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【例1】一个代数式的值不能等于0，那么它是（）
A.$a^2$
B.$a^0$
C.$\sqrt{a}$
D.$|a|$
【解题思路】 方法一：分别找到各代数式的意义，然后看看该代数式的值能否为0；方法二：令每个代数式等于0，求字母的取值，如果字母有值，则该代数式的值可以等于0，否则不能。
【解答过程】 解：方法一：$a^2$表示两个a相乘，当a为0时，$a^2=0$；$a^0$表示$a^m ÷ a^m$，因为除数不能为0，所以$a^m$不能等于0，所以$a^0$不等于0；$\sqrt{a}$表示实数a的算术平方根，当a为0时，$\sqrt{a}$等于0；$|a|$表示实数a到原点的距离，当a为0时，$|a|$为0。故选择B。
方法二：令$a^2=0$，解得$a=0$；令$a^0=0$，无解；令$\sqrt{a}=0$，解得$a=0$；令$|a|=0$，解得$a=0$，故选择B。
A.$a^2$
B.$a^0$
C.$\sqrt{a}$
D.$|a|$
【解题思路】 方法一：分别找到各代数式的意义，然后看看该代数式的值能否为0；方法二：令每个代数式等于0，求字母的取值，如果字母有值，则该代数式的值可以等于0，否则不能。
【解答过程】 解：方法一：$a^2$表示两个a相乘，当a为0时，$a^2=0$；$a^0$表示$a^m ÷ a^m$，因为除数不能为0，所以$a^m$不能等于0，所以$a^0$不等于0；$\sqrt{a}$表示实数a的算术平方根，当a为0时，$\sqrt{a}$等于0；$|a|$表示实数a到原点的距离，当a为0时，$|a|$为0。故选择B。
方法二：令$a^2=0$，解得$a=0$；令$a^0=0$，无解；令$\sqrt{a}=0$，解得$a=0$；令$|a|=0$，解得$a=0$，故选择B。
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个代数式的值不能为0，有两种常用思路：一是结合各代数式的定义和性质，直接判断其是否存在取值为0的情况；二是令每个代数式的值等于0，求解对应的字母a的取值，若存在符合定义域的a值，则该代数式可以为0，反之则不能，我们可逐个对四个选项分析排查。
【解析】
方法一：结合代数式性质分析
A选项：$a^2$是a的平方，当$a=0$时，$a^2=0^2=0$，因此可以等于0，不符合要求；
B选项：$a^0$是零指数幂，根据零指数幂的定义，底数必须满足$a≠0$，任何非零数的0次幂都等于1，因此$a^0$的值恒为1，不可能等于0，符合要求；
C选项：$\sqrt{a}$是a的算术平方根，当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，因此可以等于0，不符合要求；
D选项：$|a|$是a的绝对值，当$a=0$时，$|0|=0$，因此可以等于0，不符合要求。
方法二：解方程验证
分别令各代数式等于0，求解a的取值：
A. 令$a^2=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除；
B. 令$a^0=0$，由于零指数幂底数$a≠0$时$a^0=1$，该方程无解，因此$a^0$不可能等于0；
C. 令$\sqrt{a}=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除；
D. 令$|a|=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除。
综上，应选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记各类代数式的定义及隐含的限制条件，其中零指数幂的底数不能为0是高频易错点，做题时要注意避免忽略定义域直接判断。
【难度系数】
0.7
要判断哪个代数式的值不能为0，有两种常用思路：一是结合各代数式的定义和性质，直接判断其是否存在取值为0的情况；二是令每个代数式的值等于0，求解对应的字母a的取值，若存在符合定义域的a值，则该代数式可以为0，反之则不能，我们可逐个对四个选项分析排查。
【解析】
方法一：结合代数式性质分析
A选项：$a^2$是a的平方，当$a=0$时，$a^2=0^2=0$，因此可以等于0，不符合要求；
B选项：$a^0$是零指数幂，根据零指数幂的定义，底数必须满足$a≠0$，任何非零数的0次幂都等于1，因此$a^0$的值恒为1，不可能等于0，符合要求；
C选项：$\sqrt{a}$是a的算术平方根，当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，因此可以等于0，不符合要求；
D选项：$|a|$是a的绝对值，当$a=0$时，$|0|=0$，因此可以等于0，不符合要求。
方法二：解方程验证
分别令各代数式等于0，求解a的取值：
A. 令$a^2=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除；
B. 令$a^0=0$，由于零指数幂底数$a≠0$时$a^0=1$，该方程无解，因此$a^0$不可能等于0；
C. 令$\sqrt{a}=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除；
D. 令$|a|=0$，解得$a=0$，存在符合条件的a，排除。
综上，应选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记各类代数式的定义及隐含的限制条件，其中零指数幂的底数不能为0是高频易错点，做题时要注意避免忽略定义域直接判断。
【难度系数】
0.7
【例2】先化简，再求值：$(a+2)^2 + a(a-4)$，其中$a=\sqrt{3}$。
【解题思路】先把$(a+2)^2$用完全平方公式展开，$a(a-4)$用单项式乘多项式展开，然后合并同类项，把整式化到最简，然后把$a$的值代入计算即可。
【解答过程】解：原式$=a^2 +4a +4 +a^2 -4a =2a^2 +4$，当$a=\sqrt{3}$时，原式$=2×(\sqrt{3})^2 +4=10$。
【解题思路】先把$(a+2)^2$用完全平方公式展开，$a(a-4)$用单项式乘多项式展开，然后合并同类项，把整式化到最简，然后把$a$的值代入计算即可。
【解答过程】解：原式$=a^2 +4a +4 +a^2 -4a =2a^2 +4$，当$a=\sqrt{3}$时，原式$=2×(\sqrt{3})^2 +4=10$。
答案
解：
原式$=a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a$
$=2a^2 + 4$
当$a=\sqrt{3}$时，
原式$=2× (\sqrt{3})^2 + 4$
$=2× 3 + 4$
$=10$
原式$=a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a$
$=2a^2 + 4$
当$a=\sqrt{3}$时，
原式$=2× (\sqrt{3})^2 + 4$
$=2× 3 + 4$
$=10$
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题时优先化简整式再代入求值，可减少计算量。首先识别式子中的运算：$(a+2)^2$可利用完全平方公式展开，$a(a-4)$可根据单项式乘多项式的法则展开，展开后合并同类项得到最简整式，最后将$a=\sqrt{3}$代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a$
$=2a^2 + 4$
当$a=\sqrt{3}$时，
原式$=2× (\sqrt{3})^2 + 4$
$=2× 3 + 4$
$=10$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式；整式混合运算；二次根式运算
【点评】
本题属于基础的化简求值题型，重点考查整式运算法则的应用和二次根式的计算能力，解题时需注意展开运算不要漏项，合并同类项要准确，代入求值时正确计算二次根式的平方，是代数部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.85
本题是整式化简求值类题目，解题时优先化简整式再代入求值，可减少计算量。首先识别式子中的运算：$(a+2)^2$可利用完全平方公式展开，$a(a-4)$可根据单项式乘多项式的法则展开，展开后合并同类项得到最简整式，最后将$a=\sqrt{3}$代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a$
$=2a^2 + 4$
当$a=\sqrt{3}$时，
原式$=2× (\sqrt{3})^2 + 4$
$=2× 3 + 4$
$=10$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式；整式混合运算；二次根式运算
【点评】
本题属于基础的化简求值题型，重点考查整式运算法则的应用和二次根式的计算能力，解题时需注意展开运算不要漏项，合并同类项要准确，代入求值时正确计算二次根式的平方，是代数部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.85
一、填空题
1. 若$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，则$x$的取值范围是
1. 若$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≥0$且$x≠3$
。答案
1. $x≥0$且$x≠3$
解析
【分析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，需同时满足两个规则的要求：一是分子中的二次根式要有意义，二是作为分式，分母不能为0。我们先分别推导两个规则对应的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终x的取值范围。
【解析】
解：要使$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x}$的被开方数为非负数，即$x≥0$；
2. 分式的分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个条件合并，可得x的取值范围是$x≥0$且$x≠3$。
【答案】
$x≥0$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础类题型，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时要梳理清楚式子中所有隐含的限制条件，多个条件同时成立时需取各条件对应范围的交集，易错点是容易遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，需同时满足两个规则的要求：一是分子中的二次根式要有意义，二是作为分式，分母不能为0。我们先分别推导两个规则对应的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终x的取值范围。
【解析】
解：要使$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x}$的被开方数为非负数，即$x≥0$；
2. 分式的分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个条件合并，可得x的取值范围是$x≥0$且$x≠3$。
【答案】
$x≥0$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础类题型，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时要梳理清楚式子中所有隐含的限制条件，多个条件同时成立时需取各条件对应范围的交集，易错点是容易遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，则$a^2 -ab +b^2 =$
$9$
。答案
2. 9
解析
【分析】
本题如果直接将a、b代入原式计算，运算量较大。观察所求代数式的结构，可先利用完全平方公式将原式变形为$a^2 -ab +b^2=(a+b)^2-3ab$，再结合a、b的特征，先计算出$a+b$和$ab$的值，最后代入变形后的式子计算即可，这样能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算$a+b$和$ab$的值：
1. 计算$a+b$：
$a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
2. 计算$ab$，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
3. 对所求代数式变形代入：
因为$a^2 -ab +b^2=(a+b)^2 - 3ab$，将$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=1$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 3×1=4×3 - 3=12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算中的典型求值题，解题的关键是观察代数式的结构，选择合适的公式对原式进行变形，避免直接代入计算的繁琐，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
本题如果直接将a、b代入原式计算，运算量较大。观察所求代数式的结构，可先利用完全平方公式将原式变形为$a^2 -ab +b^2=(a+b)^2-3ab$，再结合a、b的特征，先计算出$a+b$和$ab$的值，最后代入变形后的式子计算即可，这样能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算$a+b$和$ab$的值：
1. 计算$a+b$：
$a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
2. 计算$ab$，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
3. 对所求代数式变形代入：
因为$a^2 -ab +b^2=(a+b)^2 - 3ab$，将$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=1$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 3×1=4×3 - 3=12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算中的典型求值题，解题的关键是观察代数式的结构，选择合适的公式对原式进行变形，避免直接代入计算的繁琐，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
3. 计算$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$的结果是
$2$
。答案
3. 2
解析
【分析】
观察算式的结构，发现是两个数的和乘这两个数的差，符合平方差公式的特征，因此可以先套用平方差公式简化运算，再分别计算二次根式的平方和常数项的平方，最后求差得到结果。
【解析】
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$计算：
令$a=\sqrt{3}$，$b=1$，代入公式得：
原式$=(\sqrt{3})^2 - 1^2$
计算得：$3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确识别平方差公式的结构，巧用乘法公式能大幅简化二次根式的运算过程，避免逐项相乘的繁琐计算。
【难度系数】
0.9
观察算式的结构，发现是两个数的和乘这两个数的差，符合平方差公式的特征，因此可以先套用平方差公式简化运算，再分别计算二次根式的平方和常数项的平方，最后求差得到结果。
【解析】
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$计算：
令$a=\sqrt{3}$，$b=1$，代入公式得：
原式$=(\sqrt{3})^2 - 1^2$
计算得：$3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确识别平方差公式的结构，巧用乘法公式能大幅简化二次根式的运算过程，避免逐项相乘的繁琐计算。
【难度系数】
0.9
4. 大于$\sqrt{2}$且小于$\sqrt{5}$的整数是
$2$
。答案
4. 2
解析
【分析】
要找出大于$\sqrt{2}$且小于$\sqrt{5}$的整数，首先需要估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$分别介于哪两个相邻整数之间，再根据两个无理数的取值范围，筛选出区间内的整数即可。具体思路为先找到和被开方数2、5相邻的完全平方数，根据算术平方根的性质确定两个二次根式的整数范围，最后找出范围内的整数。
【解析】
解：先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
再估算$\sqrt{5}$的取值范围：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴$2＜\sqrt{5}＜3$
综上，满足$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{5}$的整数$x$需要同时满足$x＞1$且$x＜3$，符合要求的整数只有2。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算，实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无理数大小的估算能力，解题关键是利用完全平方数确定无理数所在的整数区间，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要找出大于$\sqrt{2}$且小于$\sqrt{5}$的整数，首先需要估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$分别介于哪两个相邻整数之间，再根据两个无理数的取值范围，筛选出区间内的整数即可。具体思路为先找到和被开方数2、5相邻的完全平方数，根据算术平方根的性质确定两个二次根式的整数范围，最后找出范围内的整数。
【解析】
解：先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
再估算$\sqrt{5}$的取值范围：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴$2＜\sqrt{5}＜3$
综上，满足$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{5}$的整数$x$需要同时满足$x＞1$且$x＜3$，符合要求的整数只有2。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算，实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无理数大小的估算能力，解题关键是利用完全平方数确定无理数所在的整数区间，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$\sqrt{0.25 × 0.36} =$
$0.3$
；$\sqrt{18} × \sqrt{2} -5 =$ $1$
答案
5. 0.3；1
解析
【分析】
解题需用到二次根式的乘法性质：对于非负数$a$、$b$，有$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，反过来该等式也成立。第一问是求乘积的算术平方根，可利用性质拆分出两个算术平方根分别计算，再相乘得到结果；第二问是二次根式乘法与减法的混合运算，先按乘法法则计算二次根式的乘积，化简后再做减法运算即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{0.25 × 0.36}$：
根据二次根式乘法性质拆分得：
$\sqrt{0.25 × 0.36}=\sqrt{0.25}×\sqrt{0.36}=0.5×0.6=0.3$
2. 计算$\sqrt{18} × \sqrt{2} -5$：
先按二次根式乘法法则计算乘法部分：
$\sqrt{18} × \sqrt{2}=\sqrt{18×2}=\sqrt{36}=6$
再计算减法：
$6-5=1$
【答案】
0.3；1
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则
2. 算术平方根的化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，核心考查对二次根式乘法性质的掌握，运算步骤简单，是二次根式运算模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.9
解题需用到二次根式的乘法性质：对于非负数$a$、$b$，有$\sqrt{a· b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，反过来该等式也成立。第一问是求乘积的算术平方根，可利用性质拆分出两个算术平方根分别计算，再相乘得到结果；第二问是二次根式乘法与减法的混合运算，先按乘法法则计算二次根式的乘积，化简后再做减法运算即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{0.25 × 0.36}$：
根据二次根式乘法性质拆分得：
$\sqrt{0.25 × 0.36}=\sqrt{0.25}×\sqrt{0.36}=0.5×0.6=0.3$
2. 计算$\sqrt{18} × \sqrt{2} -5$：
先按二次根式乘法法则计算乘法部分：
$\sqrt{18} × \sqrt{2}=\sqrt{18×2}=\sqrt{36}=6$
再计算减法：
$6-5=1$
【答案】
0.3；1
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则
2. 算术平方根的化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，核心考查对二次根式乘法性质的掌握，运算步骤简单，是二次根式运算模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.9
6. 若实数$a$，$b$满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$，则$\dfrac{a^2}{b}=$
$1$
答案
6. 1
解析
【分析】
本题需要利用非负数的性质求解。首先我们知道绝对值和算术平方根都具有非负性，取值均大于等于0，当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能使等式成立，由此可以分别列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根都具有非负性
∴ $|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$
又
∵ $|a+2|+\sqrt{b-4}=0$
∴ 仅当$|a+2|=0$且$\sqrt{b-4}=0$时等式成立
即 $a+2=0$，$b-4=0$
解得：$a=-2$，$b=4$
将$a=-2$，$b=4$代入$\dfrac{a^2}{b}$得：
$\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{(-2)^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，二次根式的非负性，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，牢记常见的非负数类型（绝对值、偶次幂、算术平方根）及“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质即可快速解题，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题需要利用非负数的性质求解。首先我们知道绝对值和算术平方根都具有非负性，取值均大于等于0，当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能使等式成立，由此可以分别列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根都具有非负性
∴ $|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$
又
∵ $|a+2|+\sqrt{b-4}=0$
∴ 仅当$|a+2|=0$且$\sqrt{b-4}=0$时等式成立
即 $a+2=0$，$b-4=0$
解得：$a=-2$，$b=4$
将$a=-2$，$b=4$代入$\dfrac{a^2}{b}$得：
$\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{(-2)^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，二次根式的非负性，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，牢记常见的非负数类型（绝对值、偶次幂、算术平方根）及“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质即可快速解题，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.9
7. 化简：$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{24}-|\sqrt{6}-3|=$
答案
7. $-6$
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先根据乘法分配律计算二次根式的乘法部分；2. 将非最简的二次根式化为最简二次根式；3. 判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；4. 最后去括号、合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
解：按运算顺序逐步计算：
1. 展开乘法：$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{6}-3$
2. 化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
3. 化简绝对值：$\because\sqrt{6}\approx2.45＜3$，$\therefore\sqrt{6}-3＜0$，故$|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$
4. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-3 - 2\sqrt{6} - (3 - \sqrt{6})\\&=\sqrt{6}-3-2\sqrt{6}-3+\sqrt{6}\\&=(\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6})+(-3-3)\\&=0-6\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
二次根式混合运算；最简二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题考查二次根式的综合运算，解题时要注意运算顺序，易错点在于去绝对值时需先判断内部符号，去括号时若括号前为负号，括号内各项都要变号，计算时需细心合并同类项，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先根据乘法分配律计算二次根式的乘法部分；2. 将非最简的二次根式化为最简二次根式；3. 判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；4. 最后去括号、合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
解：按运算顺序逐步计算：
1. 展开乘法：$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{6}-3$
2. 化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
3. 化简绝对值：$\because\sqrt{6}\approx2.45＜3$，$\therefore\sqrt{6}-3＜0$，故$|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$
4. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-3 - 2\sqrt{6} - (3 - \sqrt{6})\\&=\sqrt{6}-3-2\sqrt{6}-3+\sqrt{6}\\&=(\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6})+(-3-3)\\&=0-6\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
二次根式混合运算；最简二次根式化简；绝对值的性质
【点评】
本题考查二次根式的综合运算，解题时要注意运算顺序，易错点在于去绝对值时需先判断内部符号，去括号时若括号前为负号，括号内各项都要变号，计算时需细心合并同类项，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8. 观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…，用正整数$n$的等式表示你所观察得到的规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
答案
8. $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，采用从特殊到一般的归纳思路：先分别观察已知等式左右两边的结构，找到各部分和正整数n的对应关系，再通过二次根式的化简验证归纳的式子是否成立。第一步先梳理左边根号内的整数项、分数分母和n的对应关系，第二步梳理右边根号外的系数、根号内的分母和n的对应关系，最后验证等式左右相等即可。
【解析】
1. 观察已知等式的左边：
当n=1时，根号内为$1+\frac{1}{1+2}$；当n=2时，根号内为$2+\frac{1}{2+2}$；当n=3时，根号内为$3+\frac{1}{3+2}$，可归纳出左边的通式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）。
2. 观察已知等式的右边：
当n=1时，为$(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$；当n=2时，为$(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$；当n=3时，为$(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，可归纳出右边的通式为$(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）。
3. 验证等式成立：
对左边化简：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}$
因为n是正整数，所以$n+1＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，和右边相等，归纳的规律成立。
【答案】
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题核心考查从特殊实例归纳一般规律的能力，同时需要结合二次根式的运算验证规律的正确性，掌握“先观察结构找对应关系，再计算验证”的思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，采用从特殊到一般的归纳思路：先分别观察已知等式左右两边的结构，找到各部分和正整数n的对应关系，再通过二次根式的化简验证归纳的式子是否成立。第一步先梳理左边根号内的整数项、分数分母和n的对应关系，第二步梳理右边根号外的系数、根号内的分母和n的对应关系，最后验证等式左右相等即可。
【解析】
1. 观察已知等式的左边：
当n=1时，根号内为$1+\frac{1}{1+2}$；当n=2时，根号内为$2+\frac{1}{2+2}$；当n=3时，根号内为$3+\frac{1}{3+2}$，可归纳出左边的通式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）。
2. 观察已知等式的右边：
当n=1时，为$(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$；当n=2时，为$(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$；当n=3时，为$(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，可归纳出右边的通式为$(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）。
3. 验证等式成立：
对左边化简：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}$
因为n是正整数，所以$n+1＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，和右边相等，归纳的规律成立。
【答案】
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数）
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题核心考查从特殊实例归纳一般规律的能力，同时需要结合二次根式的运算验证规律的正确性，掌握“先观察结构找对应关系，再计算验证”的思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 下列根式中，不是二次根式的是 （
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{-3}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{-3}$
答案
9. D
解析
【分析】
要判断一个根式是否为二次根式，首先要明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，判定的核心标准是被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时只需逐个分析每个选项的被开方数是否满足非负要求，不满足的就不是二次根式。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式需满足两个条件：①含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$的被开方数是2，$2＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
B. $\sqrt{4}$的被开方数是4，$4＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
C. $\sqrt{a^2}$的被开方数是$a^2$，任意实数的平方都具有非负性，即$a^2≥0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数是$-3$，$-3＜0$，实数范围内负数没有平方根，不满足二次根式的条件，不是二次根式。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，解题时要注意识别被开方数隐含的非负性质，比如平方数、绝对值等本身就是非负数的情况。
【难度系数】
0.8
要判断一个根式是否为二次根式，首先要明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，判定的核心标准是被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时只需逐个分析每个选项的被开方数是否满足非负要求，不满足的就不是二次根式。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式需满足两个条件：①含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$的被开方数是2，$2＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
B. $\sqrt{4}$的被开方数是4，$4＞0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
C. $\sqrt{a^2}$的被开方数是$a^2$，任意实数的平方都具有非负性，即$a^2≥0$，满足二次根式的条件，是二次根式；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数是$-3$，$-3＜0$，实数范围内负数没有平方根，不满足二次根式的条件，不是二次根式。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，解题时要注意识别被开方数隐含的非负性质，比如平方数、绝对值等本身就是非负数的情况。
【难度系数】
0.8
10. 一个自然数的算术平方根为 $ a $，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 $\quad (\quad)$
A.$ a+1 $
B.$ a^2 +1 $
C.$ \sqrt{a^2 +1} $
D.$ \sqrt{a} +1 $
A.$ a+1 $
B.$ a^2 +1 $
C.$ \sqrt{a^2 +1} $
D.$ \sqrt{a} +1 $
答案
10. B
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根与原自然数的关系：若一个非负数的算术平方根为a，则这个数等于a的平方。我们可以先根据算术平方根的定义求出题目中的这个自然数，再根据相邻自然数相差1的规律，求出它相邻的下一个自然数，再对应选项判断即可。
【解析】
解：已知一个自然数的算术平方根为$a$，
根据算术平方根的定义，这个自然数为 $a^2$，
相邻的两个自然数相差1，因此和它相邻的下一个自然数为 $a^2 + 1$。
对应选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；相邻自然数的性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点是混淆算术平方根与原数的关系，误直接将$a$加1选A，解题关键是牢记已知算术平方根求原数需进行平方运算，再结合相邻数的差为1计算即可。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确算术平方根与原自然数的关系：若一个非负数的算术平方根为a，则这个数等于a的平方。我们可以先根据算术平方根的定义求出题目中的这个自然数，再根据相邻自然数相差1的规律，求出它相邻的下一个自然数，再对应选项判断即可。
【解析】
解：已知一个自然数的算术平方根为$a$，
根据算术平方根的定义，这个自然数为 $a^2$，
相邻的两个自然数相差1，因此和它相邻的下一个自然数为 $a^2 + 1$。
对应选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；相邻自然数的性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点是混淆算术平方根与原数的关系，误直接将$a$加1选A，解题关键是牢记已知算术平方根求原数需进行平方运算，再结合相邻数的差为1计算即可。
【难度系数】
0.85
11. 二次根式$\sqrt{(-3)^2}$的值是 （
A.$-3$
B.$3$或$-3$
C.$9$
D.$3$
D
）A.$-3$
B.$3$或$-3$
C.$9$
D.$3$
答案
11. D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式的相关性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果一定是非负数。第一步先计算被开方数$(-3)^2$的值，第二步再根据算术平方根的定义求出最终结果，同时注意区分算术平方根和平方根的区别，避免出现正负都选的错误。
【解析】
步骤1：计算被开方数，$(-3)^2=9$，因此原式可化简为$\sqrt{9}$；
步骤2：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{(-3)^2}=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是混淆算术平方根与平方根的概念，误选含有-3的选项，学习时要牢记$\sqrt{a}$的结果具有非负性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次根式的相关性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果一定是非负数。第一步先计算被开方数$(-3)^2$的值，第二步再根据算术平方根的定义求出最终结果，同时注意区分算术平方根和平方根的区别，避免出现正负都选的错误。
【解析】
步骤1：计算被开方数，$(-3)^2=9$，因此原式可化简为$\sqrt{9}$；
步骤2：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{(-3)^2}=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是混淆算术平方根与平方根的概念，误选含有-3的选项，学习时要牢记$\sqrt{a}$的结果具有非负性。
【难度系数】
0.8
