18.(6分)如图,在$□ ABCD$中,分别以$B,D$为圆心,$BA,DC$的长为半径画两段圆弧,分别交$BC$于点$M$,交$AD$于点$N$,连结$AM$,$CN$。请判断四边形$AMCN$是否为平行四边形,并说明理由。

18.解:四边形AMCN是平行四边形。理由如下:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD\equalparallel BC,AB=CD$。又因为$BM=AB,ND=CD$,所以$BM=ND$,所以$AN\equalparallel CM$,故四边形AMCN是平行四边形。

【分析】要判断四边形AMCN是否为平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。先根据平行四边形ABCD的性质得到对边平行且相等，再结合作图得到的线段相等关系，推导四边形AMCN的一组对边平行且相等，进而判定其为平行四边形。
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$，$AB=CD$。由题意可知，以B为圆心BA长为半径画弧交BC于M，故$BM=AB$；以D为圆心DC长为半径画弧交AD于N，故$ND=CD$。因为$AB=CD$，所以$BM=ND$。因此$AD - ND = BC - BM$，即$AN=CM$。又因为$AD// BC$，所以$AN// CM$。根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形AMCN是平行四边形。
【答案】四边形AMCN是平行四边形，理由如下：因为四边形ABCD为平行四边形，所以$AD\equalparallel BC$，$AB=CD$。又因为$BM=AB$，$ND=CD$，所以$BM=ND$，所以$AN\equalparallel CM$，故四边形AMCN是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】本题结合平行四边形的性质与判定，通过作图得到线段相等，推导四边形的对边平行且相等，从而完成平行四边形的判定，属于基础题型，重点考查对平行四边形相关定理的应用能力。
【难度系数】0.6

19.(6分)如图,扶梯AB的坡比为1:1,现保持高度BC不变,将其改造为坡比为$1:\sqrt{3}$的滑梯BD。已知点C,A,D三点共线,AD$=6\ \mathrm{m}$。求滑梯的高度$BC(\sqrt{3}\approx1.73$,精确到$0.1\ \mathrm{m})$。

19.解:设$BC=a$,则由题意,得$AC=BC=a,DC=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}a$,所以$AD=DC-AC=\sqrt{3}a-a$,即有$\sqrt{3}a-a=6$,解得$a\approx8.2$,故滑梯的高度$BC$为$8.2 \ \mathrm{m}$。

【分析】
要解决该问题，需利用坡比的定义：坡比是直角三角形中垂直高度与水平宽度的比值。设滑梯高度BC为$a$，根据扶梯AB的坡比1:1可得AC与BC的关系，再根据改造后滑梯BD的坡比1:√3得到DC与BC的关系，结合线段AD的长度建立方程，即可求解BC的长度。
【解析】
设滑梯的高度$ BC = a \, \mathrm{m} $。
1. 由扶梯AB的坡比为$1:1$，坡比定义为$\frac{垂直高度}{水平宽度}$，即$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{1}$，因此$ AC = BC = a $。
2. 改造后滑梯BD的坡比为$1:\sqrt{3}$，同理可得$\frac{BC}{DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，因此$ DC = \sqrt{3} BC = \sqrt{3}a $。
3. 已知点C、A、D共线，且$ AD = DC - AC = 6 \, \mathrm{m} $，代入得：
$\sqrt{3}a - a = 6$
提取公因式：$a(\sqrt{3} - 1) = 6$
解得：$a = \frac{6}{\sqrt{3} - 1}$
分母有理化（分子分母同乘$\sqrt{3} + 1$）：
$a = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 3(\sqrt{3} + 1)$
代入$\sqrt{3} \approx 1.73$：
$a \approx 3 × (1.73 + 1) = 8.19 \approx 8.2 \, \mathrm{m}$
【答案】
$8.2 \, \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形、坡比应用
【点评】
本题考查坡比的概念和解直角三角形的实际应用，核心是利用坡比得到直角三角形的边的关系，结合线段长度建立方程求解，需掌握坡比定义和方程思想，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

20.(8分)某学校科技创新兴趣小组为分析成员的项目实践时长,以便制定个性化培养计划,收集了10名成员的周均项目实践时长(单位:时),如下表:

如果将这10名成员分成两组,尽可能使同组内成员的周均项目实践时长接近、不同组成员的时长差异较大,应如何分组?

20.解:为满足“同组内时长接近,组间差异较大”的要求,可通过分析时长的数值分布来分组:
|组序|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- |
| |第1组|第2组| |
|1|12|10,9,8,5,4,3,2,1.5,1|92|
|2|12,10|9,8,5,4,3,2,1.5,1|63.97|
|3|12,10,9|8,5,4,3,2,1.5,1|40.17|
|4|12,10,9,8|5,4,3,2,1.5,1|20.63|
|5|12,10,9,8,5|4,3,2,1.5,1|32.6|
|6|12,10,9,8,5,4|3,2,1.5,1|48.19|
|7|12,10,9,8,5,4,3|2,1.5,1|67.93|
|8|12,10,9,8,5,4,3,2|1.5,1|92|
|9|12,10,9,8,5,4,3,2,1.5|1|115.22|
计算结果表明,将数据分成高时长组区间:{成员1(12小时)、成员2(10小时)、成员3(9小时)、成员4(8小时)}和低时长组区间,{成员5(5小时),成员6(4小时)、成员7(3小时)、成员8(2小时),成员9(1.5小时),成员10(1小时)}两组时,组内离差平方和最小,这样分组后,同组内成员的项目实践时长差距小,便于兴趣小组根据不同组别设计针对性的培养方案;组间时长差异大,能有效实现个性化的能力提升。

【分析】要解决该分组问题，需明确分组的核心要求：同组内成员的周均实践时长接近、组间时长差异大。衡量同组数据接近程度的指标是组内离差平方和，离差平方和越小，说明组内数据越集中（接近），因此需计算不同分组方式的组内离差平方和，找到离差平方和最小的分组，即为符合要求的分组。
【解析】首先整理10名成员的周均实践时长数据：12、10、9、8、5、4、3、2、1.5、1。通过计算不同分组情况下的组内离差平方和，对比各分组的离差平方和大小：当高时长组包含12、10、9、8，低时长组包含5、4、3、2、1.5、1时，组内离差平方和最小，此时同组内成员时长差距小，组间时长差异大，满足题目要求。
【答案】将10名成员分为两组：高时长组为周均实践时长12时、10时、9时、8时的成员；低时长组为周均实践时长5时、4时、3时、2时、1.5时、1时的成员。
【知识点】统计分组、离差平方和
【点评】本题是统计分组在实际问题中的应用，需要理解组内离差平方和的意义，通过计算对比确定最优分组，考察学生对统计分析方法的实际运用能力。
【难度系数】0.5