23.(10分)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,连结BD,P为BD上的一点,过点P的线段分别交边AD,BC于点E,F。
(1)若PB=PD,求证:BE=DF。(3分)
(2)在(1)的条件下,请再添加一个条件(不再连线和添加字母),使得四边形EBFD为菱形,并说明理由。(4分)
(3)当$EF⊥ BC$且四边形EBFD有且仅有两条边相等时,求AE的长。(3分)

23.(1)证明:在矩形ABCD中,因为$AD// BC$,所以$∠ PBF=∠ PDE$。又因为$∠ BPF=∠ DPE,PB=PD$,所以$△ PBF≌△ PDE(\mathrm{ASA})$。所以$BF=DE$,所以$BF\equalparallel DE$。所以四边形BFDE是平行四边形。所以$BE=DF$。(其他方法按步骤同等酌情给分) (2)解:方法1:添加$EB=ED$(或$∠ EDB=∠ EBD$),理由如下:因为四边形EBFD是平行四边形,$EB=ED$,所以四边形EBFD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。方法2:添加$EF⊥ BD$(或$∠ EBP+∠ BEP=90°$)。理由如下:因为四边形EBFD是平行四边形,$EF⊥ BD$,所以四边形EBFD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。方法3:添加$BP$平分$∠ EBF$(或$EF$平分$∠ BED$),理由如下:在$□ EBFD$中,因为$ED// BF$,所以$∠ EDB=∠ FBD$。因为$BP$平分$∠ EBF$,所以$∠ EBD=∠ FBD$。所以$∠ EDB=∠ EBD$,所以$EB=ED$,所以$□ EBFD$是菱形。备注:写两个条件并做对给3分,如添加$BP$平分$∠ EBF$且$EF$平分$∠ BED$。理由如下:在$□ EBFD$中,因为$ED// BF$,所以$∠ EBF+∠ BED=180°$。因为$BP$平分$∠ EBF$且$EF$平分$∠ BED$,所以$∠ EBP+∠ BEP=\frac{1}{2}∠ EBF+\frac{1}{2}∠ BED=90°$。所以$∠ EPB=180°-(∠ EBP+∠ BEP)=90°$,即$EF⊥ BD$,所以$□ EBFD$是菱形。(3)①如图1,当$BE=DE$时,设$BE=DE=x$,则$AE=8-x$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,有$(8-x)^2+4^2=x^2$,解得$x=5$。此时$AE=8-x=3$。②如图2,当$BE=DF$时,易证$△ BEF≌△ FDC$。所以$BF=FC=4$,此时$AE=BF=4$。不合题意。③如图2,当$BF=DE$时,易得$AE=BF=DE=4$。不合题意。④如图3,当$BF=DF$时,设$BF=DF=a$,则$CF=8-a$,在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,有$(8-a)^2+4^2=a^2$,解得$a=5$。所以$AE=BF=a=5$。综上所述,$AE$的长为3或5。[第23题图]

【分析】
本题是矩形相关的几何证明与计算问题，分三小问：
（1）要证BE=DF，先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合已知PB=PD和对顶角相等，用ASA证明三角形全等，得到BF=DE，再证四边形BFDE是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质得BE=DF；
（2）在（1）中已证四边形EBFD是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加邻边相等或对角线垂直等条件即可使其成为菱形；
（3）EF⊥BC时，结合矩形性质可知EF⊥AD，四边形EBFD有且仅有两条边相等，分两种情况：①BE=DE，利用勾股定理列方程求解AE；②BF=DF，同样用勾股定理列方程求解AE，排除不符合题意的情况，最终得到AE的长度。
【解析】
（1）证明：在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠PBF=∠PDE。
在△PBF和△PDE中，
$\{\begin{array}{l}∠PBF=∠PDE \\PB=PD \\∠BPF=∠DPE\end{array} $
∴△PBF≌△PDE（ASA），
∴BF=DE。
又
∵BF//DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF。
（2）解：添加条件：EB=ED（答案不唯一），理由如下：
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，又
∵EB=ED，
∴平行四边形EBFD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（3）解：
∵EF⊥BC，矩形ABCD中AD//BC，
∴EF⊥AD，四边形EBFD有且仅有两条边相等，分情况讨论：
①当BE=DE时，设BE=DE=x，则AE=AD - DE=8 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE^2 + AB^2 = BE^2$，即$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开化简得：$64 -16x +16 =0$，解得x=5，
∴AE=8 -5=3；
②当BF=DF时，设BF=DF=a，则CF=BC - BF=8 - a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：$CF^2 + CD^2 = DF^2$，即$(8 - a)^2 + 4^2 = a^2$，
展开化简得：$64 -16a +16 =0$，解得a=5，
此时AE=BF=a=5；
其他情况（如BE=DF或BF=DE）时，四边形EBFD不符合“有且仅有两条边相等”的条件，排除。
综上，AE的长为3或5。
【答案】
AE的长为3或5。
【知识点】
矩形性质、全等三角形判定、菱形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、全等三角形、菱形、勾股定理的相关知识，需熟练掌握几何图形的性质与判定，第三问需分情况讨论，考查学生的逻辑思维与分类讨论能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5