14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,点E是BC的中点,连结OE。若OE=3,OA=4,则BC的长为。

10

【分析】首先，根据平行四边形对角线互相平分的性质，确定O是AC的中点；再结合E是BC中点，利用三角形中位线定理求出AB的长度；最后由AC⊥AB，可知△ABC为直角三角形，通过勾股定理计算BC的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，根据平行四边形对角线互相平分的性质，得OA=OC。已知OA=4，所以AC=2OA=8。
2. 因为O是AC中点，E是BC中点，所以OE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得OE=$\frac{1}{2}$AB。已知OE=3，所以AB=2OE=6。
3. 因为AC⊥AB，所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。根据勾股定理，BC=$\sqrt{AB^2 + AC^2}$=$\sqrt{6^2 + 8^2}$=$\sqrt{36+64}$=$\sqrt{100}$=10。
【答案】10
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、三角形中位线定理与勾股定理，解题关键是利用中点关系确定中位线，结合直角三角形的勾股定理求解，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】0.5

15.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法。以方程$x^2+5x-14=0$，即$x(x+5)=14$为例说明，《方图注》中记载的方法为:构造图形如图，其中大正方形的面积是$(x+x+5)^2$，同时它又等于4个小长方形的面积加上中间小正方形的面积，即$4×14+5^2$，因此$x=2$。小明用此方法解关于$x$的方程$x^2+mx-n=0$时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则$mn$的值为________。

5

【分析】
本题利用古代数学家解一元二次方程的几何方法，将方程与图形面积结合。首先明确：方程$x^2+mx-n=0$变形为$x(x+m)=n$，对应图形中中间小正方形边长为$m$，面积为$m^2$；大正方形面积等于4个小长方形面积（每个面积为$n$）加中间小正方形面积，即$(2x+m)^2=4n+m^2$。结合已知大、小正方形面积，先求$m$，再求$n$，最终计算$mn$。
【解析】
1. 中间小正方形的边长为$m$，其面积为$m^2$，已知小正方形面积为4，因此$m^2=4$，因$m$为正数（长度），故$m=2$。
2. 大正方形面积等于4个小长方形面积加中间小正方形面积，即$4n+m^2=14$，将$m^2=4$代入得：$4n+4=14$，解得$4n=10$，即$n=\frac{5}{2}$。
3. 计算$mn$：$mn=2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程几何解法、代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的思想，将代数方程转化为几何图形面积关系求解，需理解图形边长与方程系数的对应逻辑，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.5

16.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,E为OC上一点,连结BE并延长,交CD于点F,满足$BA=BE$,若$BF=4\sqrt{2}$,$DF=2\sqrt{2}$,则$BC=$______。

$\sqrt{30}$ 解析:因为BA=BE,所以∠FEC=∠BEA=∠BAE,因为四边形ABCD是矩形,点F在CD上,所以BA=CD,CF//AB,∠BCF=90°,所以∠FCE=∠BAE,CD=BE,所以∠FEC=∠FCE,所以FC=FE,因为FC=CD-DF=BE-DF,FE=BF-BE,且BF=4√2,DF=2√2,所以BE-2√2=4√2-BE,所以BE=3√2,所以FC=FE=BF-BE=4√2-3√2=√2,所以BC=$\sqrt{BF^2-FC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{30}$。

【分析】
本题是矩形中的线段计算问题，解题思路为：先利用矩形对边相等的性质得到BA=CD，结合已知BA=BE推出BE=CD；再通过角的等量代换证明FC=FE；接着根据线段间的关系建立方程求出BE的长度；最后在直角三角形BCF中，利用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
因为四边形ABCD是矩形，所以BA=CD，∠BCF=90°，AB//CD，故∠BAE=∠FCE。
已知BA=BE，因此BE=CD，且∠BEA=∠BAE。
又因为∠BEA与∠FEC是对顶角，所以∠BEA=∠FEC，进而∠FEC=∠FCE，可得FC=FE。
根据线段关系：FC=CD - DF，FE=BF - BE，结合CD=BE，可得FC=BE - DF，FE=BF - BE。
由于FC=FE，代入BF=4√2，DF=2√2，得：
BE - 2√2 = 4√2 - BE，
解得BE=3√2。
所以FC=FE=BF - BE=4√2 - 3√2=√2。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BC=√(BF² - FC²)=√[(4√2)² - (√2)²]=√(32 - 2)=√30。
【答案】
√30
【知识点】
矩形性质、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形的性质、等腰三角形的判定与勾股定理，核心是通过角的等量代换推导出FC=FE，进而建立线段关系求解，需要学生具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4

17.(8分)计算：
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{5})×\sqrt{5}$。
(2)$(-\sqrt{7})^{2}+\sqrt{(-7)^{2}}$。

(1)原式=$\sqrt{15}-5$。(2)原式=7+7=14。

【分析】
本题考查二次根式的基本运算，第(1)问需运用乘法分配律展开式子，再化简二次根式；第(2)问要分别计算两个二次根式项，注意区分$(-\sqrt{7})^2$和$\sqrt{(-7)^2}$的计算规则，再求和。
【解析】
(1) 根据乘法分配律展开原式：
$(\sqrt{3}-\sqrt{5})×\sqrt{5} = \sqrt{3}×\sqrt{5} - \sqrt{5}×\sqrt{5} = \sqrt{15} - 5$。
(2) 分别计算两项：
$(-\sqrt{7})^2 = (-1)^2×(\sqrt{7})^2 = 1×7 =7$；
$\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49}=7$；
则原式$=7+7=14$。
【答案】
(1)$\sqrt{15}-5$；(2)$14$
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质
【点评】
本题为二次根式的基础计算题，主要考查乘法分配律和二次根式的核心性质，需注意区分平方项的不同计算方式，整体难度较低，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6

18.(8分)解方程：
(1)$x^2 - 2x = -1$。
(2)$x(x - 2) + (x - 2) = 0$。

(1)$x^2-2x=-1$,$x^2-2x+1=0$,$(x-1)^2=0$,所以$x_1=x_2=1$。(2)$x(x-2)+(x-2)=0$,$(x+1)(x-2)=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=2$。

【分析】
本题是解一元二次方程的题目，需根据方程的结构特点选择合适的方法：第(1)题适合用配方法，通过添加常数项将方程左边配成完全平方式；第(2)题存在公因式，适合用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次式乘积为0的形式，进而求解。
【解析】
(1) 对原方程移项：$x^2 - 2x + 1 = 0$，
配方得：$(x - 1)^2 = 0$，
解得：$x_1 = x_2 = 1$；
(2) 提取公因式$(x - 2)$：$(x - 2)(x + 1) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1)$x_1=x_2=1$；(2)$x_1=-1$，$x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，配方法和因式分解法是解一元二次方程的常用方法，题目难度较低，属于基础题型，学生需掌握基本的配方和因式分解技巧即可完成。
【难度系数】
0.8