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21.(8分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边BC上一点,连结AE,交BD于点M,过点B作$BF⊥AE$于点P,交AC于点G,交CD于点F。求证:
(1)$△ ABE≌△ BCF$。
(2)$OM=OG$。
(1)$△ ABE≌△ BCF$。
(2)$OM=OG$。
答案
21.证明:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以$∠ ABC=∠ BCD=90°,AB=BC$,所以$∠ ABF+∠ CBF=90°$。因为$BF⊥ AE$,所以$∠ ABF+∠ BAE=90°$,所以$∠ BAE=∠ CBF$。在$△ ABE$和$△ BCF$中,$\begin{cases}∠ ABE=∠ BCF,\\AB=BC,\\∠ BAE=∠ CBF,\end{cases}$所以$△ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$。(2)因为四边形ABCD是正方形,所以$AC⊥ BD,OA=OB$,所以$∠ AOM=∠ BOG=90°$,所以$∠ MAO+∠ AMO=90°$,因为$BF⊥ AE$,所以$∠ MBP+∠ BMP=90°$。又因为$∠ BMP=∠ AMO$,所以$∠ MAO=∠ MBP$。在$△ AOM$和$△ BOG$中,$\begin{cases}∠ AOM=∠ BOG,\\OA=BO,\\∠ MAO=∠ GBO,\end{cases}$所以$△ AOM≌△ BOG(\mathrm{ASA})$,所以$OM=OG$。
解析
【分析】
要证明(1)△ABE≌△BCF，需利用正方形的性质得到边相等和直角，再结合垂直关系推出角相等，用ASA判定全等；要证明(2)OM=OG，需利用正方形对角线的性质得到OA=OB和垂直关系，通过角的等量代换找到全等条件，用ASA证明△AOM≌△BOG，进而得到OM=OG。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF + ∠CBF = 90°。
∵BF⊥AE，
∴∠APB=90°，
∴∠ABF + ∠BAE = 90°，
∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠BCF, \\AB=BC, \\∠BAE=∠CBF,\end{array} $
∴△ABE≌△BCF(ASA)。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOM=∠BOG=90°，
∴∠MAO + ∠AMO=90°。
∵BF⊥AE，
∴∠MPB=90°，
∴∠MBP + ∠BMP=90°。
又
∵∠BMP=∠AMO，
∴∠MAO=∠MBP。
在△AOM和△BOG中，
$\{\begin{array}{l}∠AOM=∠BOG, \\OA=OB, \\∠MAO=∠GBO,\end{array} $
∴△AOM≌△BOG(ASA)，
∴OM=OG。
【答案】
(1) △ABE≌△BCF；(2) OM=OG。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是正方形性质与全等三角形判定的综合应用，需熟练运用正方形的边、角、对角线性质，通过角的等量代换推导全等条件，属于几何证明的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要证明(1)△ABE≌△BCF，需利用正方形的性质得到边相等和直角，再结合垂直关系推出角相等，用ASA判定全等；要证明(2)OM=OG，需利用正方形对角线的性质得到OA=OB和垂直关系，通过角的等量代换找到全等条件，用ASA证明△AOM≌△BOG，进而得到OM=OG。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF + ∠CBF = 90°。
∵BF⊥AE，
∴∠APB=90°，
∴∠ABF + ∠BAE = 90°，
∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠BCF, \\AB=BC, \\∠BAE=∠CBF,\end{array} $
∴△ABE≌△BCF(ASA)。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOM=∠BOG=90°，
∴∠MAO + ∠AMO=90°。
∵BF⊥AE，
∴∠MPB=90°，
∴∠MBP + ∠BMP=90°。
又
∵∠BMP=∠AMO，
∴∠MAO=∠MBP。
在△AOM和△BOG中，
$\{\begin{array}{l}∠AOM=∠BOG, \\OA=OB, \\∠MAO=∠GBO,\end{array} $
∴△AOM≌△BOG(ASA)，
∴OM=OG。
【答案】
(1) △ABE≌△BCF；(2) OM=OG。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是正方形性质与全等三角形判定的综合应用，需熟练运用正方形的边、角、对角线性质，通过角的等量代换推导全等条件，属于几何证明的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(10分)小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个。经过市场调查发现:若挂件以单价25元售出，一天能售出70个;若每个降价1元，则一天可多售出10个。
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个?(4分)
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元?(6分)
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个?(4分)
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元?(6分)
答案
22.解:(1)由题意,得当挂件定价为22元时,一天能卖出$70+(25-22)×10=100$(个)。(2)设每个挂件应降价$x$元,由题意,得$(25-13-x)(70+10x)=880$,解得$x=1$或4,又因为$70+10x≤100$,所以$x≤3$。故$x=1$。答:每个挂件应降价1元。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知单价25元时销量为70个，每降价1元多售10个，先计算定价22元比25元的降价金额，再结合“每降1元多售10个”的关系算出多售数量，最终得到总销量。
2. 第(2)问：利用利润公式“利润=(售价-成本-降价金额)×销量”，设降价金额为未知数，结合题目限定的“每天最多售100个”的销量上限，列方程求解后筛选符合实际的解。
【解析】
(1) 定价22元时，比25元降价了$25-22=3$元，多售出的数量为$3×10=30$个，因此一天的总销量为$70+30=100$个。
(2) 设每个挂件降价$x$元，根据利润公式列方程：
$(25-13-x)(70+10x)=880$
化简得：$(12-x)(70+10x)=880$
展开整理：$-10x^2 +50x +840=880$，即$x^2 -5x +4=0$
因式分解得：$(x-1)(x-4)=0$，解得$x=1$或$x=4$。
又因每天最多售100个，故$70+10x≤100$，即$x≤3$，因此$x=4$不符合要求，舍去，得$x=1$。
【答案】
(1)100个；(2)每个挂件应降价1元。
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题、不等式的实际应用
【点评】
本题是利润类一元二次方程的典型应用题，核心是明确销量与降价金额的数量关系，需结合题目中“每天最大销量”的限制条件，对解方程得到的解进行合理性筛选，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知单价25元时销量为70个，每降价1元多售10个，先计算定价22元比25元的降价金额，再结合“每降1元多售10个”的关系算出多售数量，最终得到总销量。
2. 第(2)问：利用利润公式“利润=(售价-成本-降价金额)×销量”，设降价金额为未知数，结合题目限定的“每天最多售100个”的销量上限，列方程求解后筛选符合实际的解。
【解析】
(1) 定价22元时，比25元降价了$25-22=3$元，多售出的数量为$3×10=30$个，因此一天的总销量为$70+30=100$个。
(2) 设每个挂件降价$x$元，根据利润公式列方程：
$(25-13-x)(70+10x)=880$
化简得：$(12-x)(70+10x)=880$
展开整理：$-10x^2 +50x +840=880$，即$x^2 -5x +4=0$
因式分解得：$(x-1)(x-4)=0$，解得$x=1$或$x=4$。
又因每天最多售100个，故$70+10x≤100$，即$x≤3$，因此$x=4$不符合要求，舍去，得$x=1$。
【答案】
(1)100个；(2)每个挂件应降价1元。
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题、不等式的实际应用
【点评】
本题是利润类一元二次方程的典型应用题，核心是明确销量与降价金额的数量关系，需结合题目中“每天最大销量”的限制条件，对解方程得到的解进行合理性筛选，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.6
