19.(8分)八年级两个班男生的身高(单位:cm)分别如下：
甲班：
164 171 163 158 167 175 169 181 168 176
175 162 166 165 172 169 171 168 174 170
乙班：
172 170 163 161 179 160 176 174 170
178 183 166 168 167 180 171 168 172
请结合男生身高的四分位数和箱线图比较这两个班级男生的身高差异。

甲班:将数据从小到大排列为 158,162,163,164,165,166,167,168,168,169,169,170,171,171,172,174,175,175,176,181。第5个数与第6个数的平均数$\frac{165+166}{2}=165.5$是下四分位数;第10个数与第11个数的平均数$\frac{169+169}{2}=169$是第50百分位数;第15个数与第16个数的平均数$\frac{172+174}{2}=173$是上四分位数。 乙班:将数据从小到大排列为 160,161,163,166,167,168,168,170,170,171,172,172,174,176,178,179,180,183。第5个数167是下四分位数;第9个数与第10个数的平均数$\frac{170+171}{2}=170.5$是第50百分位数;第14个数176是上四分位数。画箱线图如图: 差异:乙班男生身高的中位数略高于甲班,甲班的最小身高低于乙班的最小身高,甲班的最大身高也低于乙班的最大身高,甲班男生身高分布更为集中(合理即可)。

【分析】
要比较两班男生的身高差异，需先对甲、乙两班的身高数据分别从小到大排序，再根据数据个数计算下四分位数、中位数（第50百分位数）、上四分位数，最后结合计算出的统计量和题目给出的箱线图，对比两班身高的中位数、最值、分布集中程度等特征，进而得出结论。
【解析】
1. 计算甲班的四分位数：
将甲班20个数据从小到大排列为：158,162,163,164,165,166,167,168,168,169,169,170,171,171,172,174,175,175,176,181。
下四分位数（Q₁）：位置为$\frac{20}{4}=5$，取第5、6个数的平均数，即$\frac{165+166}{2}=165.5$；
中位数（第50百分位数）：位置为$\frac{2×20}{4}=10$，取第10、11个数的平均数，即$\frac{169+169}{2}=169$；
上四分位数（Q₃）：位置为$\frac{3×20}{4}=15$，取第15、16个数的平均数，即$\frac{172+174}{2}=173$；
甲班身高的最值：最小值158cm，最大值181cm。
2. 计算乙班的四分位数：
将乙班18个数据从小到大排列为：160,161,163,166,167,168,168,170,170,171,172,172,174,176,178,179,180,183。
下四分位数（Q₁）：位置为$\frac{18}{4}=4.5$，取第5个数167；
中位数（第50百分位数）：位置为$\frac{2×18}{4}=9$，取第9、10个数的平均数，即$\frac{170+171}{2}=170.5$；
上四分位数（Q₃）：位置为$\frac{3×18}{4}=13.5$，取第14个数176；
乙班身高的最值：最小值160cm，最大值183cm。
3. 结合箱线图对比差异：
乙班男生身高的中位数略高于甲班；甲班的最小身高低于乙班，最大身高也低于乙班；甲班男生身高分布更为集中。
【答案】
甲班:将数据从小到大排列为 158,162,163,164,165,166,167,168,168,169,169,170,171,171,172,174,175,175,176,181。第5个数与第6个数的平均数$\frac{165+166}{2}=165.5$是下四分位数;第10个数与第11个数的平均数$\frac{169+169}{2}=169$是第50百分位数;第15个数与第16个数的平均数$\frac{172+174}{2}=173$是上四分位数。 乙班:将数据从小到大排列为 160,161,163,166,167,168,168,170,170,171,172,172,174,176,178,179,180,183。第5个数167是下四分位数;第9个数与第10个数的平均数$\frac{170+171}{2}=170.5$是第50百分位数;第14个数176是上四分位数。画箱线图如图: 差异:乙班男生身高的中位数略高于甲班,甲班的最小身高低于乙班的最小身高,甲班的最大身高也低于乙班的最大身高,甲班男生身高分布更为集中(合理即可)。
【知识点】
四分位数、箱线图、数据分布分析
【点评】
本题考查利用四分位数和箱线图分析两组数据的分布差异，核心是掌握数据排序后计算四分位数的方法，以及从箱线图中提取关键统计量对比特征，属于统计应用的基础题型，需注意四分位数的计算规则。
【难度系数】
0.5

20.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,BC＞AB。以点C为圆心,CD长为半径作弧,交边BC于点E,连结AE。
(1)求证:$∠ ADE=∠ CDE$。
(2)若$AE⊥ BC$,$CE=5$,$BE=3$,求$ED$的长。

(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD//BC,所以∠ADE=∠CED,又因为CE=CD,所以∠CED=∠CDE,所以∠ADE=∠CDE。(2)解:如图,过点D作BC延长线的垂线DH,H为垂足。因为AE⊥BC,DH⊥BC,所以AE//DH,又因为AD//BC,所以四边形AEHD为平行四边形,又因为AE⊥BC,所以□AEHD为矩形,所以EH=AD=BC=BE+EC=3+5=8,又因为CD=CE=5,CH=EH-CE=8-5=3,所以$DH^2=CD^2-CH^2=25-9=16$,所以$DE^2=DH^2+EH^2=16+8^2=80$,所以$DE=4\sqrt{5}$。

【分析】
第(1)问：要证明∠ADE=∠CDE，需结合平行四边形的性质和等腰三角形的性质。由平行四边形对边平行，可得AD//BC，从而内错角∠ADE与∠CED相等；再根据作图可知CD=CE，△CDE为等腰三角形，故∠CED=∠CDE，通过等量代换即可得证。
第(2)问：要求ED的长，需构造直角三角形。已知AE⊥BC，过D作DH⊥BC延长线于H，可证四边形AEHD为矩形，得到EH=AD=BC，进而求出EH和CH的长度；在Rt△CDH中用勾股定理求DH，再在Rt△EDH中用勾股定理计算ED的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠CED（两直线平行，内错角相等）。
又
∵以点C为圆心，CD长为半径作弧，交BC于E，
∴CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠ADE=∠CDE（等量代换）。
(2) 解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE//DH，
又
∵AD//BC，
∴四边形AEHD是平行四边形，
又
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEHD是矩形，
∴EH=AD=BC=BE+EC=3+5=8，
∵CD=CE=5，
∴CH=EH - CE=8 - 5=3，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
DH²=CD² - CH²=5² - 3²=16，
在Rt△EDH中，由勾股定理得：
DE²=DH² + EH²=16 + 8²=80，
∴DE=4√5。
【答案】
4√5
【知识点】
平行四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形、矩形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用平行和垂直关系构造矩形，结合等腰三角形性质与勾股定理求解，需学生具备较强的几何推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.5