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7. 把一个长、宽、高分别为 3 cm,2 cm,1 cm 的长方体铜块铸成一个形状为圆柱的铜块，则该铜块的底面积 $S(\mathrm{cm}^2)$ 关于高 $h(\mathrm{cm})$ 的函数表达式为
$S=\dfrac{6}{h}(h＞0)$
.答案
7. $S=\dfrac{6}{h}(h＞0)$ 解析:由题意,得 $Sh=3×2×1=6$,所以 $S=\dfrac{6}{h}(h＞0)$.
8. 小丽要在电脑上录入一篇新闻稿.若每分钟录入 40 个字,则需要 60 min 可以录完;若每分钟录入 60 个字,则需要
40
min 可以录完.若每分钟最多能录入 80 个字,则最少需要 30
min 可以录完.答案
8. 40 30 解析:设小丽每分钟录入 $x$ 个字,录完这篇新闻稿需要 $y$ min. 由题意,得 $xy=40×60$,即 $y=\dfrac{2\ 400}{x}(x＞0)$. 当 $x=60$ 时,$y=40$;当 $x=80$ 时,$y=30$. 故若每分钟录入 60 个字,则需要 40 min 可以录完;若每分钟最多能录入 80 个字,则最少需要 30 min 可以录完.
9. 通过心理专家实验研究发现:中学生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,注意力指标达到 36 为认真听讲,学生注意力指标 y 随时间 x(min)变化的函数图象如图所示. 当$0≤ x≤ 20$时,图象是折线段;当$20＜ x≤ 45$时,图象是反比例函数图象的一部分.
(1) 求点 A 对应的指标值;
(2) 李老师在一节课上讲一道数学综合题需要17 min,他能否经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解? 请说明理由.
(1) 求点 A 对应的指标值;
(2) 李老师在一节课上讲一道数学综合题需要17 min,他能否经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解? 请说明理由.
答案
9. (1) 设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$. 把点 $C(20,45)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $45=\dfrac{k}{20}$,解得 $k=900$,所以 $y=\dfrac{900}{x}(x≥20)$. 当 $x=45$ 时,$y=20$,所以点 $D$ 的坐标为 $(45,20)$. 所以点 $A$ 的坐标为 $(0,20)$,即点 $A$ 对应的指标值为 20.
(2) 李老师能经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解. 理由如下:设线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=mx+n$. 把点 $A(0,20)$, $B(10,45)$ 分别代入 $y=mx+n$,得 $\begin{cases}20=n,\\45=10m+n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\dfrac{5}{2},\\n=20,\end{cases}$ 所以 $y=\dfrac{5}{2}x+20(0≤ x≤10)$. 在 $y=\dfrac{5}{2}x+20$ 中,令 $y≥36$,得 $\dfrac{5}{2}x+20≥36$,解得 $x≥6.4$. 在 $y=\dfrac{900}{x}$ 中,令 $y≥36$,得 $\dfrac{900}{x}≥36$,解得 $x≤25$,所以当 $6.4≤ x≤25$ 时,注意力指标都不低于 36. 因为 $25-6.4=18.6(\min)$,且 $18.6＞17$,所以李老师能经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解.
(2) 李老师能经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解. 理由如下:设线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=mx+n$. 把点 $A(0,20)$, $B(10,45)$ 分别代入 $y=mx+n$,得 $\begin{cases}20=n,\\45=10m+n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\dfrac{5}{2},\\n=20,\end{cases}$ 所以 $y=\dfrac{5}{2}x+20(0≤ x≤10)$. 在 $y=\dfrac{5}{2}x+20$ 中,令 $y≥36$,得 $\dfrac{5}{2}x+20≥36$,解得 $x≥6.4$. 在 $y=\dfrac{900}{x}$ 中,令 $y≥36$,得 $\dfrac{900}{x}≥36$,解得 $x≤25$,所以当 $6.4≤ x≤25$ 时,注意力指标都不低于 36. 因为 $25-6.4=18.6(\min)$,且 $18.6＞17$,所以李老师能经过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解.
10. 某人计划利用已有的一面长8 m的墙,围成一个面积为$12\ \mathrm{m}^2$的花园,现有可用的篱笆总长为10.5 m. 若要使花园的长、宽都是整数,则不同的围法有（
A.2种
B.4种
C.5种
D.6种
A
）A.2种
B.4种
C.5种
D.6种
答案
10. A 解析:设花园的长为 $x$ m,宽为 $y$ m. 由题意,得 $xy=12$,所以 $y=\dfrac{12}{x}$. 又 $x,y$ 都是整数,且 $x≤8$,$x+2y≤10.5$,所以 $x=4,y=3$ 或 $x=6,y=2$,所以不同的围法有 2 种.
11. (2026·江苏连云港期末)随着私家车的增多,城市的交通越来越拥挤.通常情况下,某段高架桥上车辆的行驶速度$y$(km/h)与高架桥上每百米拥有车的数量$x$(辆)的关系如图所示,当$x ≥ 10$时,$y$与$x$成反比例函数关系.当车速低于 20 km/h 时,交通就会拥堵.为避免交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量$x$的取值范围是
$0≤ x≤40$
.答案
11. $0≤ x≤40$ 解析:设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$. 把点 $(10,80)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $80=\dfrac{k}{10}$,解得 $k=800$,所以 $y=\dfrac{800}{x}(x≥10)$. 令 $y=20$,得 $20=\dfrac{800}{x}$,解得 $x=40$. 经检验,$x=40$ 是原方程的解,所以为避免交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量 $x$ 的取值范围是 $0≤ x≤40$.
12. 新趋势 情境素材 小明家饮水机中水的初始温度为$20\ {° C}$.通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温$y({° C})$与开机时间$x( \min )$满足一次函数关系),当加热到$100\ {° C}$时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温$y({° C})$与开机时间$x( \min )$成反比例函数关系),当水温降至$20\ {° C}$时,饮水机又自动开始加热……重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)当$0 ≤ x ≤ 8$时,求水温$y({° C})$关于开机时间$x( \min )$的函数表达式;
(2)求图中$t$的值;
(3)若小明在通电开机后立即外出散步,请你预测小明散步$45\ \min$回到家时,饮水机内水的温度约为多少摄氏度?
(1)当$0 ≤ x ≤ 8$时,求水温$y({° C})$关于开机时间$x( \min )$的函数表达式;
(2)求图中$t$的值;
(3)若小明在通电开机后立即外出散步,请你预测小明散步$45\ \min$回到家时,饮水机内水的温度约为多少摄氏度?
答案
12. (1) 当 $0≤ x≤8$ 时,设水温 $y(℃)$ 关于开机时间 $x(\min)$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 由题意,得 $\begin{cases}b=20,\\8k+b=100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=10,\\b=20,\end{cases}$ 所以水温 $y(℃)$ 关于开机时间 $x(\min)$ 的函数表达式为 $y=10x+20(0≤ x≤8)$.
(2) 当 $8＜x≤ t$ 时,设水温 $y(℃)$ 关于开机时间 $x(\min)$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{m}{x}$. 由题意,得 $100=\dfrac{m}{8}$,解得 $m=800$,则 $y=\dfrac{800}{x}(8＜x≤ t)$. 当 $y=20$ 时,$20=\dfrac{800}{t}$,解得 $t=40$. 经检验,$t=40$ 是原方程的解.
(3) 因为 $45-40=5≤8$,且当 $x=5$ 时,$y=10×5+20=70$,所以小明散步 45 min 回到家时,饮水机内水的温度约为 $70\ ℃$.
(2) 当 $8＜x≤ t$ 时,设水温 $y(℃)$ 关于开机时间 $x(\min)$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{m}{x}$. 由题意,得 $100=\dfrac{m}{8}$,解得 $m=800$,则 $y=\dfrac{800}{x}(8＜x≤ t)$. 当 $y=20$ 时,$20=\dfrac{800}{t}$,解得 $t=40$. 经检验,$t=40$ 是原方程的解.
(3) 因为 $45-40=5≤8$,且当 $x=5$ 时,$y=10×5+20=70$,所以小明散步 45 min 回到家时,饮水机内水的温度约为 $70\ ℃$.
