12. 下列各式中,运算正确的是 ()

A.$a^6 ÷ a^3 = a^2$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$

12. D

【分析】
本题需逐一验证每个选项的运算是否正确，解题时先回忆对应运算的法则，再分别对四个选项按法则计算，将计算结果与选项给出的结果对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^6 ÷ a^3 = a^{6-3}=a^3≠ a^2$，故A运算错误；
B选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，故B运算错误；
C选项：$2\sqrt{2}$和$3\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，故C运算错误；
D选项：根据二次根式的除法法则，二次根式相除，被开方数相除、根指数不变，可得$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，故D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算，二次根式的加减，二次根式的除法
【点评】
本题是基础运算考查题，核心是对各类运算法则的记忆与运用，需要注意区分幂运算中指数的运算规则，同时明确只有同类二次根式才能合并，避免出现运算混淆的错误。
【难度系数】
0.8

13. 设$a=\sqrt{19}-1$，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A.1和2
B.2和3
C.3和4
D.4和5

13. C

【分析】
要确定$a=\sqrt{19}-1$所在的整数范围，首先需要估算$\sqrt{19}$的取值范围。我们可以先找到与19相邻的两个完全平方数，根据二次根式的性质，被开方数越大，对应的算术平方根也越大，就能得到$\sqrt{19}$的范围，再对不等式两边同时减1，即可得到$a$的范围，进而确定相邻的两个整数。
【解析】
第一步：找与19相邻的完全平方数
$\because 16＜19＜25$，且$16=4^2$，$25=5^2$
第二步：确定$\sqrt{19}$的范围
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$
第三步：推导$a$的范围
对不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得$4-1＜\sqrt{19}-1＜5-1$
化简得$3＜\sqrt{19}-1＜4$，也就是$3＜a＜4$
$\therefore a$在3和4这两个相邻整数之间
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；二次根式的性质；不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是通过被开方数相邻的完全平方数估算无理数的范围，再结合不等式的运算得到所求代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8

14. 若$\sqrt{x-1} - \sqrt{1-x} = (x+y)^2$，则$x-y$的值为（）

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

14. C

【分析】
要解决这道题，首先需利用二次根式有意义的条件确定x的取值：二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号下的x-1和1-x都要满足大于等于0，联立两个不等式就能求出x的唯一取值；再将x的值代入原式，利用平方的非负性求出y的值，最后计算x-y即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$得$x≥1$，解不等式$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
将$x=1$代入原式$\sqrt{x-1} - \sqrt{1-x} = (x+y)^2$，左边为$\sqrt{1-1}-\sqrt{1-1}=0$，因此右边$(1+y)^2=0$，解得$y=-1$。
则$x-y=1-(-1)=2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的性质，解题突破口是根据被开方数的非负性先确定x的取值，再代入计算即可，熟练掌握相关性质能快速求解。
【难度系数】
0.8

15. 已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，则$\sqrt{0.063}=$（）

A.$\dfrac{ab}{10}$
B.$\dfrac{3ab}{10}$
C.$\dfrac{ab}{100}$
D.$\dfrac{3ab}{100}$

15. D

【分析】
要计算$\sqrt{0.063}$，需先对被开方数0.063进行拆分变形，凑出含有已知的$\sqrt{5}$、$\sqrt{14}$对应的因数5、14，同时搭配完全平方数，再利用二次根式的乘法性质拆分计算，最后代入a、b即可得到结果。
【解析】
先将$\sqrt{0.063}$的被开方数变形为便于开方的形式：
$\sqrt{0.063}=\sqrt{\dfrac{63}{1000}}=\sqrt{\dfrac{63×10}{1000×10}}=\sqrt{\dfrac{630}{10000}}$
对分子630分解因数可得：$630=9×70=9×5×14$，代入上式得：
$\sqrt{\dfrac{9×5×14}{10000}}$
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，拆分得：
$\dfrac{\sqrt{9}×\sqrt{5}×\sqrt{14}}{\sqrt{10000}}$
代入已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，且$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{10000}=100$，代入得：
$\dfrac{3ab}{100}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简，算术平方根计算
【点评】
本题核心是二次根式的恒等变形，解题关键是合理拆分被开方数，凑出已知条件对应的因数，同时注意将分母转化为完全平方数，避免因小数点换算错误失分。
【难度系数】
0.7

三、解答题
16. 计算.
(1) $( \sqrt{48} + \frac{1}{4}\sqrt{12} ) ÷ \sqrt{27}$；
(2) $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{6}) + \sqrt{8}$；
(3) $( 3\sqrt{18} + \frac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\frac{1}{2}} ) ÷ \sqrt{32}$；
(4) $( 4\sqrt{6} - 4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{8} ) ÷ 2\sqrt{2}$。

16. (1) $\frac{3}{2}$ (2)4 (3)2 (4)$2\sqrt{3}+2$

【分析】
这四道题均属于二次根式的混合运算类题目，解题遵循“先化简、再运算”的思路：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先计算括号内的部分，合并同类二次根式，再做除法等运算，也可利用除法分配律简化计算；③出现分母含二次根式的情况，先通过分母有理化将其化为有理式，运算过程中可灵活运用乘法分配律简化计算步骤。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\frac{1}{4}\sqrt{12}=\frac{1}{4}×2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
原式$=(4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})÷3\sqrt{3}$
$=\frac{9\sqrt{3}}{2}÷3\sqrt{3}$
$=\frac{3}{2}$
(2) 先对第一项分母有理化，再展开第二项、化简第三项：
$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$
$\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{6})=(\sqrt{3})^2-\sqrt{3}×\sqrt{6}=3-\sqrt{18}=3-3\sqrt{2}$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
原式$=\sqrt{2}+1 + 3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=(\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(1+3)$
$=4$
(3) 先化简各二次根式：
$3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}\sqrt{50}=\frac{1}{5}×5\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
原式$=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}$
$=2$
(4) 先化简各二次根式：
$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$3\sqrt{8}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
原式$=(4\sqrt{6}-2\sqrt{2}+6\sqrt{2})÷2\sqrt{2}$
$=(4\sqrt{6}+4\sqrt{2})×\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$=4\sqrt{6}×\frac{1}{2\sqrt{2}} + 4\sqrt{2}×\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{3}+2$
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $4$；(3) $2$；(4) $2\sqrt{3}+2$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
这组题目是二次根式运算的常规基础题，核心考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并方法，运算过程中灵活运用运算律可有效降低计算出错概率，熟练掌握根式化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

17. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$，善于思考的小明进行了以下探索：
设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为正整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，$\therefore a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把部分$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$，得：$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数$a,b,m,n$填空：$\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$；
(3)若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$a,m,n$均为正整数，求$a$的值。

17. 解:(1)$m^2+3n^2$ $2mn$
(2)4 2 1 1(答案不唯一)
(3)根据题意,得$\begin{cases}a=m^2+3n^2,\\4=2mn,\end{cases}$ $\because 2mn=4$,且$m,n$为正整数,
$\therefore m=2,n=1$或$m=1,n=2$,
$\therefore a=7$或13.

【分析】
本题属于材料阅读类的二次根式运算题，解题思路可按小问逐步推导：
(1) 类比材料中含$\sqrt{2}$式子的展开方法，先将右侧$(m+n\sqrt{3})^2$用完全平方公式展开，再将左右两侧的有理部分、含$\sqrt{3}$的无理部分分别对应相等，即可得到$a$、$b$关于$m$、$n$的表达式；
(2) 任意选取一组正整数$m$、$n$，代入第(1)问得到的$a$、$b$表达式计算，即可得到一组符合要求的数值，答案不唯一；
(3) 结合第(1)问的结论，已知$b=4$，先列方程求出$m$、$n$的正整数解，再将每组解代入$a$的表达式计算，即可得到所有符合条件的$a$的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 先展开右侧完全平方式：
$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2· m· n\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
对照左侧$a+b\sqrt{3}$，有理部分对应相等得$a=m^2+3n^2$，含$\sqrt{3}$的系数对应相等得$b=2mn$。
(2) 取正整数$m=1,n=1$，代入上述公式：
$a=1^2 + 3×1^2=4$，$b=2×1×1=2$，可得$4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$，答案不唯一，只要符合公式均可。
(3) 根据(1)的结论可得方程组：
$\begin{cases}a=m^2+3n^2\\4=2mn\end{cases}$
化简第二个方程得$mn=2$，
$\because m$、$n$均为正整数，
$\therefore mn=2$的正整数解为$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，
将两组解分别代入$a=m^2+3n^2$计算：
当$m=2,n=1$时，$a=2^2 + 3×1^2=4+3=7$；
当$m=1,n=2$时，$a=1^2 + 3×2^2=1+12=13$。
所以$a$的值为7或13。
【答案】
(1)$m^2+3n^2$；$2mn$
(2)4；2；1；1（答案不唯一）
(3)$a=7$或$13$
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；不定方程正整数解
【点评】
本题是典型的类比探究类题型，核心考查对阅读材料的迁移运用能力，解题关键是抓住“有理部分与无理部分分别对应相等”的规律，第三问求解时要注意枚举所有符合条件的正整数解，避免遗漏。
【难度系数】
0.7