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7. (2023·四川达州) 如图,一次函数 $y=2x$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象相交于 $A,B$ 两点,以 $AB$ 为边作等边三角形 $ABC$. 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象过点 $C$, 则 $k$ 的值为
-6
.答案
7. -6 解析:令$2x=\frac{2}{x}$,即$x^2=1$,解得$x=\pm1$.经检验,$x=\pm1$是原方程的解,所以点A的坐标为$(1,2)$,点B的坐标为$(-1,-2)$,所以$AB^2=(-1-1)^2+(-2-2)^2=20$.因为$△ ABC$是等边三角形,所以$AC=BC=AB$,即$AC^2=BC^2=AB^2=20$.设点C的坐标为$(x_0,y_0)$.同理,得$(x_0-1)^2+(y_0-2)^2=20$,$(x_0+1)^2+(y_0+2)^2=20$,即$x_0^2-2x_0+y_0^2-4y_0=15$①,$x_0^2+2x_0+y_0^2+4y_0=15$②.①+②,得$2(x_0^2+y_0^2)=30$,即$x_0^2+y_0^2=15$.②-①,得$4x_0+8y_0=0$,即$x_0=-2y_0$,所以$x_0^2+y_0^2=4y_0^2+y_0^2=15$,即$y_0^2=3$,所以$x_0^2=4y_0^2=12$,即$(x_0y_0)^2=36$,所以$k^2=36$.由题图,得$k＜0$,所以$k=-6$.
8. 新素养 推理能力 将双曲线 $y=\dfrac{3}{x}$ 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新双曲线与直线 $y=kx-2-k(k＞0)$ 相交于两点,其中一个点的横坐标为 $a$,另一个点的纵坐标为 $b$,则 $(a-1)(b+2)=$
-3
.答案
8. -3 解析:将直线$y=kx-2-k=k(x-1)-2$向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得直线$y=kx$.由题意,得直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{3}{x}$一个交点的横坐标为$a-1$,另一个交点的纵坐标为$b+2$.又两交点关于原点对称,所以$(a-1)(b+2)=-3$.
9. (2024·山东东营)如图,一次函数 $y=mx+n$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于 $A(-3,$ $a),B(1,3)$ 两点,且一次函数的图象分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $C,D$ 两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 根据图象直接写出不等式 $mx+n＞\dfrac{k}{x}$ 的解集；
(3) 若在第三象限的反比例函数图象上有一点 $P$ ,连接 $OP,CP,OB$,使得 $S_{△ OCP}=$$4S_{△ OBD}$,求点 $P$ 的坐标.
类题精讲
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 根据图象直接写出不等式 $mx+n＞\dfrac{k}{x}$ 的解集；
(3) 若在第三象限的反比例函数图象上有一点 $P$ ,连接 $OP,CP,OB$,使得 $S_{△ OCP}=$$4S_{△ OBD}$,求点 $P$ 的坐标.
类题精讲
答案
9. (1) 把点$B(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=3$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$.把点$A(-3,a)$代入$y=\frac{3}{x}$,得$a=-1$,所以$A(-3,-1)$.把点$A(-3,-1)$,$B(1,3)$分别代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}-3m+n=-1,\\m+n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=2.\end{cases}$故一次函数的表达式为$y=x+2$.
(2) 由题图,得不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$或$-3＜x＜0$.
(3) 设$P(b,\frac{3}{b})(b＜0)$.在$y=x+2$中,令$y=0$,得$x+2=0$,解得$x=-2$,所以$C(-2,0)$,所以$OC=2$;令$x=0$,得$y=2$,所以$D(0,2)$,所以$OD=2$.过点B作$BM⊥ y$轴于点M,过点P作$PN⊥ x$轴于点N,则$PN=-\frac{3}{b}$,所以$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}OC· PN=-\frac{3}{b}$.因为$B(1,3)$,所以$BM=1$,所以$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}OD· BM=1$.因为$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$,所以$-\frac{3}{b}=4$,即$b=-\frac{3}{4}$,$\frac{3}{b}=-4$,所以点P的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$.
(2) 由题图,得不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$或$-3＜x＜0$.
(3) 设$P(b,\frac{3}{b})(b＜0)$.在$y=x+2$中,令$y=0$,得$x+2=0$,解得$x=-2$,所以$C(-2,0)$,所以$OC=2$;令$x=0$,得$y=2$,所以$D(0,2)$,所以$OD=2$.过点B作$BM⊥ y$轴于点M,过点P作$PN⊥ x$轴于点N,则$PN=-\frac{3}{b}$,所以$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}OC· PN=-\frac{3}{b}$.因为$B(1,3)$,所以$BM=1$,所以$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}OD· BM=1$.因为$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$,所以$-\frac{3}{b}=4$,即$b=-\frac{3}{4}$,$\frac{3}{b}=-4$,所以点P的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$.
10. (2025·江苏泰州二模)如图，$□ ABCD$ 的顶点 A,B 的坐标分别是 $A(-1,0),B(0,-2)$，顶点 C,D 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 上，边 AD 交 y 轴于点 E，且四边形 BCDE 的面积是$△ ABE$ 面积的 5 倍，则 k 的值为
12
.答案
10. 12 解析:如图,连接BD,过点D作$DN⊥ y$轴于点N,过点C作$CM⊥ DN$,交ND的延长线于点M,则$∠ DNE=∠ DMC=90°$.因为四边形ABCD是平行四边形,所以$△ ABD$的面积等于$△ BCD$的面积,$AB=CD$,$AB// CD$,即$∠ BAD+∠ ADC=180°$.又$∠ EDN+∠ CDM+∠ ADC=180°$,所以$∠ BAD=∠ EDN+∠ CDM$.又$∠ AOB=∠ AOE=90°$,所以$OA// DN$,所以$∠ OAE=∠ EDN$.又$∠ BAD=∠ OAE+∠ BAO$,所以$∠ BAO=∠ CDM$.又$∠ AOB=∠ DMC=90°$,所以$△ AOB≌△ DMC$.又A,B两点的坐标分别为$(-1,0)$,$(0,-2)$,所以$DM=AO=1$,$CM=BO=2$.因为四边形BCDE的面积是$△ ABE$面积的5倍,所以平行四边形ABCD的面积是$△ ABE$面积的6倍,所以$△ ABD$的面积是$△ ABE$面积的3倍,所以$△ BDE$的面积是$△ ABE$面积的2倍,所以$DN=2AO=2$.又点D在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上,所以设点D的坐标为$(2,\frac{k}{2})$,则点C的坐标为$(3,\frac{k}{2}-2)$.又点C在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,所以$3(\frac{k}{2}-2)=2·\frac{k}{2}$,解得$k=12$.
11. 新素养 创新意识 已知 $y$ 是 $x$ 的函数, 当 $x=$$m$ 时, 函数值 $y=p$; 当 $x=n$ 时, 函数值 $y=$$q$. 若 $q=ip$ ($i$ 为正整数), 则称 $m ≤ x ≤ n$ 是该函数的 $i$ 倍区间. 如: 在函数 $y=-2x$ 中,当 $x=1$ 时, $y=-2$, 当 $x=3$ 时, $y=-6$,$(-2) × 3=-6$, 所以 $1 ≤ x ≤ 3$ 是函数$y=-2x$ 的 3 倍区间.
(1) 若 $-6 ≤ x ≤-3$ 是函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的 $i$ 倍区间, 则 $i=$
(2) 已知 $m ≤ x ≤ n$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的 $i$倍区间 ($i$ 为正整数), 点 $A(m,p),B(n,q)$是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的两点. 试说明: $n＜0$;
(3) 已知 $a ≤ x ≤ a+4$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$的 3 倍区间, 且在此区间内, 该函数的最大值与最小值的差为 $\dfrac{5}{2}$, 求 $a,k$ 的值.
(1) 若 $-6 ≤ x ≤-3$ 是函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的 $i$ 倍区间, 则 $i=$
2
;(2) 已知 $m ≤ x ≤ n$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的 $i$倍区间 ($i$ 为正整数), 点 $A(m,p),B(n,q)$是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的两点. 试说明: $n＜0$;
(3) 已知 $a ≤ x ≤ a+4$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$的 3 倍区间, 且在此区间内, 该函数的最大值与最小值的差为 $\dfrac{5}{2}$, 求 $a,k$ 的值.
答案
11. (1) 2
(2) 由题意,得$p=\frac{k}{m}$,$q=\frac{k}{n}$.因为$q=ip$,所以$\frac{k}{n}=i·\frac{k}{m}$.又$k≠0$,所以$\frac{1}{n}=i·\frac{1}{m}$,即$i=\frac{m}{n}$.又$i$为正整数,所以$\frac{m}{n}≥1$.假设$n＞0$,则$m≥ n$,这与$m＜n$矛盾.又$n≠0$,所以$n＜0$.
(3) 因为$a≤ x≤ a+4$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的3倍区间,所以$\frac{3k}{a}=\frac{k}{a+4}$.因为$k≠0$,所以$a=3(a+4)$,解得$a=-6$.当$k＞0$时,反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而减少,所以$-\frac{k}{6}-(-\frac{k}{2})=\frac{5}{2}$,解得$k=\frac{15}{2}$.当$k＜0$时,反比例函数的图象位于第二、四象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而增大,所以$-\frac{k}{2}-(-\frac{k}{6})=\frac{5}{2}$,解得$k=-\frac{15}{2}$.综上所述,$a=-6$,$k=\frac{15}{2}$或$-\frac{15}{2}$.
(2) 由题意,得$p=\frac{k}{m}$,$q=\frac{k}{n}$.因为$q=ip$,所以$\frac{k}{n}=i·\frac{k}{m}$.又$k≠0$,所以$\frac{1}{n}=i·\frac{1}{m}$,即$i=\frac{m}{n}$.又$i$为正整数,所以$\frac{m}{n}≥1$.假设$n＞0$,则$m≥ n$,这与$m＜n$矛盾.又$n≠0$,所以$n＜0$.
(3) 因为$a≤ x≤ a+4$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的3倍区间,所以$\frac{3k}{a}=\frac{k}{a+4}$.因为$k≠0$,所以$a=3(a+4)$,解得$a=-6$.当$k＞0$时,反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而减少,所以$-\frac{k}{6}-(-\frac{k}{2})=\frac{5}{2}$,解得$k=\frac{15}{2}$.当$k＜0$时,反比例函数的图象位于第二、四象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而增大,所以$-\frac{k}{2}-(-\frac{k}{6})=\frac{5}{2}$,解得$k=-\frac{15}{2}$.综上所述,$a=-6$,$k=\frac{15}{2}$或$-\frac{15}{2}$.
