac{9k}{4}$.又$S_{四边形ODAF}=2$,所以$\frac{9k}{4}-\frac{k}{2}×2=2$,解得$k=\frac{8}{5}$.
2. 新素养 几何直观 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=x$ 与反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象交于点$A$,将直线 $y=x$ 沿$y$轴向上平移$b$个单位长度,交$x$轴于点$C$,交反比例函数图象于点$B$.若 $BC=2OA$,则$b$的值为 （
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
D
）A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案
2. D
3. (2026·江苏扬州期末)如图,一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $P(2,3)$,与反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $Q(m,n)$. 若一次函数 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大,则 $m$ 的取值范围是
$\frac{2}{3}＜m＜2$
.答案
3. $\frac{2}{3}＜m＜2$
4. (教材习题变式) 如图,一次函数 $y=kx+2$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A(2,n)$, 与 $y$ 轴交于点 $B$, 与 $x$ 轴交于点 $C(-4,0)$.
(1) 求 $k$ 与 $m$ 的值;
(2) 若 $P(a,0)$ 为 $x$ 轴上的一动点, 当 $△ APB$ 的面积为 $\dfrac{7}{2}$ 时,求 $a$ 的值.
(1) 求 $k$ 与 $m$ 的值;
(2) 若 $P(a,0)$ 为 $x$ 轴上的一动点, 当 $△ APB$ 的面积为 $\dfrac{7}{2}$ 时,求 $a$ 的值.
答案
4. (1) 把点 $C(-4,0)$ 代入 $y=kx+2$,得$-4k+2=0$,解得$k=\frac{1}{2}$.在$y=\frac{1}{2}x+2$中,令$x=0$,得$y=2$,所以点B的坐标为$(0,2)$.又点$A(2,n)$在一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$的图象上,所以$n=\frac{1}{2}×2+2=3$,即点A的坐标为$(2,3)$.又点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上,所以$m=2×3=6$.
(2) 过点A作$AD⊥ x$轴于点D.因为点A的坐标为$(2,3)$,点B的坐标为$(0,2)$,所以$AD=3$,$OB=2$.又点P的坐标为$(a,0)$,点C的坐标为$(-4,0)$,所以$PC=|a+4|$.又$S_{△ APB}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}$,$△ APB$的面积为$\frac{7}{2}$,所以$\frac{1}{2}×3|a+4|-\frac{1}{2}×2|a+4|=\frac{7}{2}$,解得$a=3$或$a=-11$.故$a$的值为3或$-11$.
(2) 过点A作$AD⊥ x$轴于点D.因为点A的坐标为$(2,3)$,点B的坐标为$(0,2)$,所以$AD=3$,$OB=2$.又点P的坐标为$(a,0)$,点C的坐标为$(-4,0)$,所以$PC=|a+4|$.又$S_{△ APB}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}$,$△ APB$的面积为$\frac{7}{2}$,所以$\frac{1}{2}×3|a+4|-\frac{1}{2}×2|a+4|=\frac{7}{2}$,解得$a=3$或$a=-11$.故$a$的值为3或$-11$.
5. (2025·江苏无锡)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,$\mathrm{Rt}△ OBA$ 的直角边 OB 在 x 轴上,AO,AB 分别与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象相交于点 C,D,且 C 为 AO 的中点,过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 DE.若$△ BDE$ 的面积为 $\dfrac{5}{4}$,则 k 的值为 （
A.$\dfrac{5}{4}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.5
D.10
C
）A.$\dfrac{5}{4}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.5
D.10
答案
5. C 解析:因为点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,所以可设$C(a,\frac{k}{a})$.因为C为AO的中点,所以$A(2a,\frac{2k}{a})$.因为$CE⊥ x$轴,$AB⊥ x$轴,所以$E(a,0)$,$B(2a,0)$,所以$OE=a$,$OB=2a$,所以$BE=OB-OE=a$.因为点D在反比例函数的图象上,所以$D(2a,\frac{k}{2a})$,所以$BD=\frac{k}{2a}$,所以$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BE· BD=\frac{k}{4}$.又$S_{△ BDE}=\frac{5}{4}$,所以$\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$,解得$k=5$.
6. 亮点原创 如图, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞$
0)的图象分别交矩形$OABC$的边$AB$,$BC$于$D,E$两点,连接$DE$.若把$△ BDE$沿$DE$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$F$处,且$AD:$
$DB=5:13,CE=\dfrac{5}{2}$,则$k$的值为 （
A.$\dfrac{135}{4}$
B.$33$
C.$32$
D.$\dfrac{125}{4}$
0)的图象分别交矩形$OABC$的边$AB$,$BC$于$D,E$两点,连接$DE$.若把$△ BDE$沿$DE$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$F$处,且$AD:$
$DB=5:13,CE=\dfrac{5}{2}$,则$k$的值为 （
A
）A.$\dfrac{135}{4}$
B.$33$
C.$32$
D.$\dfrac{125}{4}$
答案
6. A 解析:过点D作$DG⊥ x$轴于点G,则$∠ DGO=∠ DGF=90°$.又四边形OABC是矩形,所以$OA=BC$,$AB=OC$,$∠ BCO=∠ AOC=∠ OAB=90°$,所以四边形OADG是矩形,所以$AD=OG$,$OA=DG$,所以$DG=BC$.因为$AD:DB=5:13$,所以设$AD=5x$,$DB=13x$,则$OC=AB=AD+DB=18x$.因为D,E两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$CE=\frac{5}{2}$,所以易得$BC=DG=9$,所以$BE=\frac{13}{2}$.由折叠的性质,得$DF=DB=13x$,$EF=BE=\frac{13}{2}$,所以$CF=\sqrt{EF^2-CE^2}=6$,所以$FG=OC-OG-CF=OC-AD-CF=13x-6$.又$DF^2=DG^2+FG^2$,所以$(13x)^2=9^2+(13x-6)^2$,解得$x=\frac{3}{4}$,则$OC=\frac{27}{2}$,所以点E的坐标为$(\frac{27}{2},\frac{5}{2})$,所以$k=\frac{27}{2}×\frac{5}{2}=\frac{135}{4}$.
