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21.(8分)在周长相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为4,它的另一边长为6。
(1)设矩形的一边长为$ x $,用含$ x $的代数式表示它的另一条边长和面积。
(2)圆圆说:“其中有一个矩形的面积为21。”方方说:“有一个矩形的面积为30。”圆圆和方方的说法是否正确?请说明理由。
(1)设矩形的一边长为$ x $,用含$ x $的代数式表示它的另一条边长和面积。
(2)圆圆说:“其中有一个矩形的面积为21。”方方说:“有一个矩形的面积为30。”圆圆和方方的说法是否正确?请说明理由。
答案
(1)由题意,得周长为(4+6)×2=20,则另一条边长可表示为10-x,面积为$10x-x^2$。(2)圆圆的说法对,方方的说法不对。理由如下:根据圆圆的说法,$-x^2+10x=21$,解得边长为3和7;根据方方的说法,$-x^2+10x=30$,即$x^2-10x+30=0$,因为$10^2-4×30=-20＜0$,所以该方程无解,所以圆圆的说法正确,方方的说法不正确。
解析
【分析】首先根据题目中给出的已知矩形（边长为4和6）算出所有待讨论矩形的周长，进而确定这类矩形长与宽的和，用含x的代数式表示另一边和面积；对于判断面积是否存在的问题，需将面积代入面积公式得到一元二次方程，通过解方程或利用判别式判断方程是否有符合边长为正的实根，即可确定两人说法的正确性。
【解析】(1) 边长为4和6的矩形周长为：$(4+6)×2=20$，由于所有待讨论矩形周长相等，因此这类矩形长与宽的和为$20÷2=10$。若一边长为$x$，则另一边长为$10-x$，面积为$x(10-x)=10x-x^2$。
(2) 分别判断两人说法：
① 若面积为21，列方程：$10x-x^2=21$，整理得$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x=3$或$x=7$，均满足$0＜x＜10$，此时矩形存在，故圆圆的说法正确；
② 若面积为30，列方程：$10x-x^2=30$，整理得$x^2-10x+30=0$，计算判别式$\Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$，该方程无实数解，故方方的说法不正确。
【答案】(1) 另一条边长为$10-x$，面积为$10x-x^2$；(2) 圆圆的说法正确，方方的说法不正确。
【知识点】矩形的周长与面积、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合矩形的周长和面积考查一元二次方程的应用，核心是先确定所有矩形的周长，再通过方程根的情况判断面积是否存在，需注意边长为正数的隐含条件，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 边长为4和6的矩形周长为：$(4+6)×2=20$，由于所有待讨论矩形周长相等，因此这类矩形长与宽的和为$20÷2=10$。若一边长为$x$，则另一边长为$10-x$，面积为$x(10-x)=10x-x^2$。
(2) 分别判断两人说法：
① 若面积为21，列方程：$10x-x^2=21$，整理得$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x=3$或$x=7$，均满足$0＜x＜10$，此时矩形存在，故圆圆的说法正确；
② 若面积为30，列方程：$10x-x^2=30$，整理得$x^2-10x+30=0$，计算判别式$\Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$，该方程无实数解，故方方的说法不正确。
【答案】(1) 另一条边长为$10-x$，面积为$10x-x^2$；(2) 圆圆的说法正确，方方的说法不正确。
【知识点】矩形的周长与面积、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合矩形的周长和面积考查一元二次方程的应用，核心是先确定所有矩形的周长，再通过方程根的情况判断面积是否存在，需注意边长为正数的隐含条件，难度适中。
【难度系数】0.6
22.(10分)如图,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的一点(不与点A,C重合),连结DE,BE。过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,连结FG,与BE相交于点O。
(1)求证:DE=BE。
(2)圆圆说:"直线DE⊥GF。"圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若AE=2,CE=6,求GF的长度。
(1)求证:DE=BE。
(2)圆圆说:"直线DE⊥GF。"圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若AE=2,CE=6,求GF的长度。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以BC=DC=AD=AB,∠ABC=∠ADC=90°,所以∠BAC=∠BCA=45°,∠ACD=∠DAC=45°,所以∠BCA=∠DCA,又因为CE=CE,所以△BCE≌△DCE,所以BE=DE。(2)解:圆圆的说法正确。理由如下:如图,在边DC上取点H,使得CH=BF,并连结FH,由(1),得∠BCA=45°,且FE⊥BC,所以△EFC为等腰直角三角形,所以FE=FC,又因为四边形ABCD为正方形,所以∠ABC=∠BCD=90°,又因为GE⊥AB,所以四边形GBFE为矩形,所以GB=FE,所以GB=FC,所以由$\begin{cases} GB=FC, \\ ∠GBF=∠FCH, \\ BF=CH, \end{cases}$得△GBF≌△FCH(SAS)。所以∠GFB=∠FHC,故∠GFH=180°-∠GFB-∠HFC=180°-∠FHC-∠HFC=90°,即GF⊥FH。又因为BF=CH,BC=CD,所以FC=DH,又因为FE=CF,所以FE=DH,因为FE⊥BC,DC⊥BC,所以FE//DC,所以FE$\underline{\underline{//}}$DH。所以四边形FEDH为平行四边形,所以ED//FH,所以GF⊥ED。(3)解:由前面易知△AGE和△FEC为等腰直角三角形,所以易得$AG=GE=\frac{AE}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,$FE=CF=\frac{CE}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。所以在Rt△GFE中,有$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题为正方形综合题，分三小问逐步突破：
(1) 要证DE=BE，利用正方形对角线平分内角、四边相等的性质，通过SAS证明△BCE≌△DCE，即可得对应边相等；
(2) 判断DE⊥GF，需构造辅助线，先证△GBF≌△FCH得GF⊥FH，再证四边形FEDH为平行四边形推出DE//FH，从而得DE⊥GF；
(3) 求GF长度，利用正方形对角线的性质，得△AGE、△FEC为等腰直角三角形，结合AE、CE的长度算出GE、EF，再在Rt△GEF中用勾股定理计算GF。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，
又
∵ CE=CE，
∴ △BCE ≌ △DCE（SAS），
∴ BE=DE。
(2) 解：圆圆的说法正确，理由如下：
如图，在DC上取点H，使CH=BF，连接FH。
∵ 四边形ABCD是正方形，GE⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴ 四边形GBFE是矩形，
∴ GB=FE，∠GBF=90°，
又
∵ ∠ACB=45°，EF⊥BC，
∴ △EFC是等腰直角三角形，
∴ FE=FC，
∴ GB=FC。
在△GBF和△FCH中：
$\{\begin{array}{l} GB=FC \\ ∠GBF=∠FCH=90° \\ BF=CH \end{array} $
∴ △GBF ≌ △FCH（SAS），
∴ ∠GFB=∠FHC，
∴ ∠GFH=180° - ∠GFB - ∠HFC = 180° - ∠FHC - ∠HFC = 90°，即 GF⊥FH。
又
∵ BC=CD，BF=CH，
∴ BC - BF = CD - CH，即 FC=DH，
∵ FE=FC，
∴ FE=DH，
∵ FE⊥BC，DC⊥BC，
∴ FE//DH，
∴ 四边形FEDH是平行四边形，
∴ DE//FH，
∴ GF⊥DE，即DE⊥GF。
(3) 解：
∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴ ∠GAE=45°，∠FCE=45°，
又
∵ GE⊥AB，EF⊥BC，
∴ △AGE和△FEC都是等腰直角三角形，
∴ AG=GE=$\frac{AE}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
FE=CF=$\frac{CE}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
∵ GE⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴ 四边形GBFE是矩形，
∴ ∠GEF=90°，
在Rt△GEF中，由勾股定理得：
GF=$\sqrt{GE^2 + EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 正确；(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形的综合应用，综合考查了全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形及勾股定理的相关知识，需要学生熟练掌握正方形的性质，具备一定的几何推理和辅助线构造能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
本题为正方形综合题，分三小问逐步突破：
(1) 要证DE=BE，利用正方形对角线平分内角、四边相等的性质，通过SAS证明△BCE≌△DCE，即可得对应边相等；
(2) 判断DE⊥GF，需构造辅助线，先证△GBF≌△FCH得GF⊥FH，再证四边形FEDH为平行四边形推出DE//FH，从而得DE⊥GF；
(3) 求GF长度，利用正方形对角线的性质，得△AGE、△FEC为等腰直角三角形，结合AE、CE的长度算出GE、EF，再在Rt△GEF中用勾股定理计算GF。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，
又
∵ CE=CE，
∴ △BCE ≌ △DCE（SAS），
∴ BE=DE。
(2) 解：圆圆的说法正确，理由如下：
如图，在DC上取点H，使CH=BF，连接FH。
∵ 四边形ABCD是正方形，GE⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴ 四边形GBFE是矩形，
∴ GB=FE，∠GBF=90°，
又
∵ ∠ACB=45°，EF⊥BC，
∴ △EFC是等腰直角三角形，
∴ FE=FC，
∴ GB=FC。
在△GBF和△FCH中：
$\{\begin{array}{l} GB=FC \\ ∠GBF=∠FCH=90° \\ BF=CH \end{array} $
∴ △GBF ≌ △FCH（SAS），
∴ ∠GFB=∠FHC，
∴ ∠GFH=180° - ∠GFB - ∠HFC = 180° - ∠FHC - ∠HFC = 90°，即 GF⊥FH。
又
∵ BC=CD，BF=CH，
∴ BC - BF = CD - CH，即 FC=DH，
∵ FE=FC，
∴ FE=DH，
∵ FE⊥BC，DC⊥BC，
∴ FE//DH，
∴ 四边形FEDH是平行四边形，
∴ DE//FH，
∴ GF⊥DE，即DE⊥GF。
(3) 解：
∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴ ∠GAE=45°，∠FCE=45°，
又
∵ GE⊥AB，EF⊥BC，
∴ △AGE和△FEC都是等腰直角三角形，
∴ AG=GE=$\frac{AE}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
FE=CF=$\frac{CE}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
∵ GE⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴ 四边形GBFE是矩形，
∴ ∠GEF=90°，
在Rt△GEF中，由勾股定理得：
GF=$\sqrt{GE^2 + EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 正确；(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形的综合应用，综合考查了全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形及勾股定理的相关知识，需要学生熟练掌握正方形的性质，具备一定的几何推理和辅助线构造能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
23.(10分)如图,A,B,C是我国南部的三个岛屿,已知岛屿C在岛屿A的东北方向,岛屿B在岛屿A的正东方向,A,C两岛的距离为$20\sqrt{2}$ km,A,B两岛的距离为68 km。
(1)求B,C两岛的距离。
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响。若会受到影响,请求出台风影响岛屿C持续时间有多长;若不会受到影响,请说明理由。
(1)求B,C两岛的距离。
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响。若会受到影响,请求出台风影响岛屿C持续时间有多长;若不会受到影响,请说明理由。
答案
(1)如图,过点C作CD⊥AB于点D,由题意,∠A=∠ACD=45°,所以CD=AD。在Rt△ACD中,$AC=20\sqrt{2}$ km,由勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2$,所以$2AD^2=(20\sqrt{2})^2$,解得AD=20 km(负值已舍),所以CD=20 km,在Rt△BCD中,BD=AB-AD=68-20=48(km),由勾股定理,得$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{20^2+48^2}=52(km)$。故B,C两岛的距离为52 km。(2)会受影响。如图,以点C为圆心,25 km为半径画弧与AB交于点E,F,则EF=2DE,在Rt△CDE中,由勾股定理,得$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15(km)$,所以EF=30 km,30÷20=1.5(h)。故台风影响岛屿C的持续时间为1.5 h。
解析
【分析】
解题思路：1. 第(1)问：由“岛屿C在A的东北方向”得∠A=45°，过C作AB的垂线CD，将△ABC拆分为两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；利用等腰直角三角形性质（∠A=45°时CD=AD），结合Rt△ACD的勾股定理求出AD、CD；再根据AB长度算出BD，最后用Rt△BCD的勾股定理求BC。2. 第(2)问：判断C是否受台风影响，需比较C到AB的最短距离（即CD）与台风半径25km，CD=20km＜25km，故会受影响；以C为圆心、25km为半径画弧交AB于两点，两点间距离为台风影响路径，用勾股定理求该距离，再除以台风速度得持续时间。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，
由题意，∠CAD=45°，故△ACD为等腰直角三角形，CD=AD。
在Rt△ACD中，AC=20√2 km，根据勾股定理：
AD² + CD² = AC²，
∵AD=CD，
∴2AD²=(20√2)²，解得AD=20 km（负值舍去），故CD=20 km。
又AB=68 km，
∴BD=AB - AD=68-20=48 km。
在Rt△BCD中，BC=√(CD² + BD²)=√(20²+48²)=52 km。
(2) 由(1)知C到AB的距离CD=20 km，台风半径25 km，20＜25，故岛屿C会受影响。
设以C为圆心、25 km为半径的圆与AB交于E、F两点，则CE=CF=25 km，CD⊥EF，故DE=DF。
在Rt△CDE中，DE=√(CE² - CD²)=√(25²-20²)=15 km，
∴EF=2DE=30 km。
台风速度为20 km/h，持续时间=30÷20=1.5 h。
【答案】
(1)52 km；(2)会受到影响，持续时间为1.5 h
【知识点】
解直角三角形应用、勾股定理、方向角
【点评】
本题结合地理与台风实际场景，考查解直角三角形的核心应用，通过作高构造直角三角形是关键辅助线，第二问需结合圆与直线相交的几何意义确定影响路径，题型常规，侧重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.5
解题思路：1. 第(1)问：由“岛屿C在A的东北方向”得∠A=45°，过C作AB的垂线CD，将△ABC拆分为两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；利用等腰直角三角形性质（∠A=45°时CD=AD），结合Rt△ACD的勾股定理求出AD、CD；再根据AB长度算出BD，最后用Rt△BCD的勾股定理求BC。2. 第(2)问：判断C是否受台风影响，需比较C到AB的最短距离（即CD）与台风半径25km，CD=20km＜25km，故会受影响；以C为圆心、25km为半径画弧交AB于两点，两点间距离为台风影响路径，用勾股定理求该距离，再除以台风速度得持续时间。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，
由题意，∠CAD=45°，故△ACD为等腰直角三角形，CD=AD。
在Rt△ACD中，AC=20√2 km，根据勾股定理：
AD² + CD² = AC²，
∵AD=CD，
∴2AD²=(20√2)²，解得AD=20 km（负值舍去），故CD=20 km。
又AB=68 km，
∴BD=AB - AD=68-20=48 km。
在Rt△BCD中，BC=√(CD² + BD²)=√(20²+48²)=52 km。
(2) 由(1)知C到AB的距离CD=20 km，台风半径25 km，20＜25，故岛屿C会受影响。
设以C为圆心、25 km为半径的圆与AB交于E、F两点，则CE=CF=25 km，CD⊥EF，故DE=DF。
在Rt△CDE中，DE=√(CE² - CD²)=√(25²-20²)=15 km，
∴EF=2DE=30 km。
台风速度为20 km/h，持续时间=30÷20=1.5 h。
【答案】
(1)52 km；(2)会受到影响，持续时间为1.5 h
【知识点】
解直角三角形应用、勾股定理、方向角
【点评】
本题结合地理与台风实际场景，考查解直角三角形的核心应用，通过作高构造直角三角形是关键辅助线，第二问需结合圆与直线相交的几何意义确定影响路径，题型常规，侧重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.5
