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14. 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)$\frac{x-2}{2}＞\frac{x}{3}+1$;
(2)$-1≤\frac{3-2x}{5}-2x$.
(1)$\frac{x-2}{2}＞\frac{x}{3}+1$;
(2)$-1≤\frac{3-2x}{5}-2x$.
答案
14.解:(1)不等式两边同乘6,得$3(x-2)＞2x+6$.
去括号,得$3x-6＞2x+6$.
移项,得$3x-2x＞6+6$.
合并同类项,得$x＞12$.
解集在数轴上表示如图所示.
(2)不等式两边同乘5,得$-5≤3-2x-10x$.
移项,得$2x+10x≤3+5$.
合并同类项,得$12x≤8$.
系数化为1,得$x≤\frac{2}{3}$.
解集在数轴上表示如图所示.
解析
【分析】
解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题需注意两个要点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项；二是系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要发生改变。最后在数轴上表示解集时，遵循“大于向右、小于向左，包含端点用实心圆点、不包含端点用空心圆圈”的规则即可。
对于第(1)题，不等式两边分母为2和3，先取最小公倍数6去分母，再按步骤求解即可；对于第(2)题，不等式分母为5，两边同乘5去分母后按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解$\frac{x-2}{2}＞\frac{x}{3}+1$：
不等式两边同乘6去分母，得$3(x-2)＞2x+6$；
去括号，得$3x-6＞2x+6$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$3x-2x＞6+6$；
合并同类项，得$x＞12$。
解集在数轴上表示如图：
(2) 解$-1≤\frac{3-2x}{5}-2x$：
不等式两边同乘5去分母，得$-5≤3-2x-10x$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$2x+10x≤3+5$；
合并同类项，得$12x≤8$；
系数化为1，两边同时除以12，得$x≤\frac{2}{3}$。
解集在数轴上表示如图：
【答案】
(1) $x＞12$，
(2) $x≤\frac{2}{3}$，
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集数轴表示
【点评】
本题为基础题型，重点考察一元一次不等式的求解规范，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号，数轴表示解集时要正确区分空心圆圈和实心圆点的适用场景。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题需注意两个要点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项；二是系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要发生改变。最后在数轴上表示解集时，遵循“大于向右、小于向左，包含端点用实心圆点、不包含端点用空心圆圈”的规则即可。
对于第(1)题，不等式两边分母为2和3，先取最小公倍数6去分母，再按步骤求解即可；对于第(2)题，不等式分母为5，两边同乘5去分母后按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解$\frac{x-2}{2}＞\frac{x}{3}+1$：
不等式两边同乘6去分母，得$3(x-2)＞2x+6$；
去括号，得$3x-6＞2x+6$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$3x-2x＞6+6$；
合并同类项，得$x＞12$。
解集在数轴上表示如图：
(2) 解$-1≤\frac{3-2x}{5}-2x$：
不等式两边同乘5去分母，得$-5≤3-2x-10x$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$2x+10x≤3+5$；
合并同类项，得$12x≤8$；
系数化为1，两边同时除以12，得$x≤\frac{2}{3}$。
解集在数轴上表示如图：
【答案】
(1) $x＞12$，
(2) $x≤\frac{2}{3}$，
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集数轴表示
【点评】
本题为基础题型，重点考察一元一次不等式的求解规范，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号，数轴表示解集时要正确区分空心圆圈和实心圆点的适用场景。
【难度系数】
0.8
15.已知$a - b + c = 0$，$2a + b = 0$，$-2 ＜ c ＜ -1$，则下列结论不正确的是 （
A.$3a + c = 0$
B.$b = \dfrac{2}{3}c$
C.$4b + 3c ＞ 0$
D.$\dfrac{1}{3} ＜ a ＜ \dfrac{2}{3}$
C
）A.$3a + c = 0$
B.$b = \dfrac{2}{3}c$
C.$4b + 3c ＞ 0$
D.$\dfrac{1}{3} ＜ a ＜ \dfrac{2}{3}$
答案
15.C
解析
【分析】
题目给出两个含a、b、c的等式和c的取值范围，需判断四个结论的正误。解题思路为：先联立两个等式，用消元法将a、b都用含c（或a）的代数式表示，再结合c的取值范围，分别代入各选项验证，最终选出不正确的结论即可，注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变。
【解析】
联立已知等式：
$\begin{cases}a - b + c = 0&①\\2a + b = 0&②\end{cases}$
1. 验证A选项：将①+②，左边相加得$a - b + c + 2a + b = 3a + c$，右边相加得0，即$3a + c = 0$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：由$3a + c = 0$得$a = -\frac{c}{3}$，代入②式得$2×(-\frac{c}{3}) + b = 0$，解得$b = \frac{2}{3}c$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证D选项：已知$-2 ＜ c ＜ -1$，且$c = -3a$，代入得$-2 ＜ -3a ＜ -1$，不等式三边同时除以-3，不等号方向改变，得$\frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3}$，D结论正确，不符合题意。
4. 验证C选项：将$b = \frac{2}{3}c$代入$4b + 3c$，得$4×\frac{2c}{3} + 3c = \frac{8c}{3} + \frac{9c}{3} = \frac{17c}{3}$，因为$c ＜ -1 ＜ 0$，所以$\frac{17c}{3} ＜ 0$，即$4b + 3c ＜ 0$，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
消元法解方程组；不等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查多元代数式的消元变形和不等式性质的应用，核心是通过联立方程将多个未知量转化为用同一个未知量表示，再结合取值范围判断不等关系，是方程与不等式结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
题目给出两个含a、b、c的等式和c的取值范围，需判断四个结论的正误。解题思路为：先联立两个等式，用消元法将a、b都用含c（或a）的代数式表示，再结合c的取值范围，分别代入各选项验证，最终选出不正确的结论即可，注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变。
【解析】
联立已知等式：
$\begin{cases}a - b + c = 0&①\\2a + b = 0&②\end{cases}$
1. 验证A选项：将①+②，左边相加得$a - b + c + 2a + b = 3a + c$，右边相加得0，即$3a + c = 0$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：由$3a + c = 0$得$a = -\frac{c}{3}$，代入②式得$2×(-\frac{c}{3}) + b = 0$，解得$b = \frac{2}{3}c$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证D选项：已知$-2 ＜ c ＜ -1$，且$c = -3a$，代入得$-2 ＜ -3a ＜ -1$，不等式三边同时除以-3，不等号方向改变，得$\frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3}$，D结论正确，不符合题意。
4. 验证C选项：将$b = \frac{2}{3}c$代入$4b + 3c$，得$4×\frac{2c}{3} + 3c = \frac{8c}{3} + \frac{9c}{3} = \frac{17c}{3}$，因为$c ＜ -1 ＜ 0$，所以$\frac{17c}{3} ＜ 0$，即$4b + 3c ＜ 0$，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
消元法解方程组；不等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查多元代数式的消元变形和不等式性质的应用，核心是通过联立方程将多个未知量转化为用同一个未知量表示，再结合取值范围判断不等关系，是方程与不等式结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
16.某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个范围内的实数x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是
$x≤\frac{1}{2}$
。答案
16.$x≤\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先明确运算流程：输入x后计算3x-1，若结果大于10就输出，否则将该结果作为新的x重复计算。要永远没有输出，说明每次计算的结果始终无法满足大于10的条件。若每次运算后的结果小于等于当前输入的x，那么运算结果会越来越小或保持不变，永远不可能超过10，据此列不等式求解即可。
【解析】
根据流程图的运算规则：每次输入x，计算得3x-1，若3x-1＞10则输出结果，否则将3x-1作为新的输入值再次运算。
要永远没有输出值，需保证每次运算后的结果始终不会大于10，且不会逐渐增大到超过10。当运算后得到的结果≤本次输入的x时，运算结果会越来越小或保持恒定，永远达不到大于10的要求，因此列不等式：
$3x - 1 ≤ x$
移项得：$3x - x ≤ 1$
合并同类项得：$2x ≤ 1$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1}{2}$
验证：当$x=\frac{1}{2}$时，运算结果始终为$\frac{1}{2}$，无限循环，不会大于10；当$x＜\frac{1}{2}$时，运算结果逐渐减小，永远不会大于10，均符合要求。
【答案】
$x≤\frac{1}{2}$
【知识点】
流程图运算、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合运算流程图考查不等式的实际应用，解题的核心是正确理解“永远无输出”的含义，找到运算结果不会持续增长的临界关系列不等式求解，解题时要注意验证边界值是否符合题意。
【难度系数】
0.5
首先明确运算流程：输入x后计算3x-1，若结果大于10就输出，否则将该结果作为新的x重复计算。要永远没有输出，说明每次计算的结果始终无法满足大于10的条件。若每次运算后的结果小于等于当前输入的x，那么运算结果会越来越小或保持不变，永远不可能超过10，据此列不等式求解即可。
【解析】
根据流程图的运算规则：每次输入x，计算得3x-1，若3x-1＞10则输出结果，否则将3x-1作为新的输入值再次运算。
要永远没有输出值，需保证每次运算后的结果始终不会大于10，且不会逐渐增大到超过10。当运算后得到的结果≤本次输入的x时，运算结果会越来越小或保持恒定，永远达不到大于10的要求，因此列不等式：
$3x - 1 ≤ x$
移项得：$3x - x ≤ 1$
合并同类项得：$2x ≤ 1$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1}{2}$
验证：当$x=\frac{1}{2}$时，运算结果始终为$\frac{1}{2}$，无限循环，不会大于10；当$x＜\frac{1}{2}$时，运算结果逐渐减小，永远不会大于10，均符合要求。
【答案】
$x≤\frac{1}{2}$
【知识点】
流程图运算、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合运算流程图考查不等式的实际应用，解题的核心是正确理解“永远无输出”的含义，找到运算结果不会持续增长的临界关系列不等式求解，解题时要注意验证边界值是否符合题意。
【难度系数】
0.5
17. 我们把符号“$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$”称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如，$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2×5 -3×4=-2$。
(1) 求不等式$\begin{vmatrix} 2 & 3-x \\ 1 & x \end{vmatrix}＞0$的解集；
(2) 若关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中不等式的解，求$n$的取值范围。
(1) 求不等式$\begin{vmatrix} 2 & 3-x \\ 1 & x \end{vmatrix}＞0$的解集；
(2) 若关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中不等式的解，求$n$的取值范围。
答案
17.解:(1)根据题意,得$\begin{vmatrix} 2 & 3-x \\ 1 & x \end{vmatrix}=2x-1×(3-x)＞0$,解不等式,得$x＞1$.
(2)$\because \begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$,即$n-2x＜0$,$\therefore x＞\frac{n}{2}$.
$\because$关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中的不等式的解,$\therefore \frac{n}{2}≥1$.$\therefore n≥2$.
(2)$\because \begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$,即$n-2x＜0$,$\therefore x＞\frac{n}{2}$.
$\because$关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中的不等式的解,$\therefore \frac{n}{2}≥1$.$\therefore n≥2$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解二阶行列式的新运算法则，将行列式形式转化为我们熟悉的不等式再求解。
第(1)问：直接套用运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，把给定行列式转化为关于x的一元一次不等式，再按解一元一次不等式的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
第(2)问：同样先把第二个行列式转化为含参数n的一元一次不等式，解出x的解集；题目说明该不等式的所有解都是(1)中不等式的解，说明第二个不等式的解集要完全包含在(1)的解集$x＞1$内，因此第二个解集的左端点$\frac{n}{2}$不能小于1，注意判断端点可取等号，当$\frac{n}{2}=1$时，两个不等式解集相同，满足条件。
【解析】
(1) 根据二阶行列式的运算法则可得：
$\begin{vmatrix} 2 & 3-x \\ 1 & x \end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
去括号得：$2x - 3 + x ＞ 0$
合并同类项得：$3x - 3 ＞ 0$
移项得：$3x ＞ 3$
系数化为1得：$x ＞ 1$
(2) 对第二个行列式按规则转化：
$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=n×1 - 2x ＜ 0$
整理得：$n - 2x ＜ 0$
移项得：$-2x ＜ -n$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ \frac{n}{2}$
∵ 该不等式的解都是(1)中不等式的解
∴ $\frac{n}{2} ≥ 1$，解得$n ≥ 2$
【答案】
(1) $x＞1$
(2) $n≥2$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，含参不等式分析
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题核心是正确将新定义的行列式运算转化为常规代数不等式，第二问需要注意判断端点值是否可取，避免漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解二阶行列式的新运算法则，将行列式形式转化为我们熟悉的不等式再求解。
第(1)问：直接套用运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，把给定行列式转化为关于x的一元一次不等式，再按解一元一次不等式的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
第(2)问：同样先把第二个行列式转化为含参数n的一元一次不等式，解出x的解集；题目说明该不等式的所有解都是(1)中不等式的解，说明第二个不等式的解集要完全包含在(1)的解集$x＞1$内，因此第二个解集的左端点$\frac{n}{2}$不能小于1，注意判断端点可取等号，当$\frac{n}{2}=1$时，两个不等式解集相同，满足条件。
【解析】
(1) 根据二阶行列式的运算法则可得：
$\begin{vmatrix} 2 & 3-x \\ 1 & x \end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
去括号得：$2x - 3 + x ＞ 0$
合并同类项得：$3x - 3 ＞ 0$
移项得：$3x ＞ 3$
系数化为1得：$x ＞ 1$
(2) 对第二个行列式按规则转化：
$\begin{vmatrix} n & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=n×1 - 2x ＜ 0$
整理得：$n - 2x ＜ 0$
移项得：$-2x ＜ -n$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ \frac{n}{2}$
∵ 该不等式的解都是(1)中不等式的解
∴ $\frac{n}{2} ≥ 1$，解得$n ≥ 2$
【答案】
(1) $x＞1$
(2) $n≥2$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，含参不等式分析
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题核心是正确将新定义的行列式运算转化为常规代数不等式，第二问需要注意判断端点值是否可取，避免漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
