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12. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{k-1}{x-1}=2$ 的解为非负数,且反比例函数 $y=\dfrac{3-k}{x}$ 的图象位于第一、三象限,则满足条件的所有整数 $k$ 的值之和为
1
.答案
12. 1 解析:解分式方程 $\dfrac{k-1}{x-1}=2$,得 $x=\dfrac{k+1}{2}$. 因为方程的解为非负数,所以 $\dfrac{k+1}{2}≥0$ 且 $\dfrac{k+1}{2}≠1$,解得 $k≥-1$ 且 $k≠1$. 因为反比例函数 $y=\dfrac{3-k}{x}$ 的图象位于第一、三象限,所以 $3-k＞0$,解得 $k＜3$,所以 $k$ 的取值范围为 $-1≤ k＜3$ 且 $k≠1$. 故满足条件的所有整数 $k$ 的值之和为 $-1+0+2=1$.
13. (2023·贵州)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,四边形OABC是矩形,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象分别与边AB,BC交于点$D(4,1),E$,且D为AB的中点.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;
(2)若一次函数$y=x+m$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点M,则当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(可与点D,E重合),求m的取值范围.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;
(2)若一次函数$y=x+m$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点M,则当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(可与点D,E重合),求m的取值范围.
答案
13. (1) 把点 $D(4,1)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $1=\dfrac{k}{4}$,解得 $k=4$,所以反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$. 因为四边形 $OABC$ 是矩形,$D$ 为 $AB$ 的中点,所以 $B(4,2)$,所以点 $E$ 的纵坐标为 2. 在 $y=\dfrac{4}{x}$ 中,令 $y=2$,得 $2=\dfrac{4}{x}$,解得 $x=2$,所以点 $E$ 的坐标为 $(2,2)$.
(2) 把点 $D(4,1)$ 代入 $y=x+m$,得 $4+m=1$,解得 $m=-3$;把点 $E(2,2)$ 代入 $y=x+m$,得 $2+m=2$,解得 $m=0$. 结合题图可知,$m$ 的取值范围为 $-3≤ m≤0$.
(2) 把点 $D(4,1)$ 代入 $y=x+m$,得 $4+m=1$,解得 $m=-3$;把点 $E(2,2)$ 代入 $y=x+m$,得 $2+m=2$,解得 $m=0$. 结合题图可知,$m$ 的取值范围为 $-3≤ m≤0$.
14. 已知点$(a-2,b)$与点$(a+1,b-2)$都在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上，则下列说法正确的是（
A.若 $k＞0$,则 $a＞2,0＜b＜2$
B.若 $k＞0$,则 $a＜-1,b＞2$
C.若 $k＜0$,则 $a＜2,b＞2$
D.若 $k＜0$,则 $-1＜a＜2,0＜b＜2$
D
）A.若 $k＞0$,则 $a＞2,0＜b＜2$
B.若 $k＞0$,则 $a＜-1,b＞2$
C.若 $k＜0$,则 $a＜2,b＞2$
D.若 $k＜0$,则 $-1＜a＜2,0＜b＜2$
答案
14. D 解析:当 $k＞0$ 时,在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 因为 $a+1＞a-2$,$b-2＜b$,所以 $a+1＜0$,$b＜0$ 或 $a-2＞0$,$b-2＞0$,即 $a＜-1$,$b＜0$ 或 $a＞2$,$b＞2$. 故选项 A,B 错误;当 $k＜0$ 时,在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大. 因为 $a+1＞a-2$,$b-2＜b$,所以 $a+1＞0$,$a-2＜0$,$b＞0$,$b-2＜0$,即 $-1＜a＜2$,$0＜b＜2$. 故选项 C 错误,选项 D 正确.
15. 新素养 几何直观 如图，$△ ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-2,3),B(-2,1),C(-1,1)$. 若函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象沿直线 $x=$1 翻折后与$△ ABC$有交点，则 $k$ 的取值范围为
$3≤ k≤12$
.答案
15. $3≤ k≤12$ 解析:设$△ ABC$ 沿直线 $x=1$ 翻折后,$A$,$B$,$C$ 三点的对应点分别为 $A'$,$B'$,$C'$. 因为 $A$,$B$,$C$ 三点的坐标分别为 $(-2,3)$,$(-2,1)$,$(-1,1)$,所以 $A'$,$B'$,$C'$ 三点的坐标分别为 $(4,3)$,$(4,1)$,$(3,1)$. 当函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象经过点 $A'(4,3)$ 时,$k$ 取最大值,$k=4×3=12$;当函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象经过点 $C'(3,1)$ 时,$k$ 取最小值,$k=3×1=3$. 综上所述,$k$ 的取值范围为 $3≤ k≤12$.
16. (2026·江苏镇江一模)参照学习反比例函数的过程与方法, 探究函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象与性质.
(1) ① 当 $x＜0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而
② $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象是由 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象向
③ 图象关于点
(2) 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象上的两点, 且 $x_1+x_2=0$,求 $y_1+y_2+3$ 的值.
(1) ① 当 $x＜0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而
增大
;(填“增大”或“减小”)② $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象是由 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象向
上
平移1
个单位长度得到的;③ 图象关于点
$(0,1)$
中心对称(填点的坐标);(2) 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象上的两点, 且 $x_1+x_2=0$,求 $y_1+y_2+3$ 的值.
答案
16. (1) ① 增大 ② 上 1 ③ $(0,1)$
(2) 因为 $x_1+x_2=0$,所以 $x_1=-x_2$. 又 $A$,$B$ 两点都在函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象上,所以 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 两点关于点 $(0,1)$ 成中心对称,所以 $y_1+y_2=2$,所以 $y_1+y_2+3=5$.
(2) 因为 $x_1+x_2=0$,所以 $x_1=-x_2$. 又 $A$,$B$ 两点都在函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的图象上,所以 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 两点关于点 $(0,1)$ 成中心对称,所以 $y_1+y_2=2$,所以 $y_1+y_2+3=5$.
