1. 新定义 如图①,矩形的一条边长为$x$,周长的一半为$y$.定义$(x,y)$为这个矩形的坐标.如图②,在平面直角坐标系中,直线$x=1,y=3$将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点$A$落在如图所示的反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中,则下列叙述正确的是（）

A.点$A$的横坐标有可能大于3
B.当矩形1是正方形时,点$A$位于区域②
C.当点$A$沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小
D.当点$A$位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等

D 解析:由题图②,得当 $x=1$ 时, $y＜3$, 所以 $k=xy＜3$. 由题意,得 $x＜y$, 所以 $x^{2}＜xy＜3$, 所以 $x＜\sqrt{3}$,故选项 A 不合题意;当矩形 1 是正方形时, $y=2x$. 由题图②,易得点 $A$ 位于区域②或③,故选项 B不合题意;由题意,得矩形的另一边长为 $y-x$, 则其面积 $S=(y-x)x=k-x^{2}$. 易知 $S$ 随 $x$ 的减小而增大,故选项 C 不合题意;当点 $A(x,y)$ 位于区域①时,$x＜1,y＞3$,所以矩形 1 的另一边长 $y-x＞2$;当矩形2 的坐标的对应点落在区域④中时, $x＞1,y＞3$, 所以其另一边长 $y-x＞0$, 所以矩形 1 可能和矩形 2 全等,故选项 D 符合题意.

2. 学科融合 某玩具汽车的行驶速度$v (\mathrm{m/s})$与所受阻力$F (\mathrm{N})$之间是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当$v=4\ \mathrm{m/s}$时，该玩具汽车所受阻力$F=\_\_\_\_\_\_\mathrm{N}.$

5 解析: 当 $v=4 \mathrm{~m/s}$ 时, 设该玩具汽车所受阻力$F=x \mathrm{~N}.$ 由题意,得 $4x=10×2$,解得 $x=5.$ 故当 $v=4 \mathrm{~m/s}$ 时,该玩具汽车所受阻力 $F=5 \mathrm{~N}.$

3. 新定义 定义:在一个矩形中,若一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,则称这个矩形为“奇特矩形”.如图,在平面直角坐标系中,矩形 $ABCD$ 是第一象限内的一个“奇特矩形”,且点 $A(4,1),B(7,1)$,则 $BC$ 的长为.

$\dfrac{1}{5}$或9 解析: 设 $BC=a$. 因为四边形 $ABCD$ 为矩形,$A(4,1),B(7,1)$,所以 $C(7,1+a),D(4,1+a)$. 因为矩形 $ABCD$ 为“奇特矩形”,所以分类讨论如下:① 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过边 $AB,CD$,则 $5(1+a)=6×1$,解得 $a=\dfrac{1}{5}$;② 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过边 $AD,BC$,则 $4(1+\dfrac{2}{3}a)=7(1+\dfrac{1}{3}a)$,解得$a=9$. 综上所述, $BC$ 的长为 $\dfrac{1}{5}$ 或 9.

4. 新定义 【阅读材料】定义新的运算:$\min\{a,b\}$. 当$a ≥ b$时,$\min\{a,b\}=b$;当$a ＜ b$时,$\min\{a,b\}=a$. 例如:$\min\{-1,3\}=-1$;$\min\{-1,-2\}=-2$.
【解答问题】
(1) ① $\min\{(-3)^0,2\}=$;
② $\min\{-\sqrt{14},-4\}=$;
(2) 如图,已知反比例函数$y_1=\dfrac{k}{x}$的图象和一次函数$y_2=-2x+b$的图象交于$A,B$两点. 当$-2 ＜ x ＜ 0$时,$\min\{\dfrac{k}{x},-2x+b\}=(x+1)(x-3)-x^2$,求这两个函数的表达式.

(1) ① 1 ② $-4$
(2) 由题图,得当$-2＜x＜0$时,$y_2＜y_1$,即$-2x+b=(x+1)(x-3)-x^2=-2x-3$,即$b=-3$,所以$y_2=-2x-3$. 当$x=-2$时,$y_2=-2×(-2)-3=1$,所以$A(-2,1)$. 又点$A(-2,1)$在反比例函数$y_1=\dfrac{k}{x}$的图象上,所以$k=-2$,所以$y_1=-\dfrac{2}{x}$. 故这两个函数的表达式为$y_1=-\dfrac{2}{x}$和$y_2=-2x-3$.