登录
13. 如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中液面与图中点P的距离是多少？
答案
13. 解:设乙杯中液体深为 $x$ cm. $\because ∠ ABP=30°,∠ P=90°,\therefore AP=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{3}$ cm.
根据两杯的高度相等,并且杯中的液体体积相等,可得 $π×(2\sqrt{3})^2×16=π×(4\sqrt{3})^2x$,解得 $x=4$,即乙杯中液体的深度为 4 cm.
在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中,由勾股定理,得 $BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=12$ cm.
$\because S_{△ ABP}=\frac{1}{2}· AP· BP=\frac{1}{2}· AB· h ,\therefore h=\frac{4\sqrt{3}×12}{8\sqrt{3}}=6(\mathrm{cm})$,
故点 $P$ 与液面的距离是 $16-6-4=6(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①首先确定两圆柱的底面半径：已知乙杯直径为$8\sqrt{3}$ cm，即$AB=8\sqrt{3}$ cm，结合Rt△ABP中∠ABP=30°，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”可求出甲杯的直径AP，进而得到两圆柱的半径；②根据液体体积不变（甲杯容积=倒入乙杯后液体的体积），结合圆柱体积公式列方程，求出乙杯中液面的高度x；③再利用勾股定理求出BP的长度，通过直角三角形的等面积法求出点P到杯口水平面AB的距离h；④最后用杯子总高度减去h，再减去液面高度x，即可得到液面与点P的距离。
【解析】
解：设乙杯中液体深为$x$ cm.
由图可知乙杯的直径为$8\sqrt{3}$ cm，即$AB=8\sqrt{3}$ cm.
$\because ∠ABP=30°,∠P=90°$，
$\therefore AP=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{3}$ cm，即甲杯的直径为$4\sqrt{3}$ cm，可得甲杯半径为$2\sqrt{3}$ cm，乙杯半径为$4\sqrt{3}$ cm.
$\because$ 两杯高度相等，且液体体积不变，
$\therefore π × (2\sqrt{3})^2 × 16 = π × (4\sqrt{3})^2 x$，
解得$x=4$，即乙杯中液体的深度为4 cm.
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2}=12$ cm.
设点$P$到$AB$的距离为$h$，根据三角形面积相等可得：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}·AP·BP=\frac{1}{2}·AB·h$，
代入数值得$h=\frac{4\sqrt{3}×12}{8\sqrt{3}}=6$ cm，
因此乙杯中液面与点$P$的距离为$16-6-4=6$ cm.
【答案】
6 cm
【知识点】
直角三角形性质、圆柱体积计算、等面积法求高
【点评】
本题综合了几何图形性质和方程的应用，解题关键是抓住“液体体积不变”这一等量关系，同时结合直角三角形的相关性质求解线段长度，需要具备一定的图形分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：①首先确定两圆柱的底面半径：已知乙杯直径为$8\sqrt{3}$ cm，即$AB=8\sqrt{3}$ cm，结合Rt△ABP中∠ABP=30°，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”可求出甲杯的直径AP，进而得到两圆柱的半径；②根据液体体积不变（甲杯容积=倒入乙杯后液体的体积），结合圆柱体积公式列方程，求出乙杯中液面的高度x；③再利用勾股定理求出BP的长度，通过直角三角形的等面积法求出点P到杯口水平面AB的距离h；④最后用杯子总高度减去h，再减去液面高度x，即可得到液面与点P的距离。
【解析】
解：设乙杯中液体深为$x$ cm.
由图可知乙杯的直径为$8\sqrt{3}$ cm，即$AB=8\sqrt{3}$ cm.
$\because ∠ABP=30°,∠P=90°$，
$\therefore AP=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{3}$ cm，即甲杯的直径为$4\sqrt{3}$ cm，可得甲杯半径为$2\sqrt{3}$ cm，乙杯半径为$4\sqrt{3}$ cm.
$\because$ 两杯高度相等，且液体体积不变，
$\therefore π × (2\sqrt{3})^2 × 16 = π × (4\sqrt{3})^2 x$，
解得$x=4$，即乙杯中液体的深度为4 cm.
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{(8\sqrt{3})^2-(4\sqrt{3})^2}=12$ cm.
设点$P$到$AB$的距离为$h$，根据三角形面积相等可得：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}·AP·BP=\frac{1}{2}·AB·h$，
代入数值得$h=\frac{4\sqrt{3}×12}{8\sqrt{3}}=6$ cm，
因此乙杯中液面与点$P$的距离为$16-6-4=6$ cm.
【答案】
6 cm
【知识点】
直角三角形性质、圆柱体积计算、等面积法求高
【点评】
本题综合了几何图形性质和方程的应用，解题关键是抓住“液体体积不变”这一等量关系，同时结合直角三角形的相关性质求解线段长度，需要具备一定的图形分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
14. 为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图，请根据图象回答下列问题：
(1)当用电量是180千瓦时时，电费是
(2)第二档的用电量范围是
(3)“基本电价”是
(4)小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？
(1)当用电量是180千瓦时时，电费是
108
元；(2)第二档的用电量范围是
大于180千瓦时小于或等于450千瓦时
；(3)“基本电价”是
0.6
元/千瓦时；(4)小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？
答案
14. 解:(1)108 (2)大于180千瓦时小于或等于450千瓦时 (3)0.6 (4)因为 328.5＞283.5,所以他家本月用电量超过 450 千瓦时,设直线 BC 的解析式为 $y=kx+b$,将(450,283.5),(540,364.5)代入,得 $\begin{cases}283.5=450k+b, \\ 364.5=540k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=0.9, \\ b=-121.5,\end{cases}$ 所以直线 BC 的解析式为 $y=0.9x-121.5$,将 $y=328.5$ 代入,得 $328.5=0.9x-121.5$,解得 $x=500$,所以小明家这个月用电 500 千瓦时.
解析
【分析】
本题结合阶梯电价的折线图考查分段函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 直接观察图像，找到横坐标为180千瓦时对应的纵坐标数值，即可得到对应电费；
(2) 第一档最高用电量是180千瓦时，第二档到折线转折点B对应的横坐标450千瓦时，因此第二档范围为超过180且不超过450千瓦时；
(3) 基本电价是第一档的单价，用180千瓦时的总电费除以用电量即可算出；
(4) 先对比328.5元和450千瓦时对应的电费283.5元，判断用电量属于第三档（BC段），先利用待定系数法求出BC段的一次函数解析式，再将电费y=328.5代入解析式，解出x的值即为所求用电量。
【解析】
(1) 观察图像可得，用电量为180千瓦时时，对应的电费为108元；
(2) 结合阶梯电价分段规则和图像信息，第一档最高为180千瓦时，第二档最高为450千瓦时，因此第二档用电量范围是大于180千瓦时，小于或等于450千瓦时；
(3) 基本电价为第一档单位用电量的费用，计算得：$108÷180=0.6$（元/千瓦时）；
(4) 首先判断收费档位：450千瓦时对应的电费为283.5元，$328.5＞283.5$，因此小明家8月用电量超过450千瓦时，属于第三档。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$），将$B(450,283.5)$、$C(540,364.5)$代入解析式，得：
$\begin{cases}283.5=450k+b \\ 364.5=540k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$81=90k$，解得$k=0.9$，将$k=0.9$代入$283.5=450k+b$，计算得$b=-121.5$，因此BC段解析式为$y=0.9x-121.5$。
将$y=328.5$代入解析式：
$328.5=0.9x-121.5$
解得$x=500$。
【答案】
(1) $\boxed{108}$
(2) $\boxed{大于180千瓦时小于或等于450千瓦时（或180＜x≤450千瓦时）}$
(3) $\boxed{0.6}$
(4) $\boxed{500}$千瓦时
【知识点】
一次函数的应用，图像信息提取，分段计费
【点评】
本题结合生活中阶梯电价的实际场景，既考查学生从函数图像中读取关键信息的能力，也考查了待定系数法求一次函数解析式、利用一次函数解决实际问题的能力，解题时要先判断费用所属的收费档位，再对应计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题结合阶梯电价的折线图考查分段函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 直接观察图像，找到横坐标为180千瓦时对应的纵坐标数值，即可得到对应电费；
(2) 第一档最高用电量是180千瓦时，第二档到折线转折点B对应的横坐标450千瓦时，因此第二档范围为超过180且不超过450千瓦时；
(3) 基本电价是第一档的单价，用180千瓦时的总电费除以用电量即可算出；
(4) 先对比328.5元和450千瓦时对应的电费283.5元，判断用电量属于第三档（BC段），先利用待定系数法求出BC段的一次函数解析式，再将电费y=328.5代入解析式，解出x的值即为所求用电量。
【解析】
(1) 观察图像可得，用电量为180千瓦时时，对应的电费为108元；
(2) 结合阶梯电价分段规则和图像信息，第一档最高为180千瓦时，第二档最高为450千瓦时，因此第二档用电量范围是大于180千瓦时，小于或等于450千瓦时；
(3) 基本电价为第一档单位用电量的费用，计算得：$108÷180=0.6$（元/千瓦时）；
(4) 首先判断收费档位：450千瓦时对应的电费为283.5元，$328.5＞283.5$，因此小明家8月用电量超过450千瓦时，属于第三档。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$），将$B(450,283.5)$、$C(540,364.5)$代入解析式，得：
$\begin{cases}283.5=450k+b \\ 364.5=540k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$81=90k$，解得$k=0.9$，将$k=0.9$代入$283.5=450k+b$，计算得$b=-121.5$，因此BC段解析式为$y=0.9x-121.5$。
将$y=328.5$代入解析式：
$328.5=0.9x-121.5$
解得$x=500$。
【答案】
(1) $\boxed{108}$
(2) $\boxed{大于180千瓦时小于或等于450千瓦时（或180＜x≤450千瓦时）}$
(3) $\boxed{0.6}$
(4) $\boxed{500}$千瓦时
【知识点】
一次函数的应用，图像信息提取，分段计费
【点评】
本题结合生活中阶梯电价的实际场景，既考查学生从函数图像中读取关键信息的能力，也考查了待定系数法求一次函数解析式、利用一次函数解决实际问题的能力，解题时要先判断费用所属的收费档位，再对应计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
