24.(12分)如图,在菱形ABCD中,60°＜∠A＜90°。点E,点F分别在边AB,AD上,连结DE,CF,交于点G,且满足∠CGE+∠B=180°。
(1)若∠A=70°,∠DCF=10°,求∠CFD的度数。
(2)求证:∠CDG=∠CFD。
(3)求证:CF²−AD²=AE·DF。

(1)解:因为四边形ABCD是菱形,所以AB//CD,所以∠ADC=180°-∠A=110°,又因为∠DCF=10°,所以∠CFD=180°-∠CDF-∠DCF=60°。(2)证明:因为∠CGE+∠B=180°,∠CGE+∠B+∠BEG+∠BCG=360°,所以∠BEG+∠BCG=180°,因为∠BEG+∠AED=180°,所以∠BCG=∠AED。因为四边形ABCD是菱形,所以AB//CD,AD//BC,所以∠CDG=∠AED,∠CFD=∠BCG,所以∠CDG=∠CFD。(3)证明:如图,延长AD至点H,使得DH=AE,再过点C作CT⊥HD于点T,连结CH,因为四边形ABCD是菱形,所以CD=AD,AB//CD,所以∠A=∠CDH,所以△AED≌△DHC(SAS),所以∠H=∠AED,又因为∠AED=∠CFD,所以∠H=∠CFD,所以CF=CH。又因为CT⊥AD,所以TF=TH,在Rt△CTF中,由勾股定理,得$CF^2=CT^2+TF^2$,在Rt△CTD中,由勾股定理,得$CD^2=CT^2+TD^2$,所以$CF^2-AD^2=CF^2-CD^2=CT^2+TF^2-CT^2-TD^2=TF^2-TD^2=(TF+TD)(TF-TD)=(TH+TD)DF=DH· DF=AE· DF$。

【分析】
本题为菱形的几何综合题，解题思路如下：
（1）利用菱形对边平行的性质，得到∠ADC与∠A互补，结合三角形内角和定理，在△CDF中计算∠CFD的度数；
（2）通过已知的∠CGE+∠B=180°，结合四边形内角和与邻补角性质推导角相等，再利用菱形对边平行的内错角相等，等量代换得到结论；
（3）通过构造全等三角形，将CF转化为CH，结合勾股定理与等腰三角形三线合一性质，代数变形后证明等式成立。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠ADC + ∠A = 180°，
∵∠A=70°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
在△CDF中，∠DCF=10°，
∴∠CFD=180° - ∠ADC - ∠DCF = 180° -110° -10°=60°；
(2) 证明：
∵∠CGE + ∠B=180°，四边形BEGC内角和为360°，
∴∠BEG + ∠BCG = 360° - (∠CGE + ∠B)=180°，
又
∵∠BEG + ∠AED=180°（邻补角定义），
∴∠BCG=∠AED，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠CDG=∠AED（内错角相等），∠CFD=∠BCG（内错角相等），
∴∠CDG=∠CFD；
(3) 证明：如图，延长AD至点H，使得DH=AE，过点C作CT⊥HD于点T，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，AB//CD，
∴∠A + ∠ADC=180°，又∠CDH + ∠ADC=180°，
∴∠A=∠CDH，
在△AED和△DHC中：
$\{\begin{array}{l} AE=DH \\ ∠A=∠CDH \\ AD=CD \end{array} $
∴△AED≌△DHC（SAS），
∴∠H=∠AED，
由(2)知∠AED=∠CFD，
∴∠H=∠CFD，
∴CF=CH，
又
∵CT⊥HD，
∴TF=TH（等腰三角形三线合一），
在Rt△CTF中，由勾股定理：$CF^2=CT^2 + TF^2$，
在Rt△CTD中，由勾股定理：$CD^2=CT^2 + TD^2$，
∵CD=AD，
∴$CF^2 - AD^2 = CF^2 - CD^2 = (CT^2 + TF^2) - (CT^2 + TD^2) = TF^2 - TD^2$，
因式分解得：$TF^2 - TD^2=(TF + TD)(TF - TD)$，
∵TF=TH，
∴TF + TD=TH + TD=DH=AE，TF - TD=DF，
∴$TF^2 - TD^2=AE·DF$，
即$CF^2 - AD^2=AE·DF$。
【答案】
(1) 60°；
(2) 证明如上；
(3) 证明如上；

【知识点】
菱形的性质、三角形全等、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理等知识，需掌握辅助线构造与逻辑推理，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5