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密度计中的函数
【阅读材料】
在物理实验中,常用密度计测量液体的密度,如图①是一种常见的密度计,它由一根粗细均匀的密封玻璃管制成,下部装有配重腔,使其能竖直漂浮在液体中.使用时,将密度计放入待测液体,稳定后从管上的刻度直接读出密度.观察发现,密度计的刻度分布是不均匀的.
小明通过探究得知: (1) 密度计的工作原理基于漂浮条件:浮力等于密度计自身重力,即 $F_{浮}=G$;
(2) 如图②, 当横截面积为 $S$ 的圆柱形密度计漂浮在密度为 $\rho$ 的液体中时, 所受浮力大小 $F_{浮}=$ $\rho g V_{排}$, 其中 $g$ 为重力常数, $V_{排}$ 表示密度计漂浮时所排开液体的体积. 设密度计在液体中浸入的深度为 $h$.
【解决问题】
(1) 写出图②中 $h$ 关于 $\rho$ 的函数表达式(常数部分用字母 $G,S,g$ 表示), 并判断 $h$ 是否是关于 $\rho$ 的反比例函数. 若是, 请求出反比例系数“$k$”;
(2) 已知某圆柱形密度计的重力 $G=0.4\ \mathrm{N}$, 横截面积 $S=2× 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$, 取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$.
① 将该密度计放入密度 $\rho=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ 的液体中, 求浸入深度 $h$;
② 若该密度计在某液体中的浸入深度 $h=0.2\ \mathrm{m}$, 求该液体的密度 $\rho$;
(3) 将某圆柱形密度计先浸入(2)②中的液体, 再浸入另一种液体, 测得浸入深度 $h$ 分别为 $0.12\ \mathrm{m}$, $0.15\ \mathrm{m}$, 求另一种液体的密度;
(4) 对于圆柱形密度计来说, 若增加其质量 $m\ (G=mg)$, 则它在液体中的浸入深度 $h$ 该如何变化?若增加其底面圆半径 $r$, 则 $h$ 又该如何变化? 请简要说明理由.
【阅读材料】
在物理实验中,常用密度计测量液体的密度,如图①是一种常见的密度计,它由一根粗细均匀的密封玻璃管制成,下部装有配重腔,使其能竖直漂浮在液体中.使用时,将密度计放入待测液体,稳定后从管上的刻度直接读出密度.观察发现,密度计的刻度分布是不均匀的.
小明通过探究得知: (1) 密度计的工作原理基于漂浮条件:浮力等于密度计自身重力,即 $F_{浮}=G$;
(2) 如图②, 当横截面积为 $S$ 的圆柱形密度计漂浮在密度为 $\rho$ 的液体中时, 所受浮力大小 $F_{浮}=$ $\rho g V_{排}$, 其中 $g$ 为重力常数, $V_{排}$ 表示密度计漂浮时所排开液体的体积. 设密度计在液体中浸入的深度为 $h$.
【解决问题】
(1) 写出图②中 $h$ 关于 $\rho$ 的函数表达式(常数部分用字母 $G,S,g$ 表示), 并判断 $h$ 是否是关于 $\rho$ 的反比例函数. 若是, 请求出反比例系数“$k$”;
(2) 已知某圆柱形密度计的重力 $G=0.4\ \mathrm{N}$, 横截面积 $S=2× 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$, 取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$.
① 将该密度计放入密度 $\rho=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ 的液体中, 求浸入深度 $h$;
② 若该密度计在某液体中的浸入深度 $h=0.2\ \mathrm{m}$, 求该液体的密度 $\rho$;
(3) 将某圆柱形密度计先浸入(2)②中的液体, 再浸入另一种液体, 测得浸入深度 $h$ 分别为 $0.12\ \mathrm{m}$, $0.15\ \mathrm{m}$, 求另一种液体的密度;
(4) 对于圆柱形密度计来说, 若增加其质量 $m\ (G=mg)$, 则它在液体中的浸入深度 $h$ 该如何变化?若增加其底面圆半径 $r$, 则 $h$ 又该如何变化? 请简要说明理由.
答案
(1) 由题意,得$V_{排}=Sh$,所以$F_{浮}=\rho g Sh$.又$F_{浮}=G$,所以$G=\rho g Sh$,所以$h=\frac{G}{\rho g S}$,所以$h$是$\rho$的反比例函数,且$k=\frac{G}{gS}$.
(2) ① 因为$h=\frac{G}{\rho g S}$,且$G=0.4\ \mathrm{N}$,$\rho=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$,$g=10\ \mathrm{N/kg}$,$S=2× 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$,所以$h=\frac{0.4}{0.8× 10^3× 10× 2× 10^{-4}}=0.25(\mathrm{m})$.故浸入深度$h$为$0.25\ \mathrm{m}$.
② 因为$h=\frac{G}{\rho g S}$,所以$\rho=\frac{G}{h g S}$.当$h=0.2\ \mathrm{m}$时,$\rho=\frac{0.4}{0.2× 10× 2× 10^{-4}}=1× 10^3(\mathrm{kg/m}^3)$.故该液体的密度$\rho$为$1× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(3) 因为$h=\frac{k}{\rho}$,所以$k=h\rho$,所以$0.12× 1× 10^3=0.15\rho$,解得$\rho=0.8× 10^3$.故另一种液体的密度$\rho$为$0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(4) 当$m$增大时,$h$增大;当$r$增大时,$h$减小.理由如下:因为$G=mg$,且$h=\frac{mg}{\rho g S}=\frac{m}{\rho S}$,所以当$m$增大时,$h$增大.因为$S=π r^2$,所以$h=\frac{m}{π \rho r^2}$,所以当$r$增大时,$S$增大,$h$减小.
(2) ① 因为$h=\frac{G}{\rho g S}$,且$G=0.4\ \mathrm{N}$,$\rho=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$,$g=10\ \mathrm{N/kg}$,$S=2× 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$,所以$h=\frac{0.4}{0.8× 10^3× 10× 2× 10^{-4}}=0.25(\mathrm{m})$.故浸入深度$h$为$0.25\ \mathrm{m}$.
② 因为$h=\frac{G}{\rho g S}$,所以$\rho=\frac{G}{h g S}$.当$h=0.2\ \mathrm{m}$时,$\rho=\frac{0.4}{0.2× 10× 2× 10^{-4}}=1× 10^3(\mathrm{kg/m}^3)$.故该液体的密度$\rho$为$1× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(3) 因为$h=\frac{k}{\rho}$,所以$k=h\rho$,所以$0.12× 1× 10^3=0.15\rho$,解得$\rho=0.8× 10^3$.故另一种液体的密度$\rho$为$0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(4) 当$m$增大时,$h$增大;当$r$增大时,$h$减小.理由如下:因为$G=mg$,且$h=\frac{mg}{\rho g S}=\frac{m}{\rho S}$,所以当$m$增大时,$h$增大.因为$S=π r^2$,所以$h=\frac{m}{π \rho r^2}$,所以当$r$增大时,$S$增大,$h$减小.
