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18.港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程.根据规定,内地货车载重后总质量超过49 t的禁止通行.现有一辆自重6 t的货车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知2个A部件和1个B部件的总质量为2 t,4个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨.
(2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港,一次最多可运输多少套这种设备？
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨.
(2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港,一次最多可运输多少套这种设备？
答案
18.解:(1)设1个A部件的质量为x t,1个B部件的质量为y t,
由题意,得$\begin{cases}2x+y=2, \\4x=3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.6, \\y=0.8.\end{cases}$
答:1个A部件的质量为0.6 t,1个B部件的质量为0.8 t.
(2)设该货车一次可运输m套这种设备.
根据题意,得$(0.6+0.8×3)·m+6≤49$,解得$m≤14\frac{1}{3}$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$的最大值为14.
答:该货车一次最多可运输14套这种设备.
由题意,得$\begin{cases}2x+y=2, \\4x=3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.6, \\y=0.8.\end{cases}$
答:1个A部件的质量为0.6 t,1个B部件的质量为0.8 t.
(2)设该货车一次可运输m套这种设备.
根据题意,得$(0.6+0.8×3)·m+6≤49$,解得$m≤14\frac{1}{3}$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$的最大值为14.
答:该货车一次最多可运输14套这种设备.
解析
【分析】
(1) 第一问需求两个未知量的质量，题目给出了两个关于A、B部件质量的等量关系，我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解。首先提取等量关系：①2个A部件质量加1个B部件质量等于2t；②4个A部件质量等于3个B部件质量，代入未知数得到方程组后求解即可。
(2) 第二问是求最多可运输的设备套数，属于最值类实际问题，需列不等式解决。首先明确总质量限制：货车自重加所有设备总质量不能超过49t。先计算1套设备的质量（1个A部件加3个B部件的质量和），再设运输m套设备，根据总质量限制列不等式，解出m的取值范围后，注意设备套数为正整数，取范围内最大正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设1个A部件的质量为$x$ t，1个B部件的质量为$y$ t，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=2 \\4x=3y\end{cases}$
将$y=2-2x$代入$4x=3y$，得$4x=3(2-2x)$，
解得$x=0.6$，代入$y=2-2x$得$y=0.8$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=0.6 \\y=0.8\end{cases}$。
(2) 设该货车一次可运输$m$套这种设备，
1套设备的质量为$0.6+0.8×3=3$ t，
根据总质量限制列不等式：$3m+6≤49$，
解得$m≤14\frac{1}{3}$，
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为14。
【答案】
(1) 1个A部件的质量为0.6 t，1个B部件的质量为0.8 t；
(2) 一次最多可运输14套这种设备。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解处理
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解。第二问需要注意设备成套运输的要求，结果必须取正整数，避免直接取非整数解导致错误，能很好地考察学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需求两个未知量的质量，题目给出了两个关于A、B部件质量的等量关系，我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解。首先提取等量关系：①2个A部件质量加1个B部件质量等于2t；②4个A部件质量等于3个B部件质量，代入未知数得到方程组后求解即可。
(2) 第二问是求最多可运输的设备套数，属于最值类实际问题，需列不等式解决。首先明确总质量限制：货车自重加所有设备总质量不能超过49t。先计算1套设备的质量（1个A部件加3个B部件的质量和），再设运输m套设备，根据总质量限制列不等式，解出m的取值范围后，注意设备套数为正整数，取范围内最大正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设1个A部件的质量为$x$ t，1个B部件的质量为$y$ t，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=2 \\4x=3y\end{cases}$
将$y=2-2x$代入$4x=3y$，得$4x=3(2-2x)$，
解得$x=0.6$，代入$y=2-2x$得$y=0.8$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=0.6 \\y=0.8\end{cases}$。
(2) 设该货车一次可运输$m$套这种设备，
1套设备的质量为$0.6+0.8×3=3$ t，
根据总质量限制列不等式：$3m+6≤49$，
解得$m≤14\frac{1}{3}$，
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为14。
【答案】
(1) 1个A部件的质量为0.6 t，1个B部件的质量为0.8 t；
(2) 一次最多可运输14套这种设备。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解处理
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解。第二问需要注意设备成套运输的要求，结果必须取正整数，避免直接取非整数解导致错误，能很好地考察学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
19.【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $，则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a ＜ b $。反之也成立。
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
【理解】(1)若 $ a - b + 2 ＞ 0 $，则 $ a + 1 $
【运用】(2)若 $ M = a^2 + 3b $，$ N = 2a^2 + 3b + 1 $，试比较 $ M, N $ 的大小；
【拓展】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面的问题。
制作某产品有两种用料方案，
方案一:用5块A型钢板，6块B型钢板；
方案二:用4块A型钢板，7块B型钢板。
已知每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $ S_1 $，方案二的总面积记为 $ S_2 $，试比较 $ S_1, S_2 $ 的大小。
若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $，则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a ＜ b $。反之也成立。
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
【理解】(1)若 $ a - b + 2 ＞ 0 $，则 $ a + 1 $
＞
$ b - 1 $（选填“＞”“＜”或“=”）；【运用】(2)若 $ M = a^2 + 3b $，$ N = 2a^2 + 3b + 1 $，试比较 $ M, N $ 的大小；
【拓展】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面的问题。
制作某产品有两种用料方案，
方案一:用5块A型钢板，6块B型钢板；
方案二:用4块A型钢板，7块B型钢板。
已知每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $ S_1 $，方案二的总面积记为 $ S_2 $，试比较 $ S_1, S_2 $ 的大小。
答案
19.解:(1)＞
(2)$\because M=a^2+3b$,$N=2a^2+3b+1$,
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$.
$\because -a^2-1＜0$,$\therefore M＜N$.
(3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积为b,
$\because$方案一的总面积记为$S_1$,方案二的总面积记为$S_2$,$\therefore S_1=5a+6b$,$S_2=4a+7b$.
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$.
$\because$每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即$a＜b$,
$\therefore a-b＜0$.$\therefore S_1＜S_2$.
(2)$\because M=a^2+3b$,$N=2a^2+3b+1$,
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$.
$\because -a^2-1＜0$,$\therefore M＜N$.
(3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积为b,
$\because$方案一的总面积记为$S_1$,方案二的总面积记为$S_2$,$\therefore S_1=5a+6b$,$S_2=4a+7b$.
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$.
$\because$每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即$a＜b$,
$\therefore a-b＜0$.$\therefore S_1＜S_2$.
解析
【分析】
本题围绕作差法比较大小展开，解题思路清晰：
(1) 要判断a+1和b-1的大小，按照作差法的规则，先计算两者的差，化简后发现差恰好为已知条件给出的a-b+2，结合其正负即可直接判断大小；
(2) 比较两个代数式M、N的大小，直接作差计算M-N，通过整式加减化简后，结合平方的非负性判断差的正负，就能得到二者的大小关系；
(3) 先设未知数表示两种钢板的面积，根据两种方案的用料分别写出S₁、S₂的代数式，再作差化简，结合题目给出的A型、B型钢板的面积大小关系判断差的正负，即可得出S₁和S₂的大小。
【解析】
(1) 计算两式的差：$(a+1)-(b-1)=a-b+2$，已知$a-b+2＞0$，即$(a+1)-(b-1)＞0$，因此$a+1＞b-1$；
(2) $\because M=a^2+3b$，$N=2a^2+3b+1$，
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$，
$\because a^2≥0$，$\therefore -a^2≤0$，$\therefore -a^2-1＜0$，即$M-N＜0$，$\therefore M＜N$；
(3) 设每块A型钢板的面积为$a$，每块B型钢板的面积为$b$，
$\because$方案一的总面积为$S_1$，方案二的总面积为$S_2$，
$\therefore S_1=5a+6b$，$S_2=4a+7b$，
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$，
$\because$每块A型钢板的面积比B型钢板小，即$a＜b$，$\therefore a-b＜0$，即$S_1-S_2＜0$，$\therefore S_1＜S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；(2) $\boxed{M＜N}$；(3) $\boxed{S_1＜S_2}$
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，不等式的基本性质
【点评】
本题设置了由易到难的三层问题，既考查了对新方法的理解应用能力，也兼顾了整式运算、不等式性质等基础知识点的考察，同时结合实际用料问题，能锻炼将知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕作差法比较大小展开，解题思路清晰：
(1) 要判断a+1和b-1的大小，按照作差法的规则，先计算两者的差，化简后发现差恰好为已知条件给出的a-b+2，结合其正负即可直接判断大小；
(2) 比较两个代数式M、N的大小，直接作差计算M-N，通过整式加减化简后，结合平方的非负性判断差的正负，就能得到二者的大小关系；
(3) 先设未知数表示两种钢板的面积，根据两种方案的用料分别写出S₁、S₂的代数式，再作差化简，结合题目给出的A型、B型钢板的面积大小关系判断差的正负，即可得出S₁和S₂的大小。
【解析】
(1) 计算两式的差：$(a+1)-(b-1)=a-b+2$，已知$a-b+2＞0$，即$(a+1)-(b-1)＞0$，因此$a+1＞b-1$；
(2) $\because M=a^2+3b$，$N=2a^2+3b+1$，
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$，
$\because a^2≥0$，$\therefore -a^2≤0$，$\therefore -a^2-1＜0$，即$M-N＜0$，$\therefore M＜N$；
(3) 设每块A型钢板的面积为$a$，每块B型钢板的面积为$b$，
$\because$方案一的总面积为$S_1$，方案二的总面积为$S_2$，
$\therefore S_1=5a+6b$，$S_2=4a+7b$，
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$，
$\because$每块A型钢板的面积比B型钢板小，即$a＜b$，$\therefore a-b＜0$，即$S_1-S_2＜0$，$\therefore S_1＜S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；(2) $\boxed{M＜N}$；(3) $\boxed{S_1＜S_2}$
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，不等式的基本性质
【点评】
本题设置了由易到难的三层问题，既考查了对新方法的理解应用能力，也兼顾了整式运算、不等式性质等基础知识点的考察，同时结合实际用料问题，能锻炼将知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
