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16. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分(图2、图3阴影部分)均由边长为$2a+b$的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉的部分。图2的四个角落图形相同，其中四边形$ABCD$和$OPDQ$分别是边长为$a$和$\frac{a}{2}$的正方形，中间处是边长为$b-a$的正方形。图3阴影部分由四块边长为$a$的正方形和一块边长为$b$的正方形组成。图2和图3两块阴影部分的面积都是60。未裁剪前大正方形红布的面积为________。
答案
16.$100$ 【解析】因为图2和图3两块阴影部分的面积都是60,所以由条件可得,$(2a+b)^2-(b-a)^2-4(a^2-\dfrac{a^2}{4})=6ab=60$,$4a^2+b^2=60$①。所以$4ab=40$②。①+②得,$4a^2+4ab+b^2=60+40$,即$(2a+b)^2=100$。所以未裁剪前大正方形红布的面积为100。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确未裁剪前大正方形的面积表达式，再结合图2和图3阴影面积均为60的条件，通过代数运算推导大正方形的面积。首先，大正方形边长为$2a+b$，其面积为$(2a+b)^2$；接着分别计算两个图形的阴影面积，建立关于$a$、$b$的关系式，最后通过代数变形求出目标值。
【解析】
1. 计算图2的阴影面积：
大正方形面积为$(2a+b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。
图2的空白部分包括：四个角落的图形，每个角落面积为$a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4}$，四个角落总面积为$4×\frac{3a^2}{4}=3a^2$；中间空白正方形面积为$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$。
因此图2阴影面积为：
$\begin{aligned}&(4a^2 + 4ab + b^2) - [3a^2 + (b^2 - 2ab + a^2)]\\=&4a^2 +4ab +b^2 - (4a^2 + b^2 -2ab)\\=&6ab\end{aligned}$
已知图2阴影面积为60，故$6ab=60$，即$ab=10$。
2. 计算图3的阴影面积：
图3阴影部分由4块边长为$a$的正方形和1块边长为$b$的正方形组成，面积为$4a^2 + b^2$，已知其为60，故$4a^2 + b^2=60$。
3. 求大正方形面积：
大正方形面积为$(2a+b)^2=4a^2 +4ab +b^2$，将$4a^2 +b^2=60$、$ab=10$代入得：
$(2a+b)^2=60 +4×10=100$
【答案】
100
【知识点】
整式的混合运算、正方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形面积与代数表达式，通过两个图形的阴影面积条件建立关系，需熟练掌握整式展开化简，理清图形与代数的对应关系，是代数几何结合的典型题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确未裁剪前大正方形的面积表达式，再结合图2和图3阴影面积均为60的条件，通过代数运算推导大正方形的面积。首先，大正方形边长为$2a+b$，其面积为$(2a+b)^2$；接着分别计算两个图形的阴影面积，建立关于$a$、$b$的关系式，最后通过代数变形求出目标值。
【解析】
1. 计算图2的阴影面积：
大正方形面积为$(2a+b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。
图2的空白部分包括：四个角落的图形，每个角落面积为$a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4}$，四个角落总面积为$4×\frac{3a^2}{4}=3a^2$；中间空白正方形面积为$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$。
因此图2阴影面积为：
$\begin{aligned}&(4a^2 + 4ab + b^2) - [3a^2 + (b^2 - 2ab + a^2)]\\=&4a^2 +4ab +b^2 - (4a^2 + b^2 -2ab)\\=&6ab\end{aligned}$
已知图2阴影面积为60，故$6ab=60$，即$ab=10$。
2. 计算图3的阴影面积：
图3阴影部分由4块边长为$a$的正方形和1块边长为$b$的正方形组成，面积为$4a^2 + b^2$，已知其为60，故$4a^2 + b^2=60$。
3. 求大正方形面积：
大正方形面积为$(2a+b)^2=4a^2 +4ab +b^2$，将$4a^2 +b^2=60$、$ab=10$代入得：
$(2a+b)^2=60 +4×10=100$
【答案】
100
【知识点】
整式的混合运算、正方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形面积与代数表达式，通过两个图形的阴影面积条件建立关系，需熟练掌握整式展开化简，理清图形与代数的对应关系，是代数几何结合的典型题。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算:
(1)$(π+2025)^{0}+(-1)^{2025}$。
(2)$(x-y)^{2}+(6x^{2}y-3x^{3})÷3x$。
(1)$(π+2025)^{0}+(-1)^{2025}$。
(2)$(x-y)^{2}+(6x^{2}y-3x^{3})÷3x$。
答案
17.(1)原式=0。 (2)原式=$y^2$。
解析
【分析】
第(1)小题：先依据零指数幂的运算法则计算$(π+2025)^0$，再根据-1的奇数次幂的性质计算$(-1)^2025$，最后将两个结果相加；第(2)小题：先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，再根据多项式除以单项式的法则计算(6x²y-3x³)÷3x，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂等于1，得$(π+2025)^0=1$；根据-1的奇数次幂为-1，2025是奇数，得$(-1)^2025=-1$。
因此原式=1 + (-1)=0。
(2) 先利用完全平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²，展开(x-y)²得x² - 2xy + y²；
再计算多项式除以单项式：(6x²y - 3x³)÷3x = 6x²y÷3x - 3x³÷3x = 2xy - x²；
将两部分相加：原式=(x² -2xy + y²) + (2xy - x²)，合并同类项后得y²。
【答案】
(1)0；(2)y²
【知识点】
零指数幂、完全平方公式、多项式除以单项式
【点评】
本题考查基础代数运算，涉及零指数幂、整式的乘除运算，需熟练掌握相关法则与公式，计算时注意合并同类项的准确性，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
第(1)小题：先依据零指数幂的运算法则计算$(π+2025)^0$，再根据-1的奇数次幂的性质计算$(-1)^2025$，最后将两个结果相加；第(2)小题：先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，再根据多项式除以单项式的法则计算(6x²y-3x³)÷3x，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂等于1，得$(π+2025)^0=1$；根据-1的奇数次幂为-1，2025是奇数，得$(-1)^2025=-1$。
因此原式=1 + (-1)=0。
(2) 先利用完全平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²，展开(x-y)²得x² - 2xy + y²；
再计算多项式除以单项式：(6x²y - 3x³)÷3x = 6x²y÷3x - 3x³÷3x = 2xy - x²；
将两部分相加：原式=(x² -2xy + y²) + (2xy - x²)，合并同类项后得y²。
【答案】
(1)0；(2)y²
【知识点】
零指数幂、完全平方公式、多项式除以单项式
【点评】
本题考查基础代数运算，涉及零指数幂、整式的乘除运算，需熟练掌握相关法则与公式，计算时注意合并同类项的准确性，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
18. (8分)化简代数式:$(\dfrac{2x-1}{x-1}-1)÷\dfrac{x}{x^2-1}$,判断它的值能否等于0,并说明理由。
答案
18.原式=$\dfrac{2x-1-x+1}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=x+1$,它的值不能为0。理由如下:因为$x≠0$且$x^2-1≠0$,所以$x≠0$且$x≠±1$。所以$x+1≠0$。
解析
【分析】
本题需先化简分式：先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，对分母因式分解后约分得到最简式；再判断原式能否为0，需结合分式有意义的条件（分母不为0），分析最简式为0时是否满足原式的定义域要求。
【解析】
解：化简代数式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2x-1}{x-1}-1)÷\dfrac{x}{x^2-1}\\=&(\dfrac{2x-1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1})·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{2x-1 -x +1}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&x+1\end{aligned}$
判断原式能否为0：
要使原式有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$，$x≠0$，$x^2-1≠0$，解得$x≠0$且$x≠\pm1$。
若原式的值为0，则$x+1=0$，即$x=-1$，但此时$x=-1$使$x^2-1=0$，原式无意义，故原式的值不能为0。
【答案】
原式化简结果为$x+1$，它的值不能为0。理由：化简后原式为$x+1$，若原式值为0则$x=-1$，但此时原式分母$x^2-1=0$，分式无意义，因此原式值不能为0。
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简及分式值为0的判断，核心是掌握分式运算的通分、约分规则，同时需注意分式有意义的前提是分母不为0，判断值为0时必须兼顾原式的定义域，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.5
本题需先化简分式：先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，对分母因式分解后约分得到最简式；再判断原式能否为0，需结合分式有意义的条件（分母不为0），分析最简式为0时是否满足原式的定义域要求。
【解析】
解：化简代数式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2x-1}{x-1}-1)÷\dfrac{x}{x^2-1}\\=&(\dfrac{2x-1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1})·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{2x-1 -x +1}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&x+1\end{aligned}$
判断原式能否为0：
要使原式有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$，$x≠0$，$x^2-1≠0$，解得$x≠0$且$x≠\pm1$。
若原式的值为0，则$x+1=0$，即$x=-1$，但此时$x=-1$使$x^2-1=0$，原式无意义，故原式的值不能为0。
【答案】
原式化简结果为$x+1$，它的值不能为0。理由：化简后原式为$x+1$，若原式值为0则$x=-1$，但此时原式分母$x^2-1=0$，分式无意义，因此原式值不能为0。
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简及分式值为0的判断，核心是掌握分式运算的通分、约分规则，同时需注意分式有意义的前提是分母不为0，判断值为0时必须兼顾原式的定义域，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.5
19. (8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 2x - 3y = -7, \\ x + 5y = 3。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$。
(1)$\begin{cases} 2x - 3y = -7, \\ x + 5y = 3。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$。
答案
19.(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\dfrac{11}{5}$。
解析
【分析】
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解，核心思路：二元一次方程组通过消元法将二元转化为一元求解；分式方程需先去分母化为整式方程，且必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -7&① \\x +5y=3&② \end{cases}$
采用加减消元法，将②×2得：$2x +10y=6$ ③
用③ - ①：$(2x+10y)-(2x-3y)=6 - (-7)$
化简得：$13y=13$，解得$y=1$
把$y=1$代入②得：$x +5×1=3$，解得$x=-2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\y=1 \end{cases}$
(2) 解分式方程：
原方程$\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{x}{2-x}=4$，先将分母统一，$\dfrac{x}{2-x}=-\dfrac{x}{x-2}$，方程变形为：
$\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{x}{x-2}=4$
合并左边得：$\dfrac{3 - x}{x-2}=4$
两边同乘最简公分母$x-2$（注意$x≠2$），得：
$3 - x=4(x -2)$
展开右边：$3 -x=4x -8$
移项合并同类项：$-5x=-11$，解得$x=\dfrac{11}{5}$
检验：当$x=\dfrac{11}{5}$时，$x-2=\dfrac{11}{5}-\dfrac{10}{5}=\dfrac{1}{5}≠0$，所以$x=\dfrac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\dfrac{11}{5}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为初中代数基础题型，分别考察二元一次方程组的消元运算和分式方程的求解（需注意验根的易错点），核心是掌握基本运算规则和步骤。
【难度系数】
0.7
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解，核心思路：二元一次方程组通过消元法将二元转化为一元求解；分式方程需先去分母化为整式方程，且必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -7&① \\x +5y=3&② \end{cases}$
采用加减消元法，将②×2得：$2x +10y=6$ ③
用③ - ①：$(2x+10y)-(2x-3y)=6 - (-7)$
化简得：$13y=13$，解得$y=1$
把$y=1$代入②得：$x +5×1=3$，解得$x=-2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\y=1 \end{cases}$
(2) 解分式方程：
原方程$\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{x}{2-x}=4$，先将分母统一，$\dfrac{x}{2-x}=-\dfrac{x}{x-2}$，方程变形为：
$\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{x}{x-2}=4$
合并左边得：$\dfrac{3 - x}{x-2}=4$
两边同乘最简公分母$x-2$（注意$x≠2$），得：
$3 - x=4(x -2)$
展开右边：$3 -x=4x -8$
移项合并同类项：$-5x=-11$，解得$x=\dfrac{11}{5}$
检验：当$x=\dfrac{11}{5}$时，$x-2=\dfrac{11}{5}-\dfrac{10}{5}=\dfrac{1}{5}≠0$，所以$x=\dfrac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\dfrac{11}{5}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为初中代数基础题型，分别考察二元一次方程组的消元运算和分式方程的求解（需注意验根的易错点），核心是掌握基本运算规则和步骤。
【难度系数】
0.7
