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11. 如图所示,在平面直角坐标系中,一动点从原点 $O$ 出发,沿着箭头所示方向,每次移动 1 个单位长度,依次得到点 $P_{1}(0,1), P_{2}(1,1), P_{3}(1,0), P_{4}(1,-1), P_{5}(2,-1), P_{6}(2,0), ···$,则点 $P_{2026}$ 的坐标是.
答案
1. 观察点的坐标规律，发现每6个点为一个循环组：
第1组（P₁-P₆）：(0,1),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0)；
第2组（P₇-P₁₂）：(2,1),(3,1),(3,0),(3,-1),(4,-1),(4,0)；
第3组（P₁₃-P₁₈）：(4,1),(5,1),(5,0),(5,-1),(6,-1),(6,0)；...
2. 每组6个点，组内位置m（1-6）的坐标规律：
m=1：(2(k-1),1)；m=2：(2(k-1)+1,1)；m=3：(2(k-1)+1,0)；
m=4：(2(k-1)+1,-1)；m=5：(2(k-1)+2,-1)；m=6：(2(k-1)+2,0)，其中k为组数。
3. 求2026所在的组及位置：
2026÷6=337余4，即第k=338组，组内位置m=4。
4. 代入m=4的坐标公式：2(k-1)+1=2×337+1=675，纵坐标为-1。
结论：点P₂₀₂₆的坐标是(675,-1)。
(675,-1)
第1组（P₁-P₆）：(0,1),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0)；
第2组（P₇-P₁₂）：(2,1),(3,1),(3,0),(3,-1),(4,-1),(4,0)；
第3组（P₁₃-P₁₈）：(4,1),(5,1),(5,0),(5,-1),(6,-1),(6,0)；...
2. 每组6个点，组内位置m（1-6）的坐标规律：
m=1：(2(k-1),1)；m=2：(2(k-1)+1,1)；m=3：(2(k-1)+1,0)；
m=4：(2(k-1)+1,-1)；m=5：(2(k-1)+2,-1)；m=6：(2(k-1)+2,0)，其中k为组数。
3. 求2026所在的组及位置：
2026÷6=337余4，即第k=338组，组内位置m=4。
4. 代入m=4的坐标公式：2(k-1)+1=2×337+1=675，纵坐标为-1。
结论：点P₂₀₂₆的坐标是(675,-1)。
(675,-1)
12. 提升题 如图所示,在三角形 $ABC$ 中,若 $∠ BAC=70^{\circ},D$ 是射线 $BC$ 上一点(不与点 $B,C$ 重合),$DE // AB$ 交直线 $AC$ 于点 $E,DF // AC$ 交直线 $AB$ 于点 $F$,则 $∠ FDE$ 的度数为.
答案
情况1：当点D在线段BC上时
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴∠FDE=∠BAC（平行四边形对角相等）。
∵∠BAC=70°，
∴∠FDE=70°。
情况2：当点D在BC的延长线上时
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠FDE+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BAC=70°，
∴∠FDE=180°-70°=110°。
综上，∠FDE的度数为70°或110°。
70°或110°
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴∠FDE=∠BAC（平行四边形对角相等）。
∵∠BAC=70°，
∴∠FDE=70°。
情况2：当点D在BC的延长线上时
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠FDE+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BAC=70°，
∴∠FDE=180°-70°=110°。
综上，∠FDE的度数为70°或110°。
70°或110°
13. 计算:
(1) $\sqrt{(-5)^{2}}+\sqrt[3]{-8}+|-2|$;
(2) $\sqrt{2} × \sqrt{2}-\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}$.
(1) $\sqrt{(-5)^{2}}+\sqrt[3]{-8}+|-2|$;
(2) $\sqrt{2} × \sqrt{2}-\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}$.
答案
(1)
首先计算$\sqrt{(-5)^{2}}$：
因为$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，所以$\sqrt{(-5)^{2}}=\vert -5\vert = 5$。
接着计算$\sqrt[3]{-8}$：
因为$(-2)^{3}=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
然后计算$\vert -2\vert$：
根据绝对值的性质，正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以$\vert -2\vert = 2$。
最后将以上结果相加：
$\sqrt{(-5)^{2}}+\sqrt[3]{-8}+\vert -2\vert=5 - 2 + 2 = 5$。
(2)
先计算$\sqrt{2}×\sqrt{2}$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=2$。
再计算$\sqrt{9}$：
因为$3^{2}=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
然后计算$\sqrt[3]{27}$：
因为$3^{3}=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
最后将以上结果进行计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}=2 - 3 + 3 = 2$。
综上，答案依次为：(1)$5$；(2)$2$。
首先计算$\sqrt{(-5)^{2}}$：
因为$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，所以$\sqrt{(-5)^{2}}=\vert -5\vert = 5$。
接着计算$\sqrt[3]{-8}$：
因为$(-2)^{3}=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
然后计算$\vert -2\vert$：
根据绝对值的性质，正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以$\vert -2\vert = 2$。
最后将以上结果相加：
$\sqrt{(-5)^{2}}+\sqrt[3]{-8}+\vert -2\vert=5 - 2 + 2 = 5$。
(2)
先计算$\sqrt{2}×\sqrt{2}$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=2$。
再计算$\sqrt{9}$：
因为$3^{2}=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
然后计算$\sqrt[3]{27}$：
因为$3^{3}=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
最后将以上结果进行计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}=2 - 3 + 3 = 2$。
综上，答案依次为：(1)$5$；(2)$2$。
14. 解不等式组 $\{\begin{array}{l}x-2(x-3) ≥ 4, \\ \frac{x+1}{2}＞\frac{2 x}{5},\end{array} $ 并在数轴上表示它的解集.
答案
解不等式组：
1. 解不等式 $x - 2(x - 3) ≥ 4$：
$ \begin{aligned} x - 2x + 6 &≥ 4 \\ -x &≥ -2 \\ x &≤ 2 \end{aligned} $
2. 解不等式 $\frac{x + 1}{2} ＞ \frac{2x}{5}$：
$ \begin{aligned} 5(x + 1) &＞ 4x \\ 5x + 5 &＞ 4x \\ x &＞ -5 \end{aligned} $
3. 不等式组的解集为 $-5 ＜ x ≤ 2$。
数轴表示：
$-5 ＜ x ≤ 2$
15. 解方程组: $\{\begin{array}{l}x-3 y=-1, \\ 2 x+y=12.\end{array} $
答案
$\begin{cases} x-3y=-1 &① \\ 2x+y=12 &② \end{cases}$
由②得：$y=12-2x$ ③
将③代入①得：$x-3(12-2x)=-1$
$x-36+6x=-1$
$7x=35$
$x=5$
将$x=5$代入③得：$y=12-2×5=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases}$
由②得：$y=12-2x$ ③
将③代入①得：$x-3(12-2x)=-1$
$x-36+6x=-1$
$7x=35$
$x=5$
将$x=5$代入③得：$y=12-2×5=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases}$
